完整版与球有关的高考试题

1、2016年高考数学微专题：与球体有关的问题、高考趋势分析：立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。二、基础知识点拨：1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.2.正方体的内切球其棱长为球的直径.3正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 : 1.方法主要是“补体”和“找球心”考试核心：性质的应用d2 OO； R2 r2，构造直角三角形建立三者之间的关系。三、高考试题

2、精练1. （2015高考新课标2,理9）已知A,B是球O的球面上两点，/ AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC体积的最大值为36,则球O的表 面积为（）A. 36 n B.64 n C.144 n D.256 n【答案】C【解析】如圏所示.当点匚位于垂直于面月DE的直径端点时，三棱锥O-AEC的体和最大，设球。的半 径为盘，此.时了二韭-二I；心二圧丈应二?砂二3 故艮二 则球O前表面积为J 1DS=4rTR- =144t，故选 C.【考点定位】外接球表面积和椎体的体积.2. （2015 辽宁高考）已知直三棱柱ABG ABC的6个顶点都在球O的球面上，若 AB= 3, AC

3、= 4, A吐AC, AAi= 12,则球O的半径为（）A.3217B. 2 1013CPD. 3 10解析：选C如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M15又 AM=2BC= 2,1513OM=2AA= 6,所以球 O的半径 R= OA= 2 2 + 622-3. （2016 长春模拟）若一个正四面体的表面积为 S,其内切球的表面积为S,则S解析：设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S = 4 a1 1a2,其内切球半径为正四面体高的4,即r = 1a=1醫因此内切球表面积为 4 n r2=n6a，贝SS = 3=636S2n 2 n6a答案：63n4.四棱锥P-ABC啲五个顶

4、点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如 图所示，E, F分别是棱AB CD勺中点，直线EF被球面所截得的线段长为 2 2，则该球的表面积为（）A. 9 nB. 3 nC. 2 2nD. 12n解析：选D该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC由直线EF被球面所截得的线段长为 2 2，可知正方形ABCD寸角线AC的长为 2“ 2,可得 a= 2,在厶 PAC中 PC= ；22 + ?2 2? = 2 3,球的半径 R= 3,5表=4n R = 4nX （- 3） 2= 12 n .四、典型例题精析类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题

5、互换条件形成不同的题）1.15 .如图球0的半径为2,圆Oi是一小圆，0Q 2 , A、B是圆Q上两点，若A, B两点间的球面距离为，贝S AOiB=.（2015年理3科）2.15 .如图球0的半径为2,圆O是一小圆，002 , A、B是圆O上两点，若 A0二，则A,B两点间的球面距离为 （2014年文2科）类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用 到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 2r，从而解决问题。sin C3.15.直三棱柱ABC ABG的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2,BAC 120，则此球的表面积等于 。（2014年理科

6、）析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R，与R相关的是重要性质R2 r2 d2。1T AA=2, 二 d 001002 AA1 1。2现将问题转化到。Q的半径之上。因为 ABC是O Q的内接三角形，又知 AB=AC=2 / BAC=120，三角形可解由余弦定理有 BC 、AB2 AC2 2AB AC cos BAC . 4 4 42 3 ,由正弦定理有一BC2r r 匹 2sin BAC2sin BAC二 R2 r2 d2 4 1 5. /. S 4 R2 20 。4.14 .正三棱柱ABC AB。内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为_8. (2013年理科)5.1

7、2 .已知球的直径SC=4 , A, B是该球球面上的两点，AB=、. 3 ,asc bsc 30，则棱锥S ABC的体积为C(2014年理科)A. 3,3B. 2 3C. .3D. 16. ( 11)已知S, A,B,C是球O表面上的点，SA 平面ABC , AB BC , SA AB 1 ,BC 2，则球O表面积等于 A ( 2015年文科)(A) 4(B) 3(C) 2(D)类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理 处理问题。7.15. 设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面 截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等4于(2

8、015年文科)析：问题的解决根本求球半径R OB。与R相关的重要性质R2 r2 d2中，r2可求(T r? J 十 7 )44问题转化到求d OC上充分运用题目中未用的条件，OM旦，/ OMC=45，二d R22叮22于是 R27 求得 R2 2，二 S 4 R2 8488. （11）已知平面a截一球面得圆 M过圆心M且与a成二面角的平面B截 该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4，则圆N的面积为D（2014年理科）（A）7（B）9（C）11（D）139. （ 5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60纬线长和赤道长的比值为C（ 2015文科）（A） 0.8（ B）0.75（C）

9、 0.5（ D） 0.25类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。10.13.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球 的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示 ）, 则球的半径是 4 cm . （2010年理科）11.16 .长方体ABCD AB1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB AA1 1 ,BC .2，则A , B两点间的球面距离为（2015年文科）3 12.14 .体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的 体积等于4.3 _. （2009年文科）13.16 .已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球

10、面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的16高与体积较大者的高的比值为 1/3. （2015年文科）14.15. 如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 _2 R2.类型五：平面几何性质在球中的综合应用15. (16)已知球0的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB 4 .若OM ON 3，则两圆圆心的距离MN .(2015 年理科)析：由OM=O知，O M与O No为等圆，根据球中的重要性质二r2 R2 d21697又 MHLAB得 H为 AB中点，二 BH=AH=2 二 MH NH

11、r2 BH2 3vZ OMHM ONH=90MON= -Z MHN 由余弦定理有 MN=OM+ON- 2OM ON- cos Z MONMN2二MH+NH 2MH- NH- cos( n-Z MO解得 cosZ MON=，即 Z MON=23三角形OMr为等边三角形，二MN=3.类型六：性质的简单应用。16. (15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M ,若圆M的面积为3 ,则球O的表面积等于 16n.(2009年文科)17. (15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB 6,BC 2.3,则棱锥O ABCD的体积为24。 (2011年理科

12、)18. (9)高为丄的四棱锥S-ABCD勺底面是边长为1的正方形，点S、A、4B、C D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD勺中心与顶点S之间的 距离为C (2011年理科)(A)丄(B)二(C)1(D).242五、模拟试题精练1. （2015高考新课标2,理9）已知A,B是球O的球面上两点，/ AOB=90,C为该球面 上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（）A. 36 n B.64 n C.144 n D.256 n【答案】C2. （2015 辽宁高考）已知直三棱柱ABGABC的6个顶点都在球O的球面上，若A吐3, AC= 4, AB丄AC, AA= 12,则球O的半径为（）B. 2 10SS213C.7D. 3 10答案：选C3. （2016 长春模拟）若一个正四面体的表面积为 S,其内切球的表面积为 S,则答案：口n4.四棱锥P-ABCD勺五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E,F分别是棱AB CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 ;2,则该球的表面积为A. 9 nB. 3 nC. 2 ;2 n 答案：选D .D. 12n5.如图所示，已知E, F分别是棱长为a的正方体ABCD- ABGD的棱AiA, CG的中点，则四棱锥C BiEDF的体积为答案(1) 6a36.已知三棱锥S A