2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学考前密卷

1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题60 分）一选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的4 个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合A x| 1 2x+1 3 ， B x|0 ，则 A（ ? RB）（）A （ 0，1B 1， 0C 1， 0）D 0， 12若的实部与虚部相等，则实数a 的值为（）A0B1C2D33函数 f（x） sin2x+cos2x 的单调递增区间是（）A k， k+（ kZ ）B 2k， 2k+（ kZ ）C k， k+（ kZ）

2、D 2k，2k+ （kZ ）4已知下列四个命题p1：若直线 l 和平面 内的无数条直线垂直，则 l ；2x x：若 f（ x） e e ，则 ?xR， f（ x） f（ x）；pp3：若，则 ?x0（ 0， +）， f（ x0） 1p4：在 ABC 中，若 A B，则 sinA sinB其中真命题的个数是（）A1B2C3D45若平面向量满足，则的最大值为（）ABCD6如图为我国数学家赵爽（约3 世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5 种颜色给其中5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、 C 区域涂色不相同的概率为（）ABCD7若 x、y 满足约束

3、条件，目标函数zax+y 取得最大值时的最优解仅为（1，3），则 a 的取值范围为（）A （ 1， 1）B（ 0， 1）C（， 1）（ 1， +）D（ 1，032时，不等式 f （msin） +f（ 4 m） 2 恒成立，则8设函数 f（ x） x3x +4 x 1， xR 若当 0 实数 m 的取值范围是（）A 1，2B（ 4， 4C 2， +）D（， 29已知双曲线 1（ a，b 0）的左、右焦点分别为F1，F 2，过 F2 且倾斜角为60的直线与双曲线右支交于A， B 两点，若 ABF 1 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）ABC或D其它10已知函数f（ x） A1sin（1x+1）

4、， g（ x） A2sin（ 2x+2），其图象如图所示为得到函数g（ x）的图象，只需先将函数f （ x ）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再（）数学押题卷7 第 1页共 22页数学押题卷7 第 2页共 22页18-19 河北衡水中学高三数学数学押题卷之 7（助力老师：郝爽）校本资料，内部使用！A 向右平移个单位B向右平移个单位于 E（如图 1）现沿 AE 将 ABE 折起，使得 BC DE ，得四棱锥 B AECD （如图 2）C向左平移个单位D 向左平移个单位（）求证：平面 BDE平面 ABC；（）若 F 为 BC 的中点，求二面角 D EF C 的余弦值11在正方体 A

5、BCD A1B1C1D1 中，点 E平面 AA1B1B，点 F 是线段 AA1 的中点，若 D1C CF，则当 EBC的面积取得最小值时，（）ABCD12已知函数f（ x） ax2（ 2a+1） x+lnx， aR， g（x） ex x 1，若对于任意的x1（0， +）， x2R，不等式 f（ x1） g（ x2）恒成立，则实数a 的取值范围为（）A1，0）B1，0CD第卷（非选择题90 分）二填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13已知随机变量X 取值为 0、 1、2，若 P（ x 0），E（ X） 1，则 D （X）14已知直线 l ：ax+by0 与椭圆交于 A，B 两点

6、，若 C（ 5，5），则的取值范围是15已知半径为 4 的球面上有两点A，B，球心为 O，若球面上的动点C 满足二面角 CAB O 的大小为60o，则四面体 OABC 的外接球的半径为16已知函数为偶函数，为奇函数， 其中 a、b 为常数， 则（ a+b）2233100100+（ a +b ） +（ a+b ） + +（a+b ）三解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分17（ 12 分）已知函数（ 1）求 f（ x）的最小正周期 T；（ 2）在 ABC 中，

7、内角 A、B、 C 所对的边分别是a、 b、c若，且面积，求 的值18（ 12 分）梯形 ABCD 中， AD BC， ABC， BCD，AD CD 2，过点 A 作 AE AB，交 BC19（ 12 分） 2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度新高考不再分文理科，采用3+3 模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150 分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6 门科目中自选3 门参加考试（ 6 选 3），每科目满分100 分为了应对新高考，某高中从高一年级1000 名学生（其中男生550 人，女生 45

