完整版导数压轴题题型学生版

1、导数压轴题题型引例【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知 f (x) ax In x2x 12 ,aXR.第5页共18页(I )讨论f (x)的单调性;1,2成立.(II )当a 1时，证明f(x)f x |对于任意的x1.高考命题回顾例 1.已知函数 (X) ae2x+(a - 2) ex x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围2例 2.(21)(本小题满分 12分)已知函数 f x x 2 ex a x 1 2有两个零点(I) 求a的取值范围；(II) 设xi,x2是f x的两个零点 证明：Xi X22.例3.(本小题满分12分)3 1已知

2、函数 f (x) =x3 ax ,g(x) In x 4(I )当a为何值时，x轴为曲线y f (x)的切线;(n)用 minm,n 表示 m,n 中的最小值，设函数 h(x) min f (x), g(x) (x 0)，讨论h (x)零点的个数例4.(本小题满分13分)已知常数八口，函数L：_hillnL.x + 2(i)讨论在区间上的单调性；(n)若fi门存在两个极值点且/i : ；：,求的取值范围例 5 已知函数 f(x)= ex In(x+ m).(1) 设x= 0是f(x)的极值点，求 m，并讨论f(x)的单调性;(2) 当 m0.1例6已知函数f(x)满足f(x)fex 1f(0)

3、x -x2(1)求f(x)的解析式及单调区间；1 2若f (x) x ax b，求(a 1)b的最大值。2a In x b例7已知函数f(x)，曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为x 1 xx 2y 3 0。(i)求a、b的值；(n )如果当x 0，且x 1时，f(x)山仝k，求k的取值范围。x 1 x例 8 已知函数 f(x)= (x3+3x2+ax+b)ex.若a= b =-3,求f(x)的单调区间；若f(x)在(-g , a ),(2单调增加，在(a ,2),(B单调减少 证明3- a 6.2. 在解题中常用的有关结论 探(1)曲线y f (x)在x X。处的切线的斜率等于

4、 f(X。)，且切线方程为y f (x)(x X。)f(x。)。若可导函数y f (x)在x xo处取得极值，则f (x。) 0。反之，不成立。 对于可导函数 f(x)，不等式f (x)0(0的解集决定函数 f (x)的递增(减)区间。函数f(x)在区间|上递增(减)的充要条件是：x I f (x) 0 ( 0)恒成立(f (x) 不恒为0) (5) 函数f(X)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f (x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f(X) 0在区间I上有实根且为非二重根。(若f (x)为二次函数且l=R,则有0 )。(6) f (X)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调

5、函数，进而得到f (x)0或f (x)0在I上恒成立若X I， f (X) 0恒成立，则f (X)min0；若X I， f (x) 0恒成立，则f ( X)max 0(8)若 X I，使得 f(X) 0，则 f (X)max 0 ；若 X0 I，使得 f(X) 0，则f(X)min 0.(9) 设f (X)与g(x)的定义域的交集为 D,若 X D f(x) g(x) 恒成立，则有f(X)g(X)min .(10) 若对Xih、X2 丨2 , f(Xi)g(X2)恒成立，则 f(x)min g(X)max若对Xili ,X2丨2，使得 f (Xi)g(X2),则 f (X)min g(x)mi

6、n .若对Xili ,X2I 2，使得 f(Xi)g(X2)，则 f(X)max g(x)max.(ii) 已知f (X)在区间li上的值域为 A, g(x)在区间l2上值域为B,若对 Xi I i, X212，使得 f (x-i) = g(x2)成立，则 A B。(12) 若三次函数f(x)有三个零点，则方程 f (x) 0有两个不等实根 Xj、X2，且极大值 大于0,极小值小于 0.(13) 证题中常用的不等式：In x x 1 (x 0)x仁|门匕+ 1X (X 1)Xe 1 xe x 1XIn xx 1(x 1)x 12In x1x2212x2(x 0)3. 题型归纳导数切线、定义、单

7、调性、极值、最值、的直接应用(构造函数，最值定位)(分类讨论，区间划分)(极值比较)(零点存在性定理应用) (二阶导转换)例1 (切线)设函数f(X)X a.(1 )当a 1时，求函数g(x) xf(x)在区间0,1上的最小值；(2)当a 0时，曲线y f(x)在点P(xi, f(xi)(xi心)处的切线为I ,1与x轴交于 点 A%,。)求证：X1 X2a .第11页共18页例2 (最值问题，两边分求)已知函数f (x) In x ax1 (a R).x1当a w 时，讨论f (x)的单调性；22 1设g(x) x2 2bx 4.当a时，若对任意 为(0,2)，存在 沁4f (x1) g(x

8、2)，求实数b取值范围.1,2，使交点与根的分布例3 (切线交点)已知函数f xax3 bx2 3x a,b R在点1, f 1处的切线方程为 y 20 .求函数f x的解析式；若对于区间2,2上任意两个自变量的值 x!,x2都有f X1f X2c ,求实数c的最小值；若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数 m的取值范围.f(x) In(2 3x) -x2.例4 (综合应用)已知函数2求f(x)在0,1上的极值；1 1x ,不等式 |a lnx| lnf(x) 3x0若对任意6 3成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程f(x) 2x b在0，i上恰有两个不同的实根，求实

