湖南省湘潭市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

1、湖南省湘潭市 2018-2019 年度第一学期期末高二理科数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.命题， ，则是（ ）a.c.，b.d.，【答案】d【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，且否定结论求解.【详解】命题， ，故 ： ， ，故选 d.【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，含有量词的命题的否定：换量词，否结论.2.椭圆a.【答案】a【解析】【分析】的焦距为b. c. d.结合椭圆的性质和公式【详解】结合椭圆的性质可知,计算焦距,即可.,故 ,故焦距为,故选 a.【点睛】考查了椭圆的基本性质,关键抓住 3.“ ”是“ ”的a. 充分不必要条件c. 充要

2、条件【答案】a【解析】【分析】结合充分条件和必要条件的判定,即可.,计算,即可,难度较容易.b. 必要不充分条件d. 既不充分也不必要条件【详解】结合题意可知可以推出 ,但是并不能保证 ,故为充分不必要条件 ,故选 a.【点睛】考查了充分条件和必要条件的判定,难度较容易.4.已知 a，b，c 分别为内角 a，b，c 的对边，则角a.b. c.d.【答案】b【解析】【分析】利用余弦定理,计算角 b 的大小,即可.【详解】利用余弦定理, ,故 ,故选 b.【点睛】考查了余弦定理,关键利用余弦定理公式,计算角的大小,即可,难度较容易.5.若， ，则一定有a.b. c. d.【答案】c【解析】【分析】

3、直接利用不等式的基本性质的应用求出结果【详解】解：由于所以： ，进一步求出：，由于：，则：，即：，故选：c【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化 能力，属于基础题型6.已知等比数列的公比为 q， ， ，则a. b. 2 c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用等比数列的性质满足 ,代入,计算,即可.【详解】结合等比数列的性质可知,【点睛】考查了等比数列的性质,关键利用,解得 ,故选 c.,代入,计算,即可,难度较容易.7.已知a.【答案】d【解析】【分析】，则的最小值为b. 1 c. d.利用基本不等式满足【详解】利用基本不等式满足,代入,计算最小值

4、,即可.,故最小值为 ,当且仅当，即时取到最小值.故选 d.【点睛】考查了基本不等式计算最值问题,关键利用 ,计算,即可,难度较容易.8.已知点 a(0,1,0)，b(1,0，1)，c(2,1,1)，点 p(x,0，z)，若 pa平面 abc，则点 p 的 坐标为( )a. (1,0，2)c. (1,0,2)【答案】c【解析】【分析】利用 ， 【详解】，b. (1,0,2)d. (2,0，1)即可得出， ， ，解得p(1,0,2) 故选：c 【点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系，考查运算能力，属于基础题.9.已知 x，y 满足约束条件，则的最大值为a. 3b. 4c. d.【答案】b【解析】

5、【分析】结合不等式组，绘制可行域，计算最值，即可。【详解】结合不等式组,绘制可行域,如图当目标函数平移到 b ,z 取到最大值，故 ，故选 b。【点睛】考查了线性规划问题，关键找出目标函数在哪个点取到最大值，即可，难度中等。10.在a. 4中， ，b. 2， ，则c. 4 或 2d.【答案】c【解析】【分析】利用余弦定理，建立等式，解方程，计算长度，即可。【详解】利用余弦定理可知 故选 c。，而 ，代入可得 ，【点睛】考查了余弦定理，关键利用余弦定理，建立方程，计算，即可，难度中等。11.如图，在三棱柱中，底面 abc， ， ，则与平面所成角的大小为a.b.c.d.【答案】a【解析】【分析】建

6、立空间坐标系，计算 夹角即可。坐标，计算平面的法向量，运用空间向量数量积公式，计算【详解】取 ab 的中点 d，连接 cd，以 ad 为 x 轴，以 cd 为 y 轴，以 角坐标系，为 z 轴，建立空间直可得 ， ，故，设平面，解得的法向量为，而，根据故与平面.所成角的大小为 ，故选 a。【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难。12.已知中心在坐标原点的椭圆 与双曲线 有公共焦点，且左，右焦点分别为 ， ， 与在第一象限的交点为 p，是以为底边的等腰三角形，若 ， 与 的离心率分别为 ， ，则 a.【答案】b【解析】【分析】的取值范围是b. c. d.结合椭圆性

7、质和双曲线性质，用 c 表示 【详解】结合题意可知,，结合 c 的范围，计算，即可。,故对于椭圆而言 ,解得 ,此时对于双曲线而言, ,解得 ,满足 ,解得 ,故,令,则,其中,可知可知当 趋于 1 的时候,在单调递减,趋于无穷大,当 t=2 时， ，故，故选 b。【点睛】考查了圆锥曲线的性质，考查了利用函数单调性判定函数的范围，难度偏难。 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知向量【答案】8【解析】【分析】2， ，x， ，且 ，则 x 的值为_利用空间向量数量积坐标运算，计算 x 的值，即可。【详解】 ，解得 。【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，结合坐标运算，建立方