8、0 人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100 名学生进行调查（ 1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的 100 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的2 2 列联表请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9 名女生，再从这9 名女生中随机抽取 4 人，设这 4 人中选择“地理”的人数为X，求 X 的分布列及数学期望选择“物理”选择“地理

9、”总计男生10女生25总计附参考公式及数据：X2，其中 n a+b+c+dP（X2 k）0.050.01k3.8416.63520（ 12 分）已知椭圆（a b 0）经过点 M（1， ），且其右焦点与抛物线的数学押题卷7 第3页共22页数学押题卷7 第4页共22页焦点 F 重合 求椭圆 C1 的方程； 直线 l 经过点 F 与椭圆 C1 相交于 A、B 两点，与抛物线C2 相交于 C、 D 两点求的最大值21（ 12 分）已知函数f（ x）（ x+1） lnx+ax（ aR）（1）若函数 y f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为x+y+b 0，求实数a，b 的值；（2）设函数 g（

10、 x）， x1，e（其中 e 为自然对数的底数） 当 a 1 时，求函数g（ x）的最大值； 若函数 h（x） |是单调减函数，求实数a 的取值范围（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为，（ 为参数）已知点Q（ 4，0），点 P 是曲线 ?l 上任意一点，点M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求点 M 的轨迹 C2 的极坐标方程；（2）已知直线l： y kx 与曲线 C2 交于 A， B 两点，若 3，求 k 的值23已知函数f（ x） |x

11、a|（ aR ）（）若关于x 的不等式f（ x） |2x+1|的解集为 3，求 a 的值；（）若 ? xR ，不等式f（ x） |x+a| a2 2a 恒成立，求a 的取值范围押题卷 7 参考答案及试题解析1【解答】 解：集合A x| 1 2x+1 3 x| 1 x 1 ，B x| 0 x|1 x 0 ，则 ?RB x|x 1 或 x 0 ，所以 A（ ?RB） x|0 x 1 0， 1故选： D2【解答】 解：的实部与虚部相等， a+1 1 a，即 a 0故选： A3【解答】 解： f（x） sin2x+cos2x 2sin（ 2x+），由 2k 2x+ 2k+， kZ ，得 k x k+，

12、（ kZ ），即获即函数的单调递增区间为 k， k+ （ kZ ），故选： A4【解答】 解： p1：若直线 l 和平面 内的无数条直线垂直，则l 不一定成立，必须是任意直线；故命题p1 错误，x x xxp2：若 f（ x） e e，则 f （ x） e e f（ x），即 ?xR， f（ x） f（ x）成立；命题正确，p3：当 x 1 时， x+1+ 1 21 2 10，当且仅当x+1，即（ x+1） 2 1，得 x 0 时取等号，则?x0（ 0， +）， f（ x0） 1 不成立，故命题为假命题，p4：在 ABC 中，若 A B，则 a b，由正弦定理得sinA sinB，即命题为真命

13、题，则正确的命题是p2，p4，故选： B5【解答】 解：由题意，可得：， 4+4 16 4 4 52 2数学押题卷7 第 5页共 22页数学押题卷7 第 6页共 22页18-19 河北衡水中学高三数学数学押题卷之7 （助力老师：郝爽）校本资料，内部使用！ 3+52+2 55+4 55+4 55+452+2 2 +3（ 2）2则的最大值为 2故选： D6【解答】 解：提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为 A、B、 C、 D、 E，分 4 步进行分析： ，对于区域A，有 5 种颜色可选； ，对于区域B，与 A 区

