2017年高考真题全国Ⅱ卷数学(理)试题及答案

1、浙江学联数学教研组2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.3+i = （）1+iA 1+ 2iB 1- 2iC 2 + iD 2 - i2.设集合 A1,2,4 ， B x x24x m 0 若 A I B1，则B（）A 1, 3B 1,0C 1,3D 1,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）

2、A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A 90B 63C 42 D 362x3y305.设 x ， y 满足约束条件2x3 y30 ，则 z2xy 的最小值是（）y30第1页共23页浙江学联数学教研组A15B9C1D96.安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B 18 种C24 种D36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀， 2 位良好，我现在给甲看

3、乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A 乙可以知道四人的成绩B 丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D 乙、丁可以知道自己的成绩8.执行下面的程序框图，如果输入的a1，则输出的 S（）A2B3C4D52229.若双曲线 C: x2y2 1（ a0 ， b0 ）的一条渐近线被圆 x 24 所截得y2ab的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A 2B 3C 223D 3第2页共23页浙江学联数学教研组10.已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC 120o ， AB2， BCCC11，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角

4、的余弦值为（）3B1510D A 5C253311.若 x2 是函数 f ( x)( x2ax1)ex 1 的极值点，则f ( x) 的极小值为（）A. 1B. -2e-3C. 5e-3D.1uuur uuuruuur12.已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PBPC) 的最小值是（）A. 2B.34D.12C.3二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分.13.一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D 14.函数 f x sin 2 x3 cos x3（ x0, ）

5、的最大值是4215.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a33， S4n110 ，则k1 Sk16.已知 F 是抛物线 C: y28x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则FN三、解答题：共70 分 .解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答.第3页共23页浙江学联数学教研组（一）必考题：共60 分 .17.（ 12 分）ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ,已知 sin( AC )8sin 2 B 2(1) 求

6、cosB(2) 若 a c 6 , ABC 面积为 2,求 b.18.（ 12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：第4页共23页浙江学联数学教研组（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计 A 的概率；（ 2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.

7、01）20.0500.0100.001P（ ? ?）k3.8416.63510.828第5页共23页浙江学联数学教研组K2n(ad bc)2(ab)(c d )( a c)(b d )19.（ 12 分）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面三角形BCD，ABBC1 AD, BADABC900, E 是 PD 的中点2（1）证明：学 |科网直线 CE / / 平面 PAB（2）点 M 在棱 PC上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 450，求二面角 M-AB-D 的余弦值20. （12 分）第6页共23页浙江学联数学教研组设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆

8、 C： x2y21上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为N，点2uuuruuuurP满足 NP2NM .(1) 求点 P 的轨迹方程；uuur uuur(2) 设点 Q 在直线 x=-3 上，且 OPPQ1 .证明：过点P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.21.（ 12 分）已知函数f ( x)ax3axx ln x, 且 f ( x)0 .（1）求 a；（2）证明： f (x) 存在唯一的极大值点 x0 ，且 e 2f ( x0 ) 2 3 .（二）选考题：共10 分 .请考生在第22、 23 题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分 .第7页共23页浙江学联数学教研组

9、22.选修 4-4：坐标系与参数方程（ 10 分）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4（1） M 为曲线 C1 上的动点，点P 在线段 OM 上，且满足OMOP16 ,求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为(2,)3，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值23.选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 a0, b0, a2b22 ，证明：（1） ( ab)(a5b5 )4 ；（2） ab2 【参考答案】1 D第8页共23页浙江学联数学教研组【解析】 3i3i1ii12 i1i 1i2 C

10、【解析】 1 是方程 x24xm0 的解， x1 代入方程得m3 x24x30 的解为 x1 或 x3， B133 Ba1271381【解析】设顶层灯数为a1 ， q2S7123 ，解得 a14 B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半总上1V32101 32 6 63V V225 A【解析】目标区域如图所示，当直线y = -2x+ z 取到点6 ， 3 时，所求 z 最小值为15第9页共23页浙江学联数学教研组6 D【解析】只能是一个人完成2 份工作，剩下2 人各完成一份工作由此把 4 份工作分成3 份再全排得C24 A 33367 D【解析】四人所知只有自己看到，

