2019年浙江省杭州市中考数学试卷

1、2019 年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1（ 3分）计算下列各式，值最小的是（）A20+19B2+019C2+0 19D2+0+1 92（ 3分）在平面直角坐标系中，点A（ m， 2）与点 B（ 3， n）关于 y 轴对称，则（）A m 3，n 2B m 3，n 2Cm2， n 3Dm 2， n 33（ 3分）如图， P 为圆 O 外一点， PA，PB 分别切圆 O 于 A， B 两点，若 PA 3，则 PB（）A2B3C4D54（ 3 分）已知九年级某班30 位学生种树72 棵，男

2、生每人种3 棵树，女生每人种2 棵树，设男生有x 人，则（）A 2x+3（ 72 x） 30B3x+2（ 72 x） 30C 2x+3（ 30 x） 72D 3x+2（ 30 x） 725（ 3 分）点点同学对数据26，36，46，5，52 进行统计分析， 发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A 平均数B 中位数C方差D标准差6（ 3 分）如图，在ABC 中，点 D， E 分别在 AB 和 AC 上， DE BC， M 为 BC 边上一点（不与点B，C 重合），连接AM交DE于点N，则（）ABCD7（ 3 分）在 ABC 中，若一个内角等于另外两个

3、内角的差，则（）A 必有一个内角等于30B必有一个内角等于45C必有一个内角等于60D必有一个内角等于908（ 3 分）已知一次函数y1 ax+b 和 y2 bx+a（a b），函数 y1 和 y2 的图象可能是（）第1页（共 20页）ABCD9（ 3 分）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC OB，点 A， B， C， D， O 在同一平面内） ，已知 AB a， ADb， BCO x，则点 A 到 OC 的距离等于（）A asinx+bsinxBacosx+bcosxC asinx+bcosxD acosx+bsinx10（ 3 分）在平面直角坐标系中，已知a b，设函数y（ x+

4、a）（ x+b）的图象与x 轴有 M 个交点，函数y（ ax+1）（bx+1 ）的图象与x 轴有 N 个交点，则（）AMN1 或 MN+1BM N1 或 MN+2CMN 或 MN+1DM N 或 MN1二、填空题：本大题有6 个小题，每小题4 分，共 24 分；11（ 4 分）因式分解：1 x212（ 4 分）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x，第二次算得另外n 个数据的平均数为y，则这 m+n 个数据的平均数等于13（ 4 分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于cm2（结果精确到个位） 14（4 分）在直

5、角三角形ABC 中，若 2AB AC，则 cosC15（ 4 分）某函数满足当自变量x 1 时，函数值y 0，当自变量x0 时，函数值y 1，写出一个满足条件的函数表第2页（共 20页）达式16（4 分）如图，把某矩形纸片落在 AD 边上同一点 P 处，A D PH 的面积为 1，则矩形ABCD 沿 EF， GH 折叠（点E， H 在点的对称点为A点， D 点的对称点为ABCD 的面积等于AD 边上，点 F， G 在 BC 边上），使点 B 和点 C D 点， 若 FPG 90， AEP 的面积为 4，三、解答题：本小题7 个小题，共66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（6

6、分）化简： 1圆圆的解答如下： 14x 2（ x+2）（ x24） x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案18（ 8 分）称量五筐水果的质量，若每筐以 50 千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）实际称量读数和记录数据统计表序号12345数据甲组4852474954乙组 22 3 14第3页（共 20页）（1）补充完成乙组数据的折线统计图（2） 甲，乙两组数据的平均数分别为，写出与之间的等量关系 甲，乙两组数据的方差分别为S 甲 2， S 乙 2，比较

7、 S 甲 2 与 S 乙 2 的大小，并说明理由19（8 分）如图，在ABC 中， AC AB BC（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点 P，连接 AP，求证： APC 2 B（2）以点 B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点 Q，连接 AQ若 AQC 3 B，求 B 的度数20（ 10 分）方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到 B 地，行驶里程为480 千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米 /小时），且全程速度限定为不超过120 千米 /小时（ 1）求 v 关于 t 的函数表达式；（ 2）方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发 方方

8、需在当天12 点 48 分至 14 点（含 12 点 48 分和 14 点）间到达 B 地，求小汽车行驶速度v 的范围 方方能否在当天11 点 30 分前到达 B 地？说明理由21（ 10 分）如图，已知正方形ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为1，点 E 在 DC 边上，点 G 在 BC 的延长S线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为S2，且 S1 S2（1）求线段 CE 的长；第4页（共 20页）（2）若点 H 为 BC 边的中点，连接HD ，求证： HD HG 22（ 12 分）设二次函数y（ x x1）（ x x2）（ x1， x2 是实数）（1）甲求得当

