2014_全国(文科数学)

1、2014全国卷 (文科数学 )1 2014 全国卷 设集合 M 1 ， 2， 4， 6， 8 ， N 1 ，2， 3， 5， 6，7 ，则 MN中元素的个数为 ()A 2 B3 C5 D 71B解析 根据题意知 M N1 ，2，4，6，8 1 ，2，3，5，6，7 1 ，2，6 ，所以 M N 中元素的个数是 3.2 2014 全国卷 已知角 的终边经过点 ( 4， 3)，则 cos ()A. 4B.3 C3 D455552D解析 根据题意， cos 44（22 .4） 35x（ x 2） 0，)3、 2014 全国卷 不等式组的解集为 (|x|1A x| 2 x 1 B x|1 x 0C x

2、|0 x 1D x|x 13 C解析 x（ x 2）0 ，x0或 x2，即 0x1.由|x|1，得 1x 1，所以yR ，所以函数y ln( 3 x 1)(x 1)的反函数是y(ex 1)3(xR )6 2014 全国卷 已知 a， b 为单位向量，其夹角为A 1B0C1D260，则 (2 ab) b ()26 B 解析 因为 a， b 为单位向量，且其夹角为 60，所以 (2a b) b2ab b 2|a|b|cos 60 |b|2 0.7 2014 全国卷 有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A 60 种 B70 种

3、C75 种D 150 种7 C 解析 由题意，从6 名男医生中选出2 名， 5 名女医生中选出1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C62C51 75(种 )8 2014 全国卷 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn .若 S2 3， S4 15，则 S6 ()A 31B 32C 63 D 648 C解析设等比数列 an 的首项为a ，公比为q ，易知q 1，根据题意可得2a（1 q ）1 q 3，6解得 q2 4， a 1，所以 S6 a（ 1q ） ( 1)(1 43) 63.a（1 q4）1 q1 q1 q 15，22392014 全国卷 已知椭圆xyC： 2 2 1(a b 0)的左

4、、右焦点为 F 1，F 2，离心率为，ab3过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点若 AF1B 的周长为43，则 C 的方程为 ()2222222A. x y 1B.x y2 1C. x y 1 D. x y解析 根据题意，因为 AF1B 的周长为 43，所以 |AF 1| |AB| |BF 1| |AF 1| |AF 2| |BF 1| |BF2| 4a 43，所以 a3.又因为椭圆的离心率e c3，所以 c 1， b2 a2a32 2 c2 3 12，所以椭圆 C 的方程为 x y 1. 3 210 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为

5、2，则该球的表面积为 ()8127A. 4B 16 C9 D. 4110A解析 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以 AE 2AC2.设球心为 O，球的半径为R，则 OE 4 R， OAR.又因为 AOE 为直角三角形，所以OA2 OE2222 2，解得929 281 AE，即 R (4R)R ，所以该球的表面积S 4 R 44 .44112014国卷全双曲线x2y2C：a2 b2 1(a 0，b 0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于 ()A2B22C4D4211C解析 易知双曲线x2y2的渐近线方程是b221y x，不妨设焦点 (c，0)到其中ababc一条渐近线

6、 bx y 0 的距离为3，则a3，整理得 b 3.又双曲线 C 的离心率2ab 1ac222e a 2， c a b ，所以 c2，即 2c4，即双曲线 C的焦距等于 4.12 2014 全国卷 奇函数 f(x)的定义域为R.若 f(x 2)为偶函数，且f(1) 1，则 f(8) f(9) ()A 2 B 1 C0 D112D解析 因为 f(x 2)为偶函数，所以其对称轴为直线x 0，所以函数 f(x)的图像的对称轴为直线x 2.又因为函数 f(x) 是奇函数，其定义域为 R，所以 f(0) 0，所以 f(8) f(4) f(4) f(0) 0，故 f(8) f(9) 0 f( 5) f(5

