2017-2018学年高中数学人教A版必修四教学案三角函数的诱导公式

1、第 1 课时诱导公式二、三、四 核心必知 1 预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P23P26 的内容，回答下列问题(1)给定一个角 ，则角 的终边与角 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？提示： 的终边与的终边关于原点对称，sin( ) sin_，cos( ) cos_， tan( ) tan_(2)给定一个角 ，则角 的终边与角 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？提示： 的终边与角的终边关于y 轴对称， sin( ) sin_，cos( ) cos_， tan( ) tan_(3)给定一个角 ，则角 的终边与角 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

2、提示： 的终边与角的终边关于x 轴对称， sin( ) sin_，cos() cos_，tan( ) tan_2 归纳总结，核心必记(1)特殊角的终边对称性 的终边与角的终边关于原点对称，如图； 的终边与角的终边关于x 轴对称，如图； 的终边与角 的终边关于y 轴对称，如图.(2)诱导公式公式一sin( 2k ) sin cos( 2k) cos tan( 2k ) tan_公式二sin( ) sin_cos( ) cos_tan( ) tan_公式三sin( ) sin_cos( ) cos_tan( ) tan_公式四sin( ) sin_cos( ) cos_tan( ) tan_(3)

3、公式一四的应用记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值 问题思考 (1)诱导公式一、二、三、四中的角有什么限制条件？提示：sin( 2k)，sin()，sin( )，cos( 2k)，cos()，cos( )公式中的 R ；而 tan( 2k) ， tan( )， tan( )中的 2 k，k Z (2)在 ABC 中，你认为sin A 与 sin(B C) ，cos A 与 cos(B C)之间有什么关系？提示： AB C ，即 B C A，故 sin A sin (BC) sin(B C)，cos Acos(B C) cos(B C) 课前反思 (1) ， ， 的终边与终边的关系：；(2)

4、诱导公式一、二、三、四的内容：；(3)公式一四的应用：讲一讲1求下列三角函数值：(1)sin( 1 200 )； (2)tan 945 ； (3)cos119.6 尝试解答 (1)sin( 1 200) sin 1 200sin(3 360120) sin 1203sin(180 60) sin 60 2 .(2)tan 945tan(2 360225) tan 225tan(18045) tan 451.119 3(3)cos 6 cos 20 6 cos 6 cos6 2 .利用诱导公式解决给角求值问题的步骤1求 sin 585 cos 1 290 cos( 30 )sin 210 tan

5、 135的值解： sin 585cos 1 290cos( 30)sin 210 tan 135 sin(360225)cos(3 360210)cos 30sin 210tan(18045) sin 225cos 210cos 30sin 210tan 45 sin(18045 )cos(180 30) cos 30sin(18030) tan 45 sin 45cos 30cos 30sin 30tan 452 33 1 16 344.2222讲一讲cos（ ） tan（ 7 ） _；2 (1) 化简：sin（ ）(2)化简 sin（ 1 440 ） cos（ 1 080） _cos（ 1

6、80 ） sin（ 180）cos（ ） tan（ 7） cos tan（ ）cos tan sin 尝试解答 (1)sin（ ）sin sin sin 1.sin（ 4 360） cos（ 3 360）(2)原式cos（ 180） sin（ 180） sincos（ ）cos 1.（ cos ） sin cos 答案： (1)1(2) 1利用诱导公式一四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切 (正切 ) 与弦 (正弦、余弦 )的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切练一练sin

7、 （k 1） cos（k 1） 2化简：( k Z )sin （k ）cos（k ）解： 当 k 为奇数时，不妨设k 2n1， n Z ，sin （2n 2） cos（2n 2） 则原式sin（ 2n ）cos（ 2n ）sin cos sin（ ）cos（ ）sin cos 1；sin （cos ）当 k 为偶数时，不妨设k2n， n Z ，sin （2n 1） cos（2n 1） 则原式sin（ 2n ） cos（ 2n）sin（ ） cos（ ）sin（ ） cos sin （cos ） 1. sin cos sin （ k 1） cos（ k 1） 综上， 1.sin （ k ） co