8、程，计算，即可，属于基 础题。14.设 是等差数列的前 n 项和，若 ，则 _【答案】65【解析】【分析】利用等差数列前 n 项和公式和等差数列的性质，计算，即可。【详解】 ，故【点睛】考查了等差数列的性质，考查了等差数列求和公式，难度较容易。15.若抛物线为_【答案】12【解析】【分析】的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数 p 的值利用双曲线的性质和抛物线焦点坐标计算，建立方程，计算，即可【详解】【点睛】考查了双曲线的性质，考查了抛物线的性质，关键利用焦点相同，建立方程，即可， 中等难度。16.一批救灾物资随 51 辆汽车从某市以为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于的速度匀速直达灾区，已知两地

9、公路线长 400km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_【答案】10【解析】【分析】用速度 v 表示时间，结合基本不等式，计算最小值，即可。【详解】当最后一辆车子出发，第一辆车子走了小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要小时，结合基本不等式，计算最值，可得，故最小值为 10 小时【点睛】考查了基本不等式计算函数最值问题，关键利用 难度中等。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分），计算最小值，即可，17.设命题 p： ， ，命题 q：若命题为假命题，为真命题，求实数 a 的取值范围【答案】或【解析】【分析】求出命题 p，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解

10、即可【详解】解：若：，则判别式，得，由若命题得 ，得为假命题，为真命题，则 p，q 一个为真命题，一个为假命题，若 p 真 q 假，则若 p 假 q 真，则得 ，得 ，综上或 ，即实数 a 的取值范围是或 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题 的关键 注意要进行分类讨论18.已知 a，b，c 分别为 求角 a；内角 a，b，c 的对边，且 若 ， ，求的面积【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】.由正弦定理可得可求 由已知利用余弦定理可得，结合 ，可求 ，结合范围 ，解得 c 的值，根据三角形面积公式即可计算得解【详解】解：由正弦定理可得：，即，

11、 ，由余弦定理解得： ， 负值舍去 ，可得： ，可得： ，【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用， 考查了计算能力和转化思想，属于基础题19.已知公差不为零的等差数列的前 n 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列求数列设的通项公式；，数列的前 n 项和为 ，证明： 【答案】(1)【解析】【分析】；(2)详见解析.设等差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质可得 首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；求得化简可得 ，再由不等式的性质，即可得证，由数列的裂项相消求和，【详解】解： 可得公差 d 不为零

12、的等差数列 ，的前 n 项和为 ， ， 成等比数列，可得 即为，由可得 ，则；，即为，证明：可得前 n 项和为，由 ，可得 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列中项性质，以及数列的裂项相 消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题20.已知椭圆 c：求椭圆 c 的方程；的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 2设直线 l：【答案】(1)【解析】【分析】交椭圆 c 于 a，b 两点，且 ；(2) .，求 m 的值通过短轴的一个端点到右焦点的距离为 2 可知，进而利用离心率的值计算即得结论；设 ，联立直线与椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，得到根与系数的关系

13、，再利用弦长公式即可得出【详解】解：解得： ，由题意可得，椭圆 c 的方程为；设，联立，得，解得 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式，属于中档题21.如图，在四棱锥 4 的菱形，中，平面 ，e 是 ad 的中点平面 abcd， ，四边形 abcd 是边长为求证：平面 pad；求平面 pab 与平面 pbc 所成的锐二面角的余弦值【答案】(1)详见解析；(2) 【解析】【分析】.连接 bd，推导出 ， ， ，由此能证明平面 pad以 e 为原点，ea，eb，ep 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 pab 与平面 pbc 所成锐二面角的余弦值【

14、详解】证明：连接 bd，由 ，e 是 ad 的中点，得 ，由平面平面 abcd，可得平面 abcd， ，又由于四边形 abcd 是边长为 4 的菱形， ，平面解：以 e 为原点，ea，eb，ep 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，0，2，0， ，0， ， ，令平面 pab 的法向量为,则取y， ，结合，得 1， ，,建立方程得到同理可得平面 pbc 的一个法向量为1， ，所以平面 pab 与平面 pbc 所成锐二面角的余弦值为：，【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22.

15、已知 f 为抛物线 e：的焦点，为 e 上一点，且过 f 任作两条互相垂直的直线 ， ，分别交抛物线 e 于 p，q 和 m，n 两点，a，b 分别为线段 pq 和 mn 的中 点求抛物线 e 的方程及点 c 的坐标；试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；证明直线 ab 经过一个定点，求此定点的坐标，并求面积的最小值【答案】(1) 抛物线方程为面积的最小值为 6. 【解析】【分析】，或 ；(2) 是定值，定值为 ；(3) 过定点 ；根据抛物线的性质和定义即可求出，代值计算即可求出点 c 的坐标，设直线 的方程为，则直线 的方程为，设 ， ，根据抛物线定义可得，再分别联立方程组根据韦达定理可得，即可求出，设 ， ，由分别求出点 a，b 的坐标，求出直线 ab 的斜率，写出直线方程，即可得到直线过定点 ，再根据两点之间的距离公式和点到直线的距离公式可得表示三角 形面积，根据基本不等式即可求出最值抛物线 e： 【详解】解：为 e 上一点，且 ，即， 抛物线方程为，的准线方程为 ，当即时