7、) f( 1) f(1) 1.13 2014 全国卷 (x 2)6 的展开式中 x3 的系数为 _ (用数字作答 )13 160解析 (x 2)6的展开式的通项为 Tr 1 Cr6x6 r( 2)r，令 6 r 3，解得 r 333的系数为 160.3.因为 C6(2)160，所以 x14、2014 全国卷 函数 y cos 2x2sin x 的最大值为 _321 23，所以当 sin14.解析 因为 y cos 2x 2sin x 1 2sinx 2sin x 2 sin x22213x 2时函数 y cos 2x 2sin x 取得最大值，最大值为2.x y 0，152014 全国卷 设

8、x，y 满足约束条件x 2y3，则 z x4y 的最大值为 _x 2y1，15 5解析 如图所示，满足约束条件的可行域为ABC 的内部 (包括边界 )，z x11114y 的最大值即为直线y4x4z 的截距最大时 z 的值结合题意知，当y4x4z 经过点 A 时， z 取得最大值，联立xy 0 和 x 2y 3，可得点 A 的坐标为 (1，1)，所以 zmax 1 4 5.16 2014 全国卷 直线 l 1 和 l 2 是圆 x2 y2 2 的两条切线若l 1 与 l 2 的交点为 (1， 3)，则 l1 与 l 2 的夹角的正切值等于_4OA PA， OA 2，OP10，所以PA16. 解

9、析 如图所示，根据题意知，3OP2 OA2 2 2，所以 tan OPA OA2 2tan OPA4，1，故 tan APB2PA2 221 tan OPA3即 l1 与 l 2 的夹角的正切值等于4.317 2014 全国卷 数列 an 满足 a1 1， a22， an2 2an 1 an 2.(1)设 bn an 1 an，证明 bn 是等差数列；(2)求 an 的通项公式17 解： (1)由 an2 2an 1 an 2，得 an2 an 1 an 1 an 2，即 bn 1 bn 2.又 b1 a2 a1 1，所以 bn 是首项为1，公差为 2 的等差数列(2)由 (1)得 bn 1

10、2(n 1)，即 an 1an2n 1.于是错误 ! (2k 1) ，所以 an 1 a1 n2，即 an1 n2 a1.又 a1 1，所以 a n 的通项公式an n2 2n2.118 ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为a，b， c.已知 3acos C2ccos A， tan A 3，求 B.18 解：由题设和正弦定理得3sin Acos C 2sin Ccos A，故 3tan Acos C 2sin C.1因为 tan A ，1所以 cos C 2sin C， tan C ，所以 tan B tan180 (A C) tan(A C) tan A tan C 1， tan At

11、an C 1所以 B 135 .19 2014 全国卷 如图 1-1 所示，三棱柱ABC - A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上， ACB 90， BC 1， AC CC1 2.(1)证明： AC1 A1B；(2)设直线 AA1 与平面 BCC 1B1 的距离为3，求二面角 A1 -AB - C 的大小图 1-119解： 方法一： (1)证明：因为 A1D 平面 ABC，A1D? 平面 AA 1C1C，故平面 AA1C1C 平面 ABC.又 BC AC，平面 AA1C1 C平面 ABC AC，所以 BC平面 AA1C1C.连接 A1C，因为侧面AA1C1C

12、为菱形，故AC1 A1C.由三垂线定理得AC1 A1B.(2)BC平面 AA1C1C， BC? 平面 BCC1B1，故平面 AA1C1C平面 BCC1B1.作 A1E CC1， E 为垂足，则 A1E平面 BCC1B1.又直线 AA1平面BCC1B1，因而 A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离，即 A1 E 3.因为 A1C 为 ACC1 的平分线，故 A1D A1E 3.作 DF AB，F 为垂足，连接A1F .由三垂线定理得A1FAB，故 A1FD 为二面角 A1- AB -C 的平面角由 AD AA21 A1D2 1，得 D 为 AC 中点，所以 DF5， tan A1F