8、s（ k ）讲一讲1， cos( ) 1，则 sin( 2)的值为 ()3 (1) 已知 sin 311A1 B 1 C.3D 31，且 为第四象限角，则sin( 125 )的值为 _(2)已知 cos( 55 ) 3尝试解答 (1) cos( ) 1， 2k， k Z ，1sin( 2) sin( ) sin() sin 3.1(2) cos( 55) 3 0，且 是第四象限角55是第三象限角sin( 55)2221 cos （ 55）3.125180(55)，sin( 125) sin180 ( 55)2 2 sin(55) 3 .22答案： (1)D(2)解决此类问题的方法是先根据所给等

9、式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，再选择恰当的三角公式化简求值练一练1， ，则 tan( )等于 ()2，03 (1) 若 sin( )2133A 2B2C 3D. 33，则 tan( )的值是 ()(2)已知 为第二象限角，且 sin 54343A. 3B. 4C 3D 4解： (1)因为 sin( ) sin ，根据条件得 sin 1，2又 ，所以 cos 1 sin23.2， 02sin 1 3所以 tan cos 33 .3所以 tan( ) tan 3 .3(2)因为 sin 5且 为第二象限角，所以 cos 1 sin2 4，5sin 3所以 tan c

10、os 4.3所以 tan( ) tan 4.故选 D.答案： (1)D(2)D课堂归纳 感悟提升 1 本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公式的应用2要掌握诱导公式的三个应用(1)解决给角求值问题，见讲1；(2)解决化简求值问题，见讲2；(3)解决给值 (式 )求值问题，见讲3.3本节课要牢记诱导公式的内容(1)诱导公式二、三、四可以概括成：f( )f( )， f( )f()， f( )f( )，其中等号右边的“ ” 号只取其一，规律口诀是“ 函数名不变，符号看象限”例如 sin() sin ，就是正弦函数名不改变，而是锐角，则为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故符号取“”(2)上述

11、诱导公式都是为了化任意角成锐角的，如果为其他范围的角也都成立，这就是说， 使用这些诱导公式，不必限定为锐角， 但是用口诀 “ 函数名不变，符号看象限”时，都把看作锐角记忆，即便不是锐角，上述公式也全部成立课下能力提升(六 ) 学业水平达标练题组 1 给角求值问题1 cos 300等于 ()3113A 2B 2C.2D. 21解析： 选 Ccos 300cos(36060) cos 602.cos（ 585）的值等于 _2.sin 495 sin（ 570）解析：原式cos（ 360225）sin（ 360135）sin（ 360210）cos（ 18045）22 22.sin（ 18045）s

12、in（ 18030）212 2答案：2 2题组 2化简求值问题3 sin2( )cos( )cos( ) 1 的值为 ()A 1B 2sin2C 0D 2解析：选D222 1 2.原式 ( sin ) (cos )cos1 sin cos24. 2 2sin（2 ） cos （ ）可化简为 _解析：2 2sin（2 ） cos2（ ）2 2sin（ ） cos2 1 2sin sin2 |1 sin | 1 sin .答案： 1 sin 5化简： tan（ 2 ） sin（ 2 ） cos（ 6 ）.（ cos ） sin（ 5 ）tan（ ） sin（ ） cos（ ）tan sin cos

13、 .解： 原式 tan（ cos ） sin（ ）cos sin 题组 3 给值 (式 )求值问题4，且 是第四象限角，则cos( 2 )的值是 ()6已知 sin( ) 53334A 5B. 5C 5D.5解析： 选 B由 sin( ) 45，得 sin 45，而 cos( 2) cos ，且 是第四象限角，23cos 1sin 5.127已知 cos(508 ) 13，则 cos(212 ) _解析： 由于 cos(508) cos(360148) cos(148) 1213，12所以 cos(212) cos(360 148) cos(148) cos(148)13.12答案： 13 0