9、数 b的取值 范围 不等式证明例5 (变形构造法)已知函数(x)若f(x)In x (x)，且aa 0时，函数y 线段AB的中点为C(x0,y0)在中当ax 1 , a为正常数.92，求函数f(x)的单调增区间；f(x)的图象上任意不同的两点Ax1，y1 ,，记直线AB的斜率为k，试证明：k fgg)B X2, y2(xo)若g(x) lnx求a的取值范围.(x)，且对任意的 X1,X2,2x2g(x1)1,都有X2x1例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f(x)x2|n(ax)(a 0)(1 )若f(x)x?对任意的x 0恒成立，求实数a的取值范围;9第10页共18页g(x)1时

10、，设函数f(x)xx1(?1)，x1x21，求证x1 x2 (x1X2)2ax bx c的图象经过坐标原点,且在x 1处取(II)若方程f(x)(2a3)2恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式;(III)对于(II)中的函数 f(x)，对任意、 R，求证：I f(2sin ) f(2sin ) | 81 .例8 (等价变形)已知函数f(x) ax 1 ln x (a R).(i )讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数；(n)若函数f (x)在x 1处取得极值，对x (0,) , f (x) bx 2恒成立,求实数b的取值范围；(川)当0 x y e2且x e时，试比较 与1一的大小.x

11、 1 In x第19页共18页1 27f (x) In x, g(x) - x mx (m 0)例9 (前后问联系法证明不等式)已知22，直线I与函数f(x), g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1。(I)求直线1的方程及m的值；(|)若h(x) f (x 1) g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最 大值。(III)当 b a时，求证:f(a b)f(2a)b a2a例1 (整体把握，贯穿全题)已知函数f(x) 1.x(1) 试判断函数f(x)的单调性；(2) 设m ，求f (x)在m,2m上的最大值；(3) 试证明：对任意n N*，不等式l

12、n( J)e 口都成立(其中e是自然对数的底数)nn111 n(川)证明：”：绚旳毎用+ 1例11 (数学归纳法)已知函数f(x) ln(x 1) mx，当x 0时，函数f(x)取得极大值.(1) 求实数m的值；(2) 已知结论：若函数f(x) In (x 1) mx在区间(a,b)内导数都存在，且a 1，则存在xo (a,b),使得f (xg) f (b) f (a).试用这个结论证明：若 b a1 x1 x2 ，函数 g(x) f (xj_(x xj f (xj ,则对任意x-1 x2x任必)，都有f (x) g(x)；(3) 已知正数1, 2,L , n，满足12 L n 1，求证：当n

13、 2 , n N时，对任意大于 1 ，且互不相等的实数x,x2丄，人,都有f( 1x12X2 LnXn)1f(xj2f(X2)Lnf(Xn). 恒成立、存在性问题求参数范围例12 (分离变量)已知函数f(X) xa|nx(a为实常数).(1)若 a2，求证：函数f(x)在(1,+上是增函数；求函数f(x)在1,e上的最小值及相应的 x值；若存在x 1，e，使得f(x)(a 2)x成立，求实数a的取值范围例13 (先猜后证技巧)已知函数f (x)1 1n(x 1)x(I )求函数f (X)的定义域(n )确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论k(川)若x0时f(x)恒成立，求正整数

14、k的最大值.x 1例 14 (创新题型)设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(n )当 a=1 时,设 P(xi,f(x1), Q(X2, g(x 2)(x10,x20),且 PQ/x 轴，求 P、Q 两点间的最短 距离；(川)若x0寸函数y=F(x)的图象恒在y=F( x)的图象上方，求实数a的取值范围.2例15(图像分析，综合应用)已知函数g(x) ax 2ax 1 b(a 0,b1)，在区间Z3g(x)f (x)上有最大值4，最小值1，设x .(I)求a,b的值；(n)不等式fg) k 2 0在X

15、1,1上恒成立，求实数k的范围；f(l 2x 1|) k(3)0(川)方程|211有三个不同的实数解，求实数k的范围. 导数与数列例16 (创新型问题) 设函数f (x) (x a)2(x b)ex, a、b R , x a是f (x)的一个 极大值点.若a 0，求b的取值范围；当a是给定的实常数，设 x, X2, X3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4R，使得x1,x2,x3,x4的某种排列吿，xi2兀，心(其中h,i2,i3,i4=1,2,3,4 )依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的X4;若不存在，说明理由.导数与曲线新题型例17 (形数转换)已知函数f(X)In

16、 x, g(x)1 2ax2bx (a0).(1)若a 2,函数h(x) f(x) g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范围； 在(1)的结论下,设函数(x)=e 2x+bex,x 0,In2,求函数 (x)的最小值；设函数f (x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x 轴的垂线分别交 G、C2于点M、N，问是否存在点 R使C1在M处的切线与C2在N 处的切线平行？若存在，求出R的横坐标;若不存在，请说明理由.x例18 （全综合应用）已知函数f（x） 1 亍（。x 2）.（1）是否存在点M（a,b）,使得函数y f （x）的图像上任意一点 P关于点M对称的点Q也在函数y f （x）的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；2n 1f （丄）上1上2定义Snf() f()i 1nnn在的条件下,令Sn1 2an ,若不等式求实数m的取值范围2n 1*f (),其中 n N ，求 S2013；n2an (an)m 1对n N且n 2恒成立,导数与三角函数综合2例19 （换元替代，消除三角）设函数f（x） x（x a） （ x R），其中a R （I）当a 1时，求曲线y f（x）在点（2，f（2