9、x 0时， y 0；当 x1 时， y 0；乙求得当 x时， y 若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1， x2 的代数式表示） （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（ 1，n）两点（ m，n 是实数），当 0x1 x2 1 时，求证： 0 mn23（ 12 分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆 O， OD BC 于点 D，连接 OA（ 1）若 BAC 60， 求证： OD OA 当 OA 1 时，求 ABC 面积的最大值（ 2）点 E 在线段 OA 上， OE OD ，连接 DE ，设 ABC m OED

10、， ACB n OED （m， n 是正数），若 ABC ACB ，求证： m n+20第5页（共 20页）2019 年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10 个小题，每小题3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1（ 3 分）计算下列各式，值最小的是（）A 20+1 9B 2+0 1 9C2+0 19D2+0+1 9【分析】 有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算【解答】 解： A.20+1 9 8，B 2+0 1 9 7C 2+0 1 9 7D 2

11、+0+1 9 6，故选： A【点评】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键2（ 3 分）在平面直角坐标系中，点A（ m， 2）与点 B（ 3， n）关于 y 轴对称，则（）A m 3，n 2B m 3，n 2Cm2， n 3Dm 2， n 3【分析】 直接利用关于y 轴对称点的性质得出答案【解答】 解：点 A（ m， 2）与点 B（ 3， n）关于 y 轴对称，m 3， n 2故选： B【点评】 此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键3（ 3 分）如图， P 为圆 O 外一点， PA，PB 分别切圆 O 于 A， B 两点，若 PA

12、3，则 PB（）A2B3C4D5【分析】 连接 OA、OB、 OP，根据切线的性质得出OA PA， OB PB，然后证得Rt AOP Rt BOP，即可求得PB PA 3【解答】 解：连接 OA 、OB、 OP，PA， PB 分别切圆 O 于 A， B 两点，第6页（共 20页）OA PA， OB PB，在 Rt AOP 和 Rt BOP 中， Rt AOP Rt BOP（HL ）， PB PA3，故选： B【点评】 本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键4（ 3 分）已知九年级某班30 位学生种树72 棵，男生每人种3 棵树，女生每人种2 棵树，设

13、男生有x 人，则（）A 2x+3（ 72 x） 30B3x+2（ 72 x） 30C 2x+3（ 30 x） 72D 3x+2（ 30 x） 72【分析】 直接根据题意表示出女生人数，进而利用30 位学生种树72 棵，得出等式求出答案【解答】 解：设男生有x 人，则女生（30 x）人，根据题意可得：3x+2（ 30 x） 72故选： D【点评】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键5（ 3 分）点点同学对数据26，36，46，5，52 进行统计分析， 发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A 平均数B 中位

14、数C方差D标准差【分析】 利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断【解答】 解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4 个数有关，而这组数据的中位数为46，与第 4 个数无关故选： B【点评】 本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度也考查了中位数、平均数6（ 3 分）如图，在ABC 中，点 D， E 分别在 AB 和 AC 上， DE BC， M 为 BC 边上一点（不与点B，C 重合），连接AM交DE于点N，则（）第7页（共 20页）A B CD【分析】 先证明 ADN ABM 得到，再证明 ANE AMC 得到，则，从而可对各

15、选项进行判断【解答】 解： DN BM， ADN ABM，NE MC ， ANE AMC ，故选： C【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系7（ 3 分）在 ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A 必有一个内角等于30B必有一个内角等于45C必有一个内角等于60D必有一个内角等于90【分析】 根据三角形内角和定理得出A+ B+ C 180，把 C A+ B 代入求出 C 即可【解答

16、】 解： A+ B+ C180， A C B， 2 C180， C90， ABC 是直角三角形，故选： D【点评】 本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于 180第8页（共 20页）8（ 3 分）已知一次函数y1 ax+b 和 y2 bx+a（a b），函数 y1 和 y2 的图象可能是（）ABCD【分析】 根据直线 判断出 a、b 的符号，然后根据 a、 b 的符号判断出直线 经过的象限即可，做出判断【解答】 解： A、由 可知： a 0， b0直线 经过一、二、三象限，故A 正确；B、由 可知： a 0， b 0直线 经过一、二、

17、三象限，故B 错误；C、由 可知： a0， b 0直线 经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误；D、由 可知： a0， b 0，直线 经过二、三、四象限，故D 错误故选： A【点评】 本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键9（ 3 分）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（ OC OB，点 A， B， C， D， O 在同一平面内） ，已知 AB a， ADb， BCO x，则点 A 到 OC 的距离等于（）A asinx+bsinxBacosx+bcosxC asinx+bcosxD acosx+bsinx第9页（共 20页）【分析】 根据题意，作出合

