数理方程期末试题 07 08 2 B 答案

1、数理方程期末试题-07-08-2-B-答案2007-2008学年第二学期数理方程与特殊函数期末考试试卷（B）（参考答案）学院 专业班级学号姓名题号-一-二二三四五六七八总分得分阅卷人一、 计算题（共80分；每题16 分）1. 求下列定解问题（15分）-2 -2u 2 _ u2 =a 2 A， 0 x l,t 0, txu |x= M 1 , U|x4=M2,cuu|t=0,二；0.Ict2. 用积分变换法及性质；求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2Utt =a Uxx,0 VX V g t A0,u（x,0） =0, Ut（x,0） =0,匚（0力=忙），星山川）=03. 设弦的两端固定于

2、 x = 0及x =丨；弦的出示位移如下图所示。初速度为零；又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移u（x,t）。解问题的定解条件是0u(x,t)=， (Cncos罕t Dnsin 罕t)sin 干 xn=1由初始条件可得Dn = 0, n 二 1,2,.2 Ch_02hl2TitCnxsin 千 xdx 亠 i 注(x - I )sin 牛 xdx2 2Sin平，n = 1,2,.c(iqn 二14. 证明在变换二x_at,=x at下；波动方程utt二a2uxx具有形式解un = 0 ;并由此求出波动方程的通解。5. 用分离变量法解下列定解问题/-2in 半xs in 罕兀t ,0c x c

3、l, t=0 仪dx“ u |x=0,U |x丄=0u |t= = 0r k=0=0ct提示：1）可以直接给出问题的固有函数；不必推导；2）利用参数变易法。解对应齐次方程的定解问题的固有函数是sin片二x ；其解可以表示成Ou(x,t) = Vn (t)sinn =1把原问题中非齐次项f(x,t) =sinxsin 2严t按照固有函数展开成级数f(x,t) =si n 罕 xsi n2QO=E fn(t)sin 平xn T因此有sin 晋吁,n = 2; fn(t)O n = 1,3,4,.利用参数变易法；有tv2（x,t）二-2. 0Sin翠.sin 罕（t - . ）d .=4 （小sin

4、罕：t 7cos罕:t）Vn（x,t）二 O n = 1,3,4,5,于是u（x,t） = 4（2sin 罕“ -tcos罕二 t）sin 挙 x6. 用Bessel函数法求解下面定解问题-2U.:t2=3 （_*U|r=R = 0,U lyCPU1嶋斗lb。解用分离变量法求解。令 u( J,t)二R( J)T(t);则可得T (t) +a202T(t) =0 (I)J(0) = 0以及JP2R(P) +PR(P) +B2P2R(P) =0 (I1)R(P)R(P。)=0设n二-n ;?0为Bessel函数Jo(x)的正零点；则问题(II)的特征值和特征函数分别为Rn（ J（ 0问题（I）的解

5、为Tn （t ） = C n COS -寸 t于是原问题的解是u（,t）7 Rne?）Tn（t） = Cn0（-；，）COS 葺 t由初始条件u （几0） =1 - 方得到C=0：0（1T J0（E W=2. 2 “0 I /） _ 4 J 2（ Xn）二8RNi2（扎）兀 2（ n丿怎Jf（人）藍Ji （人）由于-n是J(X)的零点，也即 Join) =0,而且又有Jo (x) J 2(X)= X Ji(X)J2( n)_2J1 ( n ).- .n于是最后得到原问题的解是U(,t)八 Rn()Tn(t)二 C n J 0 (: ) COS -：-? t=jtt) Jo(2 门COS葺t证明

6、题(共2分；每题10 分)7. 证明平面上的 Green公式ii(vl2u -u2v)d；- (v-n -u)dsDC、其中C是区域D的边界曲线；ds是弧长微分。证明设p(x, y), Q(x, y)在D+C上有一阶连续偏导数；n为C的外法线方向；其方向余弦 为 cos , COS :;则有11 - 斗)d；= (Qcos： - Pcos ： )dsD 、C再设u； v在D内有二阶连续偏导数；在 D+C上有一阶连续偏导数；令得到小 vd二-.e-u-X iy)d-DD “=Ju(-纟 cos。+-cosP)ds= Ju 噜 dsC “-C -交换u； v;得到JJvVud。+川鶉+另育心DD二 v(Wcos： 专cos : )ds 二 *dsCC上面第二式减去第一式；得到仃(v