14、域相邻，有4 种颜色可选； ，对于区域E，与 A、 B 区域相邻，有3 种颜色可选； ，对于区域D、 C，若 D 与 B 颜色相同， C 区域有 3 种颜色可选，若 D 与 B 颜色不相同， D 区域有 2 种颜色可选， C 区域有 2 种颜色可选，则区域 D、 C 有 3+2 27 种选择，则不同的涂色方案有54 3 7 420 种，其中， A、 C 区域涂色不相同的情况有： ，对于区域A，有 5 种颜色可选； ，对于区域B，与 A 区域相邻，有4 种颜色可选； ，对于区域E，与 A、 B、 C 区域相邻，有2 种颜色可选； ，对于区域D、 C，若 D 与 B 颜色相同， C 区域有 2 种

15、颜色可选，若 D 与 B 颜色不相同， D 区域有 1 种颜色可选， C 区域有 1 种颜色可选，则区域 D、 C 有 2+1 13 种选择，不同的涂色方案有 5 4 2 3120 种， A、 C 区域涂色不相同的概率为p故选： B7【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 zax+y 得 y ax+z，要使目标函数 z ax+y 取得最大值时的最优解仅为（1，3），则若 a 0，则直线yz 在 A（ 1， 3）处取得最大值，满足条件若 a 0，则 a 0，要使直线y ax+z 在 A（ 1， 3）处取得最大值，则直线 y ax+z 的斜率小于AC 的斜率 k 1，即 a 1，的 1

16、a 0，若 a 0，则 a 0，要使直线y ax+z 在 A（ 1， 3）处取得最大值，则直线 y ax+z 的斜率大于AB 的斜率 k 1，即 a 1，的 0a 1，综上 1 a1，即实数a 的取值范围是（1， 1），故选： A3 3x23，8【解答】 解： f（ x） x+4x 1（ x 1） +（ x1） +13令 g（ t） t +t，则 f （ x1 ）+f （x2） 2? g（ x11） +g（ x2 1） +2 2? g（ x1 1）+g（ x2 1） 0，而 g（ t）是 R 上的单调递增函数，又是奇函数，于是有（ x11） +（ x2 1） 0故 f （msin） +f（ 4

17、m） 2? msin+4m2，得 m，0 ， 0 1 sin1，则 2故 m 2实数 m 的取值范围是（，2故选： D数学押题卷7 第7页共22页数学押题卷7 第8页共22页9【解答】 解：如图 ABF1 为等腰三角形，直线 AB 的倾斜角为60， AF1BF1，当 AF 1AB 时， AF1AB， AF1AB AF2+F2B， AF 1AF2 F 2B2a， BF 1BF2 2a， BF 14a，直线 AB 的倾斜角为60， F1F2B 60 F 1F 22c，在三角形 F1F 2B 中，根据余弦定理得，（ 4a） 2（ 2a） 2+（ 2c） 2 2?（ 2a）?2c?cos120整理得，

18、 3a2 ac c2 0同除以 a2 得，即 e2 e 30，解得，（应舍去），当 BF 1AB 时， BF1AB BF2+F2A， BF 1BF2 AF 22a， AF 1AF2 2a， AF 14a，直线 AB 的倾斜角为60， F 1F2B 120 F 1F 22c，在三角形 F1F 2B 中，根据余弦定理得，（ 4a） 2（ 2a） 2+（ 2c） 2 2?（ 2a）?2c?cos6022 0，整理得， 3a +ac c同除以 a2 得，（） 2+ 30，即 e2+e 30，解得， e3（应舍去）， e4，双曲线1（ a， b 0）的渐近线方程为y，综上所述，该双曲线的离心率为e，故选

19、： A10【解答】 解：函数111）， g（ x） A222），其图象如图所示，f（ x） Asin（ x+sin （ x+可见 f（ x）的周期为2，g（ x）的周期为 ，且 f（ x）图象上的点（ 0，0），在 g（ x）的图象上对应（，0），为得到函数 g（ x）的图象，只需先将函数f（ x）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，在向右平移个单位，故选： A11【解答】 解：如图所示，取AB 的中点 G，由题意得CF 平面 B1D 1G，当点 E 在直线 B1G 上时， D1ECF，设 BC a，则，当 EBC 的面积取最小值时，线段 EB 的长度为点B 到直线 B1G 的距

