掌握直线和椭圆位置关系的判定方法

1、掌握直线和椭圆位置关系的判定方法/能够利用一元二次方程根与系数之间的关 系解决弦长、中点弦和垂直等问题,第37课时 直线与椭圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系及判断方法 (1)直线和椭圆有三种位置关系：相交、 、 ； (2)直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：ykxm，椭圆方程： 1(ab0)，两方程联立消去y可得：Ax2BxC0，其判别式为B24AC. 当0时，直线与椭圆 ； 当0时，直线与椭圆 ； 当0时，直线与椭圆 ,相切,相离,相交,相切,相离,1点P(4,2)是直线l被椭圆 1截得的线段的中点，则l的方程是() Ax2y0 Bx2y40 C2x3y40 Dx2y80 解析：设线段

2、两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 1， 1，得 (x1x2)(x1x2) (y1y2)(x1y2)0.，又(4,2)是 AB 的中点， 2.即x1x28，y1y24.代入式，,得 8(x1x2) 4(y1y2)0，整理得k ， 则l的方程为y2 (x4) x2y8 0. 答案：D,2过椭圆3x24y248的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于AB两点，则|AB|等于() 解析：由3x24y248得 1，a216，b212，则c 2.过左焦点F(2,0)斜率为1的直线方程为yx2，代入3x24y248整理得：7x216x320，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|(a

3、ex1)(aex2)2ae(x1x2) 8 答案：C,3曲线C： (为参数)的普通方程是_，如果直线 2xya0与曲线C有公共点，那么实数a的取值范围是_ 解析： 则22，得4x2 (y1)21，即为曲线C的普通方程，联立方程组,由得2xay，把代入，得2y22(a1)ya20， 若有公共点，则22(a1)242a24a28a40， 解得1 a1 . 答案：4x2(y1)21 1 a1,4已知椭圆3x2y212，过原点且倾斜角分别为和(0 )的两条 直线分别交椭圆于点A、C和点B、D，则四边形ABCD的面积的最大值等于 _，此时_. 解析：本题考查椭圆的对称性和直线方程的点斜式、 求最值的方法

4、如图，设一条直线的斜率为ktan ， 则另一条直线的斜率为tan()k，则两条直线 关于x轴和y轴对称，而椭圆也关于x轴和y轴对称，所以四个点 分别关于x轴和y轴对称，四边形ABCD是矩形，且被x轴和y轴平分为四块， 一条直线方程为ykx，设第一象限的交点为(x1，y1)，则y1kx1，, S四边形ABCDx1y1kx，联立方程组 消去y得(3k2)x212， ，S四边形ABCD4k (k(0,1)，设t k(k(0,1)，通过求导数可以判断t在k(0,1上是减 函数，所以当k1，即 时，t有最小值4，此时S四边形ABCD有最大值 12. 答案：12,将椭圆方程 1与ykxm联立可得到一元二次

5、方程Ax2BxC0 (1)若直线ykxm过椭圆的右焦点，与椭圆相交于M，N两点，则|MN|FM| |FN|2ae(x1x2),【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆 1上，F为椭圆在y轴正半轴上的 焦点已知 共线， 共线，且 0.求四边形MQN 的面积的最小值和最大值 解答：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.又PQ过点F(0,1)，故PQ方程为ykx1.将此式代入椭圆方程得(2k2)x22kx10.设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1， x2 从而|PQ|2(x1x2)

6、2(y1y2)2 ， 即|PQ| ，,(1)当k0时，MN的斜率为 ，同上可推得|MN|. 故四边形面积S|PQ|MN| 令uk2 ，得S 因为uk2 2，当且仅当 k1时，u2，S ，且S是以u为自变量的增函数，所以 S2. (2)当k0时，MN为椭圆长轴，|MN|2 ，|PQ| ，S |PQ|MN|2. 综合(1)(2)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 .,变式1. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4. (1)求椭圆的方程； (2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直

7、线的方程 解答：(1)设椭圆方程为 1(ab0)由已知得 所求椭圆方程为 y21.,(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 ，消去y得关于x的方程：(12k2)x28kx60， 由直线l与椭圆相交于A、B两点，064k224(12k2)0，解得k2 . 又由韦达定理得 |AB|,原点O到直线l的距离d . SAOB ， 令m (m0)，则2k2m23.S 当且仅当m ，即m2时，Smax ，此时k . 所求直线方程为 x2y40.,解决弦中点问题有两种方法：一是利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐 标公式来构造关系；二是利用弦端点在