14、，求 cos（ ） sin （2 ） 的值1，且8已知 cos 32cos（ ） cos（ ）解： 2 0，21 222sin 1 cos 1 3 3. cos sin sin 22 3 22.原式cos （cos）cos 3 能力提升综合练 1如图所示，角 的终边与单位圆交于点P 5， 2 5 ，则 cos( )的值为 ()55255A 5B 5525C. 5D. 5解析：选C r 1，cos 55 ，5cos( ) cos 5 .2记 cos( 80 ) k，那么 tan 100等于 ()A.1 k2B1 k2kkkkC.1 k2D.1 k2解析：选B cos( 80) k，cos 80k

15、，sin 80 1 k2，tan 801 k2，ktan 100tan 801 k2.k123已知 tan3 3，则 tan3 ()11A. 3 B32323C.3D 3解析：选B tan23 tan 3 tan ，321.tan 33334若 2 ， 2， tan( 7)4，则 sin cos 的值为 ()1 1 A 5 B 517C.5D 5解析：选B tan( 7) tan( ) tan ( ) tan ，3sin 3tan 4，4，cos cos2 sin2 1， 3 ，2 ， 2431cos ， sin ，sin cos .5555设函数f(x) asin( x ) bcos( x

16、)，其中a， b， ， 都是非零实数，且满足 f(2 016) 1，则 f(2 017) 的值为 _解析： f(2 016) asin(2 016 ) bcos(2 016 ) 1，f(2 017) asin(2 017 ) bcos(2 017 ) asin (2 016 ) bcos(2 016 ) asin(2 016) bcos(2 016 ) 1.答案： 1sin x（x 0），则 f 11 f11的值为 _6已知 f(x)f（ x1） 1（x 0），66111111151解析： 因为 f 6 sin 6 sin 2 6 sin6 2； f6 f 6 1f 6 215sin 6 2

17、2 2 2.1111所以 f 6f 6 2.答案： 27化简：1 2sin 280 cos 440.sin 260 cos 8001 2sin（ 36080）cos（ 36080）解： 原式sin（ 18080）cos（ 72080）1 2sin 80cos 80 sin 80cos 80sin2 80cos2802sin 80cos 80 sin 80cos 802（ sin 80cos 80） sin 80 cos 80|cos 80sin 80|cos 80sin 80sin 80cos 80 1.cos 80sin 801tan（ 720）228已知 3 22，求：cos ( ) si

18、n( )cos( ) 2sin (1 ) 2的值cos （ 2 ）解：由1 tan（ 720）2，得 (422)tan 2 22 22 322，所以 tan 21 tan（ 360）4 22 2 ，2212故 cos ( ) sin( ) cos( )2sin ( ) 2(cos cos （ 2）2) 12 1 tan 2tan2 12 2222sin cos 2sin 2.cos222第2课时诱导公式五、六 核心必知 1 预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P26P27 的内容，回答下列问题如图所示，设是任意角，其终边与单位圆交于点P1( x，y)，与角 的终边关于直线yx 对称的角的终

19、边与单位圆交于点P2 .(1)P2 点的坐标是什么？提示： P2( y，x) 的终边与角 的终边关于直线yx 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？(2) 2提示： 对称 sin cos_，cos sin_222 归纳总结，核心必记(1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一六可归纳为k 的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：2“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的“奇”、“偶”是对诱导公式k 中的整数k 来讲的2“象限”指k 中，将 看成锐角时， k 所在的象限，根据“一全正，22二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号 问题思考 (1)诱导公式五、六中的是任意