20、离，线段 EB 长度的最小值为，数学押题卷7 第9页共22页数学押题卷7 第10页共22页18-19 河北衡水中学高三数学数学押题卷之7 （助力老师：郝爽）故选： Dxx12【解答】 由 g（x） e x 1，则 g（ x） e 1，令 g（ x） 0，解得 x0；令 g（ x） 0，解得 x 0 g（x）在（， 0）是减函数，在（ 0， +）是增函数，即 g（x） 最小值 g（0） 0校本资料，内部使用！令 f （ x） 0，解得： x 1，f（ x）在（ 1，+）是增函数，而当 x +时， f（ x） +，这与对于任意的x（ 0，+）时 f（ x） 0 矛盾同理 0 a时也不成立综上所述：

21、 a 的取值范围为 1， 0故选： B13【解答】 解：设 P（X 1） p， P（ X 2） q，随机变量X 取值为 0、 1、2， P（ x 0）， E（ X） 1，对于任意的x1（ 0， +）， x2R，不等式f（ x1） g（ x2）恒成立，则有f（ x1） g（ 0）即可即不等式f（ x） 0 对于任意的x（ 0， +）恒成立，f（ x），（ 1）当 a 0 时， f（ x），令 f（ x） 0，解得 0x 1；令 f（ x） 0，解得 x 1 f（ x）在（ 0， 1）是增函数，在（ 1， +）是减函数， f（ x） 最大值 f（ 1） 1， a0 符合题意（ 2）当 a 0 时，

22、 f（ x），令 f（ x） 0，解得 0 x1；令 f（ x） 0，解得 x 1 f（ x）在（ 0， 1）是增函数，在（ 1， +）是减函数， f（ x） 最大值 f（ 1） a 1 0，得 1 a 0， 1 a 0 符合题意（ 3）当 a 0 时， f（ x），解得 p， q，222D（X） （01） +（1 1） +（21） 故答案为：14【解答】 解：直线 l ： ax+by0 与椭圆交于 A， B 两点，由于直线l 过原点，可设A（ m， n）， B（ m， n），且 m2+ 1，由 C（ 5，5），则（ m 5， n5）（? m 5， n 5）（ m5）（ m 5）+（ n 5）

23、（ n 5） 50m2n2 49n2，由 0 n2 9，可得 49n241 ，49 故答案为： 41，49 f（ x） 0 得： x1， x2 1，a 时， 0x1 1，令 f （ x）0，解得： 0 x或 x1；15【解答】 解：数学押题卷7 第 11页共 22页数学押题卷7 第 12页共 22页如图，设 A， B，C 所在球小圆为圆O，取 AB 中点 E，连接 OE，O E，则 OEO即为二面角C AB O 的平面角，为60，由 OA OB 4，AB ，得 AOB 为等腰直角三角形，OE，设 O ABC 的外接球球心为M，半径为r ，利用 Rt BOM 列方程得：，解得： r 故答案为：1

24、6【解答】 解： f（ x）为偶函数，g（x）为奇函数，即，解得；复数 a、b 是方程 x2+x+1 0 的两个根，解得， a+i， bi ； a3 b3 122233已知 a+b 1， ab 1；则 a +b （ a+b） 2ab 1， a+b 2，4455662， ，归纳出有周期性且T 3，同理可求 a+b 1，a +b 1， a +b223310010022）33（ a+b） +（ a+b） +（ a +b） + +（ a+b ） 99（ a+b） +（ a +b+（ a+b ） + （ a+b） 1故答案为： 1三解答题（共7 小题）17【解答】（本题满分为 12 分）解：（ 1），