13、D A1 D15，5DF1所以 cos A1FD 4.所以二面角 A1 -AB- C 的大小为 arccos1.4方法二：以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C - xyz.由题设知 A1D 与 z 轴平行， z 轴在平面 AA1C1C 内(1)证明：设A1(a， 0， c)，由题设有a 2， A(2，0， 0)， B(0，1， 0)，则 AB ( 2，1， 0)， AC ( 2，0，0)， AA1 (a 2， 0，c)， AC1 AC AA1 (a 4，0，c)， BA1 (a， 1，c)（ a 2） 2 c2 2，即由 |A

14、A1| 2，得22a 4a c 0.22又 AC1 BA1 a 4a c0，所以 AC1 A1B.(2)设平面 BCC1B1 的法向量 m (x， y， z)，则 m CB， mBB1，即 mCB 0，mBB1 0.因为 CB(0， 1， 0)， BB1 AA1 (a 2， 0，c) ，所以 y 0，且 (a 2)x cz0.令 x c，则 z 2a，所以 m( c，0，2a)，故点 A 到平面 BCC1B1 的距离为 |CA|cos2c|CA m| m， CA |m| c2（ 2 a） 2 c.又依题设， A 到平面 BCC1B1 的距离为 3，所以 c3，代入，解得 a 3(舍去 )或 a

15、1，于是 AA1 ( 1， 0， 3)设平面 ABA1 的法向量 n (p， q， r)，则 nAA1， n AB，即 nAA1 0， nAB 0，所以 p3r 0，且 2p q 0.令 p 3，则 q 23， r 1，所以 n (3， 23，1)又 p(0， 0， 1)为平面 ABC 的法向量，故np1cos n， p ，1所以二面角A1 - AB -C 的大小为arccos4.20设每个工作日甲、 乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、

16、丁使用若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值20 解：记 A1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i 0， 1， 2.B 表示事件：甲需使用设备C 表示事件：丁需使用设备D 表示事件：同一工作日至少3 人需使用设备E 表示事件：同一工作日4 人需使用设备F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)因为 P( B) 0.6， P(C) 0.4，P(Ai) Ci20.52， i 0， 1， 2，所以P(D) P(A1 B C A2 B A2 BC) P(A1 B C) P(A2 B) P(A2 BC)P(A1)P(B)P(C) P

17、(A2)P(B) P(A2)P(B)P(C) 0.31.(2)由 (1)知，若 k2，则 P(F) 0.31 0.1，P(E)P(BCA2) P(B)P(C)P(A2) 0.06.若 k3，则 P(F) 0.060.1，所以 k 的最小值为 3.21 函数 f(x) ax33x2 3x(a 0)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在区间 (1， 2)是增函数，求a 的取值范围21 解： (1)f (x) 3ax2 6x 3， f(x) 0 的判别式 36(1 a) (i) 若 a1，则 f(x) 0，且 f(x)0当且仅当 a1， x 1 时成立故此时f(x)在 R 上是增函数(i

18、i) 由于 a 0，故当 a 1 时， f (x) 0 有两个根；x1 1 1 a 1 1 a.， x2 aa若 0a 1，则当 x( ， x2)或 x (x1， )时， f(x) 0，故 f(x)分别在 (， x2)， ( x1， )是增函数；当 x (x2， x1)时， f(x)0 ，故 f(x)在 (x2， x1) 是减函数若 a0，则当 x (， x1)或 (x2， )时， f (x) 0，故 f(x)分别在 (， x1)， (x2， )是减函数；当 x (x1， x2)时 f(x) 0，故 f( x)在 (x1， x2)是增函数(2)当 a 0，x 0 时， f(x) 3ax2 6x 3 0，故当 a 0 时， f(x)在区间 (1， 2)是增函数当 a0 时， f(x)在区间(1， 2)是增函数当且仅当f (1) 0 且f(2) 0，解得54 a 0.综上， a 的取值范围是5，0 (0，)422 已知抛物线C：y22px(p 0)的焦点为F，直线 y 4 与 y 轴的交点为P，与 C 的5交点为 Q，且 |QF | 4|PQ |.(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若且 A， M，