18、适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A 到 OC 的距离，本题得以解决【解答】 解：作 AE OC 于点 E，作 AF OB 于点 F，四边形 ABCD 是矩形， ABC 90， ABC AEC， BCO x， EAB x， FBA x，AB a， AD b，FO FB+BO a?cosx+b?sinx，故选： D【点评】 本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答10（ 3 分）在平面直角坐标系中，已知a b，设函数y（ x+a）（ x+b）的图象与x 轴有 M 个交点，函数y（ ax+1）（bx+1 ）的图象与x 轴有 N

19、个交点，则（）AMN1 或 MN+1BM N1 或 MN+2CMN 或 MN+1DM N 或 MN1【分析】 先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答2【解答】 解： y（ x+a）（ x+b） x +（ a+b） x+1，（ a+b） 2 4ab（ a b）2 0，函数 y（ x+a）（ x+b）的图象与x 轴有 2 个交点，M2，2函数 y（ ax+1）（ bx+1） abx +（ a+b） x+1，当 ab 0 时，（ a+b） 2 4ab（ a b）2 0，函数 y（ ax+1）（bx+1）的

20、图象与x 轴有 2 个交点，即N2，此时 MN；当 ab 0 时，不妨令a 0， a b， b 0，函数 y（ ax+1）（ bx+1） bx+1 为一次函数，与x 轴有一个交点，第 10 页（共 20 页）即 N 1，此时 MN +1；综上可知， M N 或 M N +1故选： C【点评】 本题主要考查一次函数与二次函数与x 轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x 轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x 轴的交点个数二、填空题：本大题有6 个小题，每小题4 分，共 24 分；11（ 4 分）因式分解：1 x2（ 1x）（

21、1+ x）【分析】 根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解2【解答】 解： 1 x （ 1 x）（ 1+x），【点评】 本题考查因式分解运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解12（ 4 分）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x，第二次算得另外n 个数据的平均数为y，则这 m+n 个数据的平均数等于【分析】 直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数【解答】 解：某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x，第二次算得另外n 个数据的平均数为y，则这 m+n 个数据的平均数等于：故答案为：【点评】 此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和

22、是解题关键13（ 4 分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于113cm2（结果精确到个位） 【分析】 利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算【解答】 解：这个冰淇淋外壳的侧面积 2 312 36 113（ cm2）故答案为 113【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长14（4 分）在直角三角形ABC 中，若 2AB AC，则 cosC或【分析】 讨论：若 B 90，设

23、 AB x，则 AC 2x，利用勾股定理计算出BCx，然后根据余弦的定义求cosC的值；若 A 90，设 AB x，则 AC 2x，利用勾股定理计算出BCx，然后根据余弦的定义求cosC 的值第 11 页（共 20 页）【解答】 解：若 B 90，设 AB x，则 AC 2x，所以 BCx，所以 cosC；若 A 90，设 AB x，则 AC 2x，所以 BCx，所以 cosC；综上所述， cosC 的值为或故答案为或【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算15（ 4 分）某函数满足当自变量 x 1 时，函数值 y 0，当自变量 x0 时，函

24、数值 y 1，写出一个满足条件的函数表达式 y x+1 【分析】 根据题意写出一个一次函数即可【解答】 解：设该函数的解析式为y kx+b，函数满足当自变量x 1 时，函数值y0，当自变量x 0 时，函数值y 1，解得：，所以函数的解析式为y x+1，故答案为： y x+1【点评】 本题考查了各种函数的性质，题目中x、 y 均可以取0，故不能是反比例函数16（4 分）如图，把某矩形纸片ABCD 沿 EF， GH 折叠（点E， H 在 AD 边上，点F， G 在 BC 边上），使点 B 和点 C落在 AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A点， D 点的对称点为D 点， 若 FPG 90， A

25、EP 的面积为4，D PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于2（5+3）【分析】 设 AB CD x，由翻折可知： PA AB x，PD CD x，因为 AEP 的面积为4， D PH 的面积为 1，推出 AE 4D H，设 D H a，则 AE 4a，由 A EP D PH，推出，推出，可得 x 2a，再利用三角形的面积公式求出a 即可解决问题【解答】 解：四边形ABC 是矩形，AB CD， AD BC，设 AB CD x，第 12 页（共 20 页）由翻折可知： PA AB x， PD CD x， AEP 的面积为4， D PH 的面积为1，A E 4D H ，设 D H a，则 A

26、 E4a， AEP D PH， x2 4a2， x 2a 或 2a（舍弃）， PA PD 2a， ?a?2a 1， a 1， x 2，AB CD 2， PE 2， PH，AD 4+2+1 5+3，矩形 ABCD 的面积 2（5+3）故答案为2（ 5+3）【点评】 本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题：本小题7 个小题，共66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（6 分）化简： 1圆圆的解答如下： 14x 2（ x+2）（ x24） x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确

