二项式定理的推广[基础教学]

1、二项式定理的发现与推广,倪致祥,科学发现系列讲座,1,苍松优选,二项式定理的发现,通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:,2,苍松优选,二项式定理的发现,为了便于看出规律，我们把它补充完整:,3,苍松优选,二项式定理的发现,为了便于研究其中的规律, 1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数. 他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和. 用公式表示为:,这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。,4,苍松优选,二项式定理的发现,通过进一步研究， 1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:,1713年,Bernoulli对上面的公式给出了

2、证明。,5,苍松优选,二项式定理的推广1,上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢? 1665年，牛顿对此进行了研究。 他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：,为了便于比较，我们把二项式定理改写为：,6,苍松优选,二项式定理的推广1,经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。 这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。 这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：,7,苍松优选,二项式定理的推广1,这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时，有：,验证的结果与

3、猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证，结果也与猜想一致。,8,苍松优选,二项式定理的推广1,然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？ 牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。 1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。 现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。,9,苍松优选,二项式定理的推广2,二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的n次幂，这时该怎么办？ 最容易

4、想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。 例如，对于三项和的n次幂，可以如下计算,10,苍松优选,二项式定理的推广2,具体写出来是,11,苍松优选,二项式定理的推广2,为了保持展开后的对称性，我们把展开式写成,12,苍松优选,二项式定理的推广2,把公式中字母的系数提取出来 经过仔细观察，我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面体。 四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。,13,苍松优选,二项式定理的推广2,同样的方法，我们可以得到四项和的n次幂的计算公式,14,苍松优选,二项式定理的推广2,为了看出多项和n次幂的计算公式的一般规律，我们把前面得到的结果列在一起：,15,苍松优选,二项式定理的推广2,通过认真观察，我们不难发现以下规律： 1）展开式中各个字母的指数和为n； 1）系数的分子都是n！，分母为指数阶乘之积； 3）求和条件为各指数均非负，且和为n 于是，我们可以把这些展开式统一表达为,16,苍松优选,二项式