20、角吗？提示： 是ABC(2)在 ABC 中，角 2与角2的三角函数值满足哪些等量关系？A B C提示： AB C ，2 2 2 ，A B CB Csin2 sin22 cos2，A BCB Ccos2cos2 2 sin2 课前反思 (1)诱导公式五：；(2)诱导公式六：讲一讲sin（ ） cos（ 2 ） cos 31已知 f()2. sin)cos 2(1)化简 f()；(2)若 为第三象限角，且3 1，求 f()的值；cos 25(3)若 31，求 f( )的值3尝试解答 (1) f() sincos ( sin ) cos .sin sin(2) cos 3 sin12 ，5sin 1

21、，5又 为第三象限角，2 2 6cos 1 sin 5 ，2 6 f() 5 .3131(3)f cos 33551 cos 6 2 3 cos 3 cos3 2.三角函数式化简的方法和技巧(1) 方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题(2)技巧： 异名化同名； 异角化同角； 切化弦练一练sin 3 sin3 tan2（ 2 ）1化简：22. cos cos2cos 22()sin sin2 tan2（ 2）解： 原式2cos2 cos2 cos2（ ）221cos （cos ） tantan22 2 .sin （sin ） c

22、os sincos 讲一讲2 (1) 已知 cos 31 m，则 sin 239tan 149的值是 ()A.1 m2B. 1 m2mC 1 m2D 1m2m 1，则 cos 的值为 _(2)已知 sin326尝试解答 (1)sin 239 tan 149 sin(18059)tan(18031) sin 59( tan 31) sin(9031)( tan 31) cos 31( tan 31)22 sin 31 1 cos 311m .1(2)cos6 cos2 3 sin3 2.1答案： (1)B (2) 2解决条件求值问题的策略(1) 解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的

23、角，函数名称及有关运算之间的差异及联系(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化练一练2已知 cos( ) 1，求 cos 的值22解： cos( ) cos 12，cos 12，为第一或第四象限角若 为第一象限角，则 cos22 sin1 cos 112322 ；若 为第四象限角，则 cos2 sin211231 cos22 .讲一讲3求证： tan（ 2 ） sin（ 2 ）cos（ 6 ） tan .sin3 cos3 22尝试解答 tan（ ）sin（ ） cos（ ）左边sin 2 cos 2 22（ tan）（ sin ） cos sin cos 2 2

24、sin2 sin 2 cos2 sin2 cos sin sin cos tan右边即原等式成立三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法练一练sin （ 2 ） cos（ ） cos cos 113求证：22 tan .cos（ ） sin（ 3 ） sin（ ） sin9 211sin（ 2 ） cos（ ） cos cos22证明：9cos（ ）sin （3 ） sin（ ） sin2 3 sin （c

25、os ） （ sin ） cos2 cos sin sin sin 2sin cossinsin tan. cos sin sin cos 课堂归纳 感悟提升 1本节课的重点是诱导公式五、六及其应用， 难点是利用诱导公式解决条件求值问题2要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1；(2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2；(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3.3 本节课要掌握一些常见角的变换技巧6 2 3 ?6 3 2 ， 4 2 4 ?4 54 2，6 3 2等课下能力提升(七 ) 学业水平达标练 题组 1化简求值 的值相等的式子为 ()1下列与 si

26、n 2A sin2 B cos2 Ccos3 D sin3 22解析：选D因为 sin sin2 cos ，2对于 A ， sin；2 cos对于 B ， cos2 sin ；对于 C， cos32 cos 2 cos 2 sin ；对于 D ， sin3 sin22 cos . sin2 3 _2化简： sin( 7 ) cos 2解析： 原式 sin(7 ) cos32 sin( ) cos2 sin ( sin ) sin2.答案： sin 23化简：11.tan2（ ）3sin2 cos 2 tan（ ）解： tan( ) tan ， sin 2 cos ，33cos cos sin ，22tan( )tan ，1111212cossin 原式22222 1.tan cos（sin ） tan sin sinsinsin 2cos题组 2条件求值问题sin cos（ ）4已知 tan2等于 () 2，则sin2 sin（ ）2A2 B 2 C0 D.3解析：选Bcos cos 2cos 2