初中数学竞赛：整数的分类

1、2 22266999999 3 3 33399993333 n+13 n+13n3 nnn初中数学竞赛：整数的分类【知识精读】1 余数的定义：在等式 ambr 中，如果 a、b 是整数，m 是正整数，r 为小于 m 的非负整数，那么我们称 r 是 a 除以 m 的余数。即：在整数集合中 被除数除数商余数 (0余数除数)例如：13，0，1，9 除以 5 的余数分别是 3，0，4，1（15（1）4。 95（2）1。）2 显然，整数除以正整数 m ,它的余数只有 m 种。例如 整数除以 2，余数只有 0 和 1 两种，除以 3 则余数有 0、1、2 三种。3 整数的一种分类：按整数除以正整数 m 的

2、余数，分为 m 类，称为按模 m 分类。例如： m=2 时，分为偶数、奇数两类，记作2k,2k1 （k 为整数）m=3 时，分为三类，记作3k,3k+1,3k+2.或3k,3k+1，3k1其中3k1表示除以 3 余 2。m=5 时，分为五类，5k.5k+1,5k+2,5k+3,5k+4或5k,5k1,5k2， 其中 5k2 表示除以 5 余 3。4 余数的性质：整数按某个模 m 分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。 举例如下：（3k +1）+(3k +1)=3(k +k )+2 （余数 112）1 2 1 2（4k +1）(4k +3)=4(4k k +3k +k )+3 （余数 1

3、33）1 2 1 2 1 2（5k2） 25k 20k+4=5(5k 4k)+4 （余数 2 4）以上等式可叙述为：1 两个整数除以 3 都余 1，则它们的和除以 3 必余 2。2 两个整数除以 4，分别余 1 和 3，则它们的积除以 4 必余 3。3 如果整数除以 5，余数是 2 或 3，那么它的平方数除以 5，余数必是4 或 9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如：17 除以 5 余 2 17 除以 5 的余数是 4 （2 64）5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模 m。【分类解析】例 1. 今天是星期日，9 天后是星期几？分析：一星期是 7 天，选用模 m=7, 求 9 除以 7

4、 的余数解：9 （72） ，它的余数与 2 的余数相同，2 （2 ） 8 （71） 它的余数与 1 相同，9天后是星期一。又解：设a表示 a 除以 7 的余数，9 （72） 2 8 （71） 1 1 例 2. 设 n 为正整数，求 4 除以 9 的余数。分析：设法把幂的底数化为 9kr 形式解：4 44 =4(4 ) =4（64） 4(971)nn3 n+13 33 222222222222 22 22 2( 222 222222222222222226m 2(971) 除以 9 的余数是 1 =14 除以 9 的余数是 4。例 3. 求证三个连续整数的立方和是 9 的倍数解：设三个连续整数为

5、 n1,n,n+1m=(n1) +n +(n+1) =3n(n +2)把整数 n 按模 3，分为三类讨论。当 n=3k （k 为整数，下同）时，m33k(3k) +2=9k(9k +2) 当 n=3k+1 时， m3（3k+1）(3k+1) +23（3k+1）(9k +6k+3)=9(3k+1)(3k +2k+1)当 n=3k+2 时， m3（3k+2）(3k+2) +23（3k+2）(9k +12k+6)9(3k+2)(3k +4k+2)对任意整数 n，m 都是 9 的倍数。例 4. 求证：方程 x3y=17 没有整数解证明：设整数 x 按模 3 分类讨论，当 x3k 时， （3k） 3y

6、=17, 3(3k y )=17 当 x=3k1 时， （3k1） 3y =17 3 3k 2ky )=16 由左边的整数是 3 的倍数，而右边的 17 和 16 都不是 3 的倍数， 上述等式都不能成立，因此，方程 x 3y =17 没有整数解例 5. 求证：不论 n 取什么整数值，n 证明：把 n 按模 5 分类讨论，+n+1 都不能被 5 整除当 n=5k 时，n +n+1=(5k) +5k+1=5(5k +k)+1当 n=5k1 时，n +n+1（5k1） 5k11 25k 10k+1+5k115（5k 2kk）21当 n=5k2 时，n +n+1（5k2） 5k21 25k 20k+

7、4+5k215（5k 4k+k+1）2综上所述，不论 n 取什么整数值，n 又证：n +n+1n(n+1)+1+n+1 都不能被 5 整除n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是 0，2，6 n +n+1 的个位数只能是 1，3，7，故都不能被 5 整除。【实战模拟】1. 已知 a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k 都是整数)填写表中各数除以 3 的余数。a+b a+c ab ac 2a 2b ab2b3b5a+b)52. 37 7 的余数是3今天是星期日，第 2 天是星期一，那么第 2111天是星期几？4已知 m,n 都是正整数，求证：3 n (n +2)5. 已

8、知 a 是奇数但不是 3 的倍数，求证：24（a21）（提示 a 可表示为除以 6 余 1 或 5，即 a=6k1）n n n n2 21232 22 26 把正整数按表中的规律排下去，问 100 将排在哪一列？答：7 已知正整数 n 不是 4 的倍数求证：1 2 3 4 是 10 的倍数 8. 任给 5 个整数，必能从中找到 3 个，其和能被 10 整除，这是为什么？ 9 对任意两个整数，它们的和、差、积中至少有一个是 3 的倍数，试说明理由。一 二 三 四 五 1 2 3 48 7 6 59 10 11 1216 15 14 1310任意 10 个整数中，必有两个,它们的差是 9 的倍数。这是为什么？如果改为任意 n1 个，则必有两个,它们的差是 n 的倍数，试说明理由。11. 证明 x +y -8z=6 没有整数解12. 从 1 开始的正整数依次写下去，直到第 198 位为止 即 1234l198位那么这个数用 9 除之，余数是答案2. 1 3. 日 4. 设 n=3k, 3k+1, 3k-1 讨论6. 100 除以 8 余数为 4，故在第五列7. 可列表说明 n=4k+3, 4k+2, 4k+1, 4k 时，其和均为 08. 整数除以 3，余数只有 0，1，2 三种，按 5