高考数学复习(69)不等式的证明

1、65高考数学复习（69）不等式的证明1(2018南京、盐城一模)若实数 x，y，z 满足 x2yz1，求 x2y2z2的最小值解：由柯西不等式，得(x2y2z2)(122212)(x2yz)21，x y z 1 1当且仅当 ，即 xz ，y 时取等号1 2 1 6 31所以(x2y2z2) .min2已知 a0，b0,2cab，求证：c c2abac c2ab.证明：要证：c c2abac c2ab，只需证： c2abac c2ab，只需证：|ac| c2ab，只需证：(ac)2c2ab，只需证：a2c22acc2ab，即证：2aca2ab.因为 a0，所以只需证 2cab，由题设，上式显然成

2、立故 c c2abac c2ab.13(2018苏州高三期中调研)设 x，y 均为正数，且 xy，求证：2x 2y3.x22xyy2证明：因为 x0，y0，xy0，1所以 2x 2y2(xy) x22xyy212(xy)(xy)1323213，2当且仅当 xy1时等号成立， 21所以 2x 2y3.x22xyy24(2018南通一调)求函数 y3sin x2 22cos 2x的最大值 解：y3sin x2 22cos 2x3sin x4 cos2x.由柯西不等式得y2(3sin x4 cos2x)2(3242)(sin2xcos2x)25，3所以 y x5，此时 sin x .ma所以函数 y

3、3sin x2 22cos 2x的最大值为 5.3a b c 35已知 a，b，cr ，求证： .bc ac ab 2证明：因为 a，b，cr ，a b c所以 bc ac ababc abc abc 3 bc ac ab1 1 13(abc) bc ac ab1 (a b) (b c) (a c) 21 1 1 bc ac ab1 3 3 32 331 9 33 3 ，当且仅当 abc 时等号成立， 2 2a b c 3所以 .bc ac ab 26(2018镇江期末)已知 a0，b0，证明：(a2b2ab)(ab2a2b1)9a2b2.3证明：因为 a0，b0，所以由基本不等式可得 a2b

4、2ab3 a3b33ab，3ab2a2b13 a3b33ab，两式相乘可得(a2b2ab)(ab2a2b1)9a2b2，当且仅当 ab1 时取等号1 1 17已知 a，b，c 为正实数， 27abc 的最小值为 m，解关于 x 的不等式|x1|2xm.a3 b3 c3解：因为 a0，b0，c0，1 1 1 1 1 1 3所以 27abc3 27abc 27abc2 a3 b3 c3 a3 b3 c3 abc3abc27abc18，当且仅当 abc31时取“”，所以 m18. 319所以不等式|x1|2xm，即为|x1|2x18，所以2x18x12x18，解得 x ，319所以原不等式的解集为 ，. 3 8设函数 f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记 f(x)1 的解集为 m，g(x)4 的解集为 n. (1)求 m；1(2)当 xmn 时，证明：x2f(x)xf(x)2 .4 43x3，x1，解：(1)f(x)1x，x ，4 4当 x1 时，由 f(x)3x31 得 x ，故 1x ；3 3当 x1 时，由 f(x)1x1 得 x0，故 0x1. 4所以 f(x)1 的解集为 mx0x 3.1(2)证明：由 g(x)16x28x14 得 16x 24， 41 3解得 x .4 4 1 3 因此 nxx 4 4 3