11、老师所说及最后甲说的话甲不知自己成绩 乙、丙中必有一优一良， （若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然） 乙看了丙成绩，知自己成绩 丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩8 B【解析】 S0 ， k1， a1 代入循环得，k7 时停止循环，S3 9 A【解析】取渐近线yb x ，化成一般式 bx ay 0 ，圆心 2，0 到直线距离为a2b3a2b22224 ， e 2 得 c4a， e10 C【解析】 M ， N ， P 分别为 AB ， BB1 ， B1C1 中点，则AB1 ， BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或第10页共23页浙江学联数学教研组其补角（异面线所成角为0 ， ）2可知

12、 MN1AB512， NPBC121222作 BC 中点 Q ，则可知 PQM 为直角三角形PQ1 ，MQ1AC2 ABC 中， AC2AB2BC 22 AB BC cos ABC4122117， AC27则 MQ7 ，则 MQP 中， MPMQ 2PQ21122则 PMN 中， cos PNMMN 2NP2PM 22 MHNP522112222210252522又异面线所成角为0 ， ，则余弦值为10 2511 A【解析】 fxx2a 2 x a 1ex 1 ，则 f 24 2 a 2 a 1 e 30 a 1 ，第11页共23页浙江学联数学教研组则 fxx2x1ex 1 ， fxx2x2e

13、x 1 ，令 fx0 ，得 x2 或 x1 ，当 x2 或 x1 时， fx0 ，当2x1 时， fx0 ，则 fx 极小值为f11 12 B【解析】几何法：uuuruuuruuur如图， PBPC2PD （ D 为 BC 中点），uuuruuuruuuruuuruuur则 PA PB PC 2PD PA，uuuruuuruuuruuur要使 PAPD 最小，则PA ， PD 方向相反，即 P 点在线段 AD 上，uuuruuuruuuruuur则 2PDPAmin2 PAPD ，uuuruuur即求 PDPA 最大值，uuuruuuruuur23，又 PAPDAD32uuuruuur22PA

14、PDuuuruuur33 ，则 PAPD 224uuuruuur233 则 2PDPAmin42APBDC第12页共23页浙江学联数学教研组解析法：建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，A0，3 ，B1，0 ，C 1，0 设 P x ，y ，uuurx ， 3uuur1uuur1 x ， y ，PAy ， PBx ， y ， PCuuuruuuruuur2x222 y2 y2 PAPBPC22 x2y3324则其最小值为 233 ，此时 x0 ， y3 42213 1.96【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中p 0.02 ， n 100则 D xnp 1p1000.020.981.

15、9614 1【解析】 f x sin2 x3 cos x3x0， 42第13页共23页浙江学联数学教研组f x 123cos x3 cos x4令 cosxt 且 t0，1yt23t142t3123则当 t时， fx 取最大值12152nn+1【解析】设an首项为 a1 ，公差为 d 则 a3a12d3S4 4a16d10求得 a11， d1 ，则 ann ， Sn n 1n2n 12222k 1 SkL12 23n n 1 n n 121111L1111223n1nnn 12112nn1n116 6【解析】y28 x 则 p4 ，焦点为 F 2 ，0 ，准线 l : x2 ，如图， M为F、

16、N中点，故易知线段BM 为梯形 AFMC 中位线，第14页共23页浙江学联数学教研组 CN 2， AF 4，ME 3又由定义MEMF ，且MNNF，NFNMMF6lyCNBMAOFxsin B 8sin 2 B81 cos B4(1 cos B )17. 解：（ 1）依题得：22221 ， sin Bcos B 16(1cos B)2cos2 B1 ， (17cos B15)(cos B1)0 ，cosB1517 ，8sin B（2）由可知17 S ABC2 ，1 ac sin B2 2，1ac8 2217，第15页共23页浙江学联数学教研组ac17 2 ，15cosB 17 ，a2c2b 2

17、152ac17 ，222 acb 15 ，22 (ac)2acb15 ，2 3617b15 ， b 2 18解：（ 1）记： “旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件 B“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件 C而 P B0.04050.03450.02450.01450.01250.62P C0.06850.04650.01050.00850.66PAPBPC0.4092（ 2）箱产量50kg箱产量 50kg旧养殖法6238第16页共23页浙江学联数学教研组新养殖法3466由计算可得K 2 的观测值为2006266382k 2341001009615.705104 15.7056.63

