2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——13.不等式选讲

1、2011 年 2018 年新课标全国卷理科数学分类汇编13不等式选讲一、解答题【 2018， 23】已知 fxx1ax1 .（ I）当 a1时，求不等式fx1的解集；（ II ）若 x0,1 时不等式fxx 成立，求 a 的取值范围 .【 2017， 23】已知函数fxx2ax4 ， g xx 1 x 1 （1）当 a 1 时，求不等式fxgx的解集；（2）若不等式 fxgx的解集包含1,1，求 a 的取值范围【 2016， 23】已知函数f ( x)x12x3 （）在答题卡第（24）题图中画出yf ( x) 的图像；（）求不等式f ( x)1 的解集y1O1x【 2015， 24】已知函数

2、f xx 12 x a , a 0.（ I）当 a1 时求不等式f x1的解集；（ II ）若 fx 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围 .【 2014， 24）】若a0,b0 ，且11ab.ab( )求 a3b3 的最小值；（）是否存在a,b，使得2a3b6 ？并说明理由.【 2013， 24】已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|， g( x) x 3.(1)当 a 2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)设 a 1，且当 xa , 1时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围22【 2012， 24】 已知函数 f (x)| x a | x 2 |

3、 。（1)当 a3 时，求不等式f (x) 32）若f ( x) | x 4 |的解集包含1 2a的取值范围。的解集；（， ，求【 2011， 24】设函数 f ( x)x a 3x,其中 a 0 。（）当 a 1时，求不等式 f ( x)3x2 的解集；（）若不等式f (x)0 的解集为x | x1 ，求 a 的值。2011 年 2018 年新课标全国卷理科数学分类汇编13不等式选讲（解析版）一、解答题（ 2018新课标 I 卷， 23）已知 fxx1ax1.（ I）当 a1时，求不等式fx1的解集；（ II ）若 x0,1 时不等式fxx 成立，求 a 的取值范围 .解析： （ I ）依题

4、意， x1x11，该不等式等价于x1,1x1,x1,x 1 x 1 1, x 1 x 1或1, x 1 x 1 1,解得 x1，即等式 fx1 的解集为x x1；22（ II ）依题意，x 1ax1x ；当 x0,1 时，该式化为x1ax 1 x ，即 ax 11 ，即，即，故ax0,在0,1上恒成立，故0a2，即 a 的取值范围为0,2.1 ax 110ax2ax2,【 2017， 23】 已知函数 fxx2ax4， g xx 1x 1 （1）当 a 1时，求不等式fxgx的解集；（2）若不等式 f xgx的解集包含1,1 ，求 a 的取值范围【解析】（ 1）当 a1 时， fxx2x4 ，

5、是开口向下，对称轴x1的二次函数22 x，x 117 1gxx 1x 12 ，1 x 1 ，当 x(1,) 时，令x2x42 x ，解得 x， gx 在2x，x121，上单调递增，f x在1，上单调递减， 此时f x g x解集为，17 112当 x1，1 时， g x2 ， f x f 1 2 当 x，1 时， gx 单调递减，fx单调递增，且 g1f12 综上所述， fx gx 解集1， 1712（2）依题意得：x2ax 4 2 在1，1 恒成立即 x2ax 2 0 在 1，1 恒成立12a 12 01 a 1 故 a 取值范围是1，1 则只须21，解出：1a2 0【 2016， 23】已

6、知函数f ( x)x12x3 y（）在答题卡第（24）题图中画出yf ( x) 的图像；（）求不等式f ( x)1 的解集1O1x【解析】：如图所示：x4 ，x 13f x1 f x3x 2 ， 1 x2,4x，x 32, x 1 ， x 4 1，解得 x5 或 x3 , x 11 x3， 3x2 1，解得 x 1 或 x1 1x 1或1 x323，32x 3， 4 x1 ，解得 x 5 或 x3 ， 3 x3或 x522综上， x1 或 1 x3 或 x53 f x1 ，解集为，1U1，3U5，3【 2015， 24】已知函数fxx12 xa , a0 .（ I）当 a1 时求不等式f x1

7、的解集；（ II ）若 fx 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围 .解析：（ I）（方法一）当 a1 时，不等式f (x) 1可化为x 1 2 x 1 1x1，等价于x12x 2 1或1x1或x1，解得2x2 .x 1 2x 2 1x 1 2x 2 13（方法二）当 a1时，不等式f (x) 1 可化为 x12 x 11，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1 的距离与它到 1 的距离的2 倍之差大于 1.设点 x到1 的距离为 d ，到 1的距离为d2，结合1数 轴 可 知 ： 若 x在 1,1内，则有d1d22-1x11；故 x2,1 .d12d

8、21解得 d2(33若 x 在 (1,) 内，则有d1d22解得 d21 ；故 x (1,2) .d12d21-11x综上可得 2x2.3x12a, x1（）由题设可得，f ( x)3x12a, 1x a ， 所以函数 f (x) 的图像与 x 轴围成的三角形的x12a, xa三个顶点分别为A( 2a1 ,0) ， B(2 a1,0) ， C (a, a+1) ，所以 ABC 的面积为 2 (a1)2.由题设得2 (a 1)233 ，解得a所以a的取值范围为（，）.362 .2 +【 2014， 24）】若 a0,b0，且 11ab .ab( ) 求 a3b3 的最小值；（）是否存在 a,b

9、，使得 2a3b6 ？并说明理由 .【解析】： () 由ab112，得 ab2 ，且当 ab2 时等号成立，abab故 a3b33 a3 b342 ，且当 a b2 时等号成立， a3b3 的最小值为 42. 5 分（）由 6 2a 3b2 6ab ，得 ab3，又由 ( )知 ab2 ，二者矛盾，2所以不存在 a,b ，使得 2a 3b6成立.10 分【 2013， 24】已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|， g( x) x 3.(1)当 a 2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)设 a 1，且当 xa , 1 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围22解： (1

10、) 当 a 2 时，不等式f(x) g(x)化为 |2x 1| |2x2| x 3 0.设函数 y |2x 1| |2x 2| x 3，5x, x1,2则 yx2, 1x 1,23x6, x1.其图像如图所示从图像可知，当且仅当x (0,2)时， y 0.所以原不等式的解集是 x|0 x 2 (2)当 xa , 1 时， f(x)1 a.22不等式 f(x)g(x)化为 1 ax 3.所以 xa 2 对 xa ,1都成立22故a4a 2，即 a.23从而 a 的取值范围是1, 4.3【 2012， 24】已知函数 f ( x)| xa | x 2 |。（1)当 a3时，求不等式f (x)3 的

11、解集；（2）若 f (x)| x4 | 的解集包含1， 2，求 a 的取值范围。5 2x ( x2)【解析】（ 1）当 a3时， f ( x) | x 3| | x 2 | 1(2x 3) 。2x5 ( x3)所以 不等式 f ( x)3 可化为x2，或2x3x3。52x13，或2x533解得 x1，或 x4 。因此 不等式f ( x)3的解集为x | x或x4。1（ 2）由已知 f ( x)| x4 | 即为 | xa | | x2 | | x4 | ，也即 | x a | | x 4 | | x 2 | 。若 f (x)| x4 |的解集包含 1， 2，则x1,2， | x a | | x 4 | x 2 |，也就是x1,2， | xa | 2 ，所以x1,2 ，xa2，从而1a2，xa22a2解得3a0 。因此a 的取值范围为 a3,0。【 2011， 24】设函数 f ( x)xa3x,其中 a0 。（）当 a1时，求不等式f ( x)3x2 的解集；（）若不等式 f (x)0 的解集为x |