25、（ 2 分）， （ 4 分） T （5 分）（ 2），可得： 3，可得： sin（ A+） 1， A+（，）， A+，可得：， （6 分）又， （ 9 分） sinB cosB，即， （ 10 分） （ 12 分）18【解答】（）证明：在 ABE 中， ABC， AE AB， BEA ，又， AE DC ，又 AD BC，四边形AECD 为平行四边形， AD CD ，平行四边形 AECD 为菱形，则 DEAC ，又 BC DE， AC， BC? 平面 ABC， ACBCC， DE平面 ABC，又 DE? 平面 BDE ，平面 BDE平面 ABC；（）解： DE 平面 ABC， AB? 平面 A

26、BC， AB DE，又 AB AE， AE， DE? 平面 AECD ， AEDE E， AB平面 AECD ，设 AC ED O， O， F 分别为 AC，BC 的中点，则 OF AB， OF平面 AECD 由（）得，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 AD CD 2，可知 AE CD 2，BAAE tan则 F（0，0，）， C（0，0），E（1，0， 0），设平面 EFC 的一个法向量为，则，取 x，得数学押题卷7 第 13页共 22页数学押题卷7 第 14页共 22页18-19 河北衡水中学高三数学数学押题卷之7 （助力老师：郝爽）校本资料，内部使用！DEFPD EF C

27、 cos |cos|EX+2+3+4DEFC2021y4x c1 12F10a2b2c21C119110055100452 2 “ ” “ ”45105525204570301002K 28.1289 6.63599%52459954944X012347XP XPX0PX1PX2PX3 PX410XX01234a24b49b290b23a2b2+142F10c 1C1F110F210 ab0M14a2a24b2a2c2413 lxA1B1C12D12lxkk 0lykx1228k2212 03+4k xx+4k222428k4 3+4k 1264k+192 k +144 0 Ax1y1Bx2y

28、2数学押题卷7 第 15页共 22页数学押题卷7 第 16页共 22页则，所以，由22（ 2k22，得， k x+4） x+k 0 （ 2k224k42C（x3， y3）， D（ x4， y4）+4 ） 16k +16 0，方程有两个不等的实数根设k 0，由抛物线的定义，得综上，当直线l 垂直于 x 轴时，取得最大值21【解答】 解：（ 1） f（ x） lnx+a，f （ 1） a+2 1，a 3，（ 1 分）f（ 1） a 3，将点（ 1， 3）代入 x+y+b0，解得 b 2（ 2 分）（2） 因为 g（ x）（+1 ）lnx 1，则 g（ x）+（ 3 分）令 （ x） x lnx+1

29、，则 （ x） 1 0，函数 （ x）在区间 1， e 上单调递增（ 5 分）因为 （ x） （1） 0，（ 6 分）所以 g（ x） 0，函数 g（ x）在区间 1，e 上单调递增，所以函数g（ x）的最大值为g（ e）（8 分） 同理，单调增函数g（ x）a， a+1+，（9 分）则 h（ x）?1若 a 0， g（ x） 0， h（x），h（ x） 0，22令 u（ x）（ 1+x+x ） lnx ax +x+1 ，则 u（ x）（ 1+2x） lnx （ 2a+1 ）x 0，即函数 u（x）区间在 1， e上单调递减，所以 u（ x） max u（ 1） a+2 0，所以 a 2（ 1

30、1 分）2若 a，g（ x） 0， h（ x），由 1知， h（ x），又函数h（ x）在区间 1，e上是单调减函数，22所以 u（ x）（ 1+x+x ） lnx ax +x+1 0 对 x1， e 恒成立，即 ax2 x+1（ 1+x+x2） lnx 对 x1， e恒成立，即 a+lnx 对 x1， e恒成立令 （ x）+lnx， x1， e ，（ x）（） lnx （+1 ）+（+） lnx ，记 （x） lnx x+1（ 1 x e），又 （ x） 1 0，所以函数（ x）在区间 1， e上单调递减，故 （x）max （1） 0，即 lnx x 1，所以（ x）+（+）lnx +（+）l