27、的答案【分析】 直接将分式进行通分，进而化简得出答案【解答】 解：圆圆的解答错误，正确解法：1第 13 页（共 20 页）【点评】 此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键18（ 8 分）称量五筐水果的质量，若每筐以50 千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）实际称量读数和记录数据统计表序号12345数据甲组4852474954乙组 22 3 14（1）补充完成乙组数据的折线统计图（2） 甲，乙两组数据的平均数分别为，写出与之间的等量关系 甲，乙两组数

28、据的方差分别为S 甲 2， S 乙 2，比较 S 甲 2 与 S 乙 2 的大小，并说明理由【分析】（ 1）利用描点法画出折线图即可（2）利用方差公式计算即可判断【解答】 解：（ 1）乙组数据的折线统计图如图所示：第 14 页（共 20 页）（2） 50+ S甲 2S 乙22（ 4850）22222理由： S甲+（ 52 50） +（47 50） +（ 49 50） +（ 5450） 6.8222222S乙 （ 20） +（ 20）+（ 3 0） +（ 1 0） +（ 4 0） 6.8，S 甲2S 乙2【点评】 本题考查折线统计图，算术平均数，方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

29、常考题型19（8 分）如图，在 ABC 中， AC AB BC（1）已知线段 AB 的垂直平分线与BC 边交于点 P，连接 AP，求证： APC 2 B（2）以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点 Q，连接 AQ若 AQC 3 B，求 B 的度数【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PAPB，根据等腰三角形的性质可得B BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC 2 B；（2）根据题意可知BA BQ，根据等腰三角形的性质可得BAQ BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答【解答】 解：（ 1）证明：线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点 P，PA PB，第 15 页

30、（共 20 页） B BAP， APC B+ BAP， APC 2 B；（ 2）根据题意可知 BA BQ， BAQ BQA， AQC 3 B， AQC B+ BAQ， BQA 2 B， BAQ +BQA + B 180， 5 B180， B 36【点评】 本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中20（ 10 分）方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到 B 地，行驶里程为480 千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米 /小时），且全程速度限定为不超过120 千米 /小时（ 1）求 v 关于 t 的函数表达式；（ 2）方方上午 8 点

31、驾驶小汽车从 A 地出发 方方需在当天12 点 48 分至 14 点（含 12 点 48 分和 14 点）间到达 B 地，求小汽车行驶速度v 的范围 方方能否在当天11 点 30 分前到达 B 地？说明理由【分析】（ 1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2） 8 点至 12 点 48 分时间长为小时， 8 点至 14 点时间长为6 小时， 将它们分别代入v 关于 t 的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围； 8 点至 11 点 30 分时间长为小时，将其代入 v 关于 t 的函数表达式，可得速度大于120千米 /时，从而得答案【解答】 解：（ 1） vt 4

32、80，且全程速度限定为不超过120 千米 / 小时，v 关于 t 的函数表达式为：v，（ 0 t 4）（2） 8 点至 12 点 48 分时间长为小时， 8 点至 14 点时间长为6 小时将 t 6 代入 v得 v 80；将 t代入 v得 v 100小汽车行驶速度v 的范围为： 80 v 100 方方不能在当天11 点 30 分前到达 B 地理由如下：第 16 页（共 20 页）8 点至 11 点 30 分时间长为小时，将 t代入 v得 v 120 千米 /小时，超速了故方方不能在当天11 点 30 分前到达B 地【点评】 本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，

33、本题属于中档题21（ 10 分）如图，已知正方形ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为 S1，点 E 在 DC 边上，点 G 在 BC 的延长线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为S2，且 S1 S2（1）求线段 CE 的长；（2）若点 H 为 BC 边的中点，连接HD ，求证： HD HG 【分析】（ 1）设出正方形CEFG 的边长，然后根据S1 S2，即可求得线段CE 的长；（2）根据（ 1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD 和 HG 的长，即可证明结论成立【解答】 解：（ 1）设正方形CEFG 的边长为a，正方形 ABCD 的边长为 1，DE 1 a

34、，S1 S2，a2 1（ 1 a），解得，（舍去），即线段 CE 的长是；（ 2）证明：点 H 为 BC 边的中点， BC 1，CH 0.5，DH，CH 0.5，CG，HG，HD HG【点评】 本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22（ 12 分）设二次函数y（ x x1）（ x x2）（ x1， x2 是实数）第 17 页（共 20 页）（1）甲求得当x 0 时， y 0；当 x1 时， y 0；乙求得当x时， y若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1， x2 的代数式表示） （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（ 1，n）两点（ m，n 是实数），当 0x1 x2 1 时，求证： 0 mn【分析】（ 1）将（ 0， 0），（ 1， 0）代入 y（ x x1）（ x x2