18、52 P K 6.6350.001有 99% 以上的把握产量的养殖方法有关（3） 150.2 ， 0.20.0040.0200.0440.0320.032 0.0688， 85 2.351717502.3552.35 ，中位数为52.35 19解：（ 1）令 PA 中点为 F ，连结 EF ， BF ， CE E， F 为 PD， PA中点， EF 为PAD 的中位线，EF 1 AD 2又 BADABC90 ， BC AD 又 AB BC1AD， BC 1AD ， EF BC 22四边形 BCEF 为平行四边形，CE BF 又 BF PAB ， CE PAB（2）以 AD 中点 O 为原点，如

19、图建立空间直角坐标系设AB BC1 ，则 O(0 ，0， 0) ， A(0 ，10) ， B(1，10) ， C (1，0， 0) ， D (0 ，1， 0)，P(0 ，0，3) 第17页共23页浙江学联数学教研组M 在底面 ABCD 上的投影为M， MMBMMBM45 ， MBM为等腰直角三角形 POC 为直角三角形， OC3OP ， PCO 603设 MMa ，333，CMa ， OM1a M 1a 0 03332BM3 a12021 a21 a a6OM13 a 12 33232M 12 ，M 12 ，60 00222uuuur2，6，uuur设平面的法向量urAB(1，0， 0)ABM

20、，AM11z1)22m (0 y1y16ur(0， 6 2)z10 ， m2uuuruuur(1，0， 0) 设平面 ABD 的法向量为rAD，0)， ABn，z2 )，(02(0 0rn (0，1)0urrurr10 cosm nm, nurr5mn二面角 M AB D 的余弦值为10 5第18页共23页浙江学联数学教研组zPF MEM OADyBCx20解：设P( x，y) ，易知 N ( x，0)uuuruuuur1uuurNP(0 ，y) 又 NMNP 0 ， y22 M x， 1 y ，又 M 在椭圆上222 xyy22 1 ，即 x222设点 Q(3， yQ ) ， P( xP ，

21、yP ) ， ( yQ0) ，由已知：uuur uuur(，) (3) 1，OP PQxPyPyQ yPyPuuuruuuruuuruuur uuuruuur21，OPOQOPOP OQOPuuuruuuruuur 213 ，OP OQOP xP xQyP yQ3xPyP yQ3 设直线 OQ ： yyQx ，3因为直线 l 与 lOQ 垂直3 klyQ第19页共23页浙江学联数学教研组故直线 l 方程为 y3( xxP )yP ，yQ令 y0 ，得yP yQ3(x xP ) ，1yP yQxxP ，3 x1 yPyQxP ，3 yP yQ33xP ， x1 (3 3xP ) xP1 ，3若

22、yQ0 ，则 3xP3 ， xP1， yP1 ，直线 OQ 方程为 y0 ，直线 l 方程为 x1 ，直线 l 过点 (1，0) ，为椭圆 C 的左焦点21解：因为 fxxaxa ln x 0 ， x0 ，所以 axa ln x 0 令 g xax aln x ，则 g 11ax 1，0 ， g x axx当 a 0 时， gx0， gx单调递减，但g 10 ， x1 时， g x0 ；当 a0 时，令 gx0 ，得 x1 a当 0x1 时， gx0 ， gx 单调减；当 x1 时， gx0 ， gx 单调增aa若 0a1 ，则 gx 在 11上单调减， g1g 1 0 ；aa若 a1 ，则 gx在1 1上单调增， g1g 1 0 ；aa若 a1 ，则 gx min1g 1 0 ， g x 0 ga综上， a1 第20页共23页浙江学联数学教研组fxx2xxln x ， fx2x2ln x ， x0 令 h x2 x 2ln x ，则 h x21 2x 1 ， x 0 xx令 hx0 得 x1 ，2当 0x1x0 ， hx 单调递减；当x1x0 ， hx 单调递增时， h时， h22所以， hx minh112ln 20 2因为 h e 22e 20 ， h 22 ln 2 0 ， e 201 ，21 ，22所以在01和1 上， h