8、曲线上，坐标满足曲线方程，用点差法 构造出中点坐标和斜率的关系,(1)求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； (2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线 与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围 解答：(1)a22，b21，c1，F(1,0)，l：x2. 圆过点O、F，圆心M在直线x 上 设M( ，t)，则圆半径r|( )(2)| .由|OM|r，得 ， 解得t ， 所求圆的方程为(x)2(y)2,【例2】如图，已知椭圆 y21的左焦点为F，O为坐标原点,(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入 y21，整理得(12k2)x2 4k2x2k

9、220. 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB中点N(x0，y0)(如图所示)，则x1x2 y0k(x01) AB的垂直平分线NG的方程为yy0 令y0，得xGx0ky0 k0，xG0，点G横坐标的取值范围为,CD3DO，动点M到直线AB的距离是它到点D的距离的2倍 (1)求点M的轨迹方程； (2)设点K为点M的轨迹与x轴正半轴的交点，直线l交点M的轨迹于E、F两点(E、 F与点K不重合)，且满足KEKF，动点P满足2OPOEOF，求直线KP的斜率 的取值范围,变式2.如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线ABx轴于点C，|OC|4，,解

10、答：(1)依题意知，点M的轨迹是以点D为焦点，直线AB为其相应准线，离心 率为 的椭圆 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，又|OC|4，CD3DO，点D 在x轴上，且|CD|3，则 解之得：a2，c1，b 坐标原点O为椭圆的对称中心动点M的轨迹 方程为,(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线EF的方程为xmyn，代入 得(3m24)y26mny3n2120.36m2n212(3m24)(n24)，y1y2 x1x2m(y1y2)2n x1x2 KEKF，K点坐标为(2,0)，(x12)(x22)y1y20， 0，7n216n40. 解得：n ，n2(舍),设P(x0，y

11、0)，x02，由2OPOEOF知，x0 y0 直线KP的斜率为k 当m0时，k0(符合题意)； 当m0时，k 7m (m 时取“”)， k 综上所述，k,解决垂直与三点共线等问题是利用一元二次方程根与系数之间的关系及垂 直或三点共线的充要条件构造关系进行求解 【例3】 在直角坐标系xOy中，点P到两点(0， )，(0， )的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A，B两点 (1)写出C的方程； (2)若OAOB，求k的值； (3)若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|OA|OB|.,解答：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 (0， )，(0， )为焦 点，长

12、半轴为2的椭圆它的短半轴b 1，故曲线C的方程为x21. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 消去y并整理得(k24)x22kx3 0，故x1x2 x1x2 若OAOB，即x1x2y1y20.而y1y2k2x1x2 k(x1x2)1，于是x1x2y1y2 10，化简得4k210， 所以k,(3)|OA|2|OB|2 3(x1x2)(x1x2) 因为A在第一象限，故x10.由x1x2 知x20.又k0，故|OA|2|OB|20，即在题设条件下，恒 有|OA|OB|.,1解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，若根 据已知条件便于求出两交点的坐标不失为一种彻

13、底有效的方法；若两交点 的坐标不好表示，可将直线方程ykxc代入椭圆方程 1整理出 关于x(或y)的一元二次方程Ax2BxC0，B24AC0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为 )；,【方法规律】,2弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题求弦长可注意弦是否 过椭圆焦点；弦的中点问题还可利用“点差法”和对称法；解决AOBO，可以利用向量AOBO的充要条件是AOBO0. .,(2009辽宁)(本小题满分12分)已知椭圆C经过点A ，两个焦点为(1，0)、(1,0) (1)求椭圆C的方程； (2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值,【考卷实录】,(1)由已知条件c1,2a 4，即a2，则b2a2c2 3.因此所求椭圆方程为 1. (2)设AE直线方程为y k(x1)，即ykx k代入 整理得：(4k23)x24k(32k)x(32k)2120.设E(x1，y1)，F(x2，y2) 则x1 将k换为k可得x2,【答题模板】,y1y2 k(x1x2)2k，,点击此处进入 作业手册,