二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1、第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题考纲解读1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题及一些简单非线性问题加以解决命令题趋势探究1从内容上看，线性规划是高考的热点之一，考查内容涉及最优解、最值等，通常通过画可行域、移线、用数形结合的思想方法解题2从题型上看，题目类型多为选择题和填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊位置法求解 .3从能力要求上看，主要考查学生数形结合的思想与运算求解能力。预测 2015 本专题在高考中仍以求目标函数的最值及含参数问题为热点知识点精讲一、一元二次

2、不等式表示平面区域一般地， 二元一次不等式AxByC0（ A0或 B0 ）在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域，通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，而在坐标系中画不等式AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界线画成实线。二、二元一次不等式表示平面区域的快速判断法二元一次不等式表示平面区域的快速判断法如表7-1 所示，主要看不等式的符号与B 的符号是否同向，若同向，则在直线上方；若异向，则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫 B值判断法 .区域B0B 0不等式AxByC0直线AxByC0直线AxByC0 上方直线AxByC0 下方直

3、线AxByC0 下方AxByC0 上方三、线性规划（1）二元一次不等式组是一组变量x, y 的约束条件，这组约束条件都是关于x, y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。（2）（ ab, R）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x, y 的解析式，叫做目标函数. 由于 zaxby 又是 x, y 的一次解析式，所以又叫做线性目标函数（3）求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解( x, y) 叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做该问题的最优解.四、线性规划的实际应用线性规划的实际应用， 一是给一定

4、数量的人力、 物力资源， 问怎么运用这些资源使完成的任务量和收到的效益最大； 二是给定一项任务， 问怎样统筹安排， 使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小 .题型归纳及思路提示题型 96二元一次不等式组的平面区域思路提示线性规划中的可行域，实质上就是一个二元一次不等式的平面区域，因而解决简单线性规划问题是以二元一次不等式表示平面区域的知识为基础的.例 7.21xy在平面直角坐标系xoy 中，满足不等式组的点 ( x, y) 的集合的阴影表示为x1下列图中的（）yyyy11111 O1 x1O1 x1 O1 x 1O1 x1111ABCD分析本题的难点是xy ，可以先去掉绝对值符号，再根据B 值

5、判断区域 .解析 由 xy ，得x2y2，x2y2，得0(x y)( x y) 0xy0xy0xy0 或 xy0，故选 C1x11x1xy0变式 1若不等式组2xy2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是y0xyax2 y50变式 2设 m 为实数， 若 (x, y)3x0( x, y) x2y225 ，则 m 的取值范mxy0围是题型 97平面区域的面积思路提示要求平面区域的面积，先依据条件画出所表达的区域，再根据区域的形状求其面积.x0例 7.22不等式组x3y4所表示的平面区域的面积等于（）3xy4A. 3B. 2C. 4D . 32334解析x3y40，得 C (1,1)，如图

6、 7-8 所示，故由y403xS ABC11(444AB xC2) 1323yBx3y40C (1,1)AxO3xy40图 7-8x04变式 1若不等式组x3y4 所表示的平面区域被直线y kx分成面积相等的两部3xy43分，则 k 的值为（）A. 7B. 3C.4D . 33734x0例 7.23若 a0, b0 ，且当y0时，恒有 ax by1，则由点 P(a,b) 所形成的平面xy1区域的面积等于（）A. 1B.4C.1D .22分析确定 a,b 的范围，作出P(a, b) 所形成的平面区域，求平面区域的面积。x0解析解法一：满足y0的点 ( x, y) 的可行域如图 7-9阴影部分所示

7、， 若 a0,b0 ，xy1恒 有 axby1，则 0ax1by 恒 成 立 ，所以 by1恒 成 立 ， 而当 y(0,1时 ，1，所以 0b1.同理可得 0 a 1( )m i n1y当 0a 1，0 b1 ，0x1，0y1 时，令 zaxby ，其最大值应该在端点(0,1)或 (1,0) 取得，当取(0,1) 时， zb1满足要求；当取(1,0) 时， za1满足要求，所以点 P(a, b) 所形成的平面区域如图7-10 阴影部分所示，其面积为1，故选 Cyba1A(0,1)x y1b11B(1,0)OxO1a图7-9图 7-10解法二：由 axby1得 ya x1，即直线在 x 和 y

8、 轴上的截距为1 和 1 ，要使题目bbab条件成立，只需点( x, y) 的可行域恒在直线ax by1 的下方，故11 且1a1 ，所以b0 a1且 0b1. 所以点 P(a, b) 所形成的平面区域是边长为1的正方形，其面积为1.评注本题的解题关键是借助x, y 所满足的线性约束条件及axby1恒成立，确定a, b 的取值范围，即 a, b 所满足的约束条件， 在这里将恒成立问题通过分离变量，转化为 af ( x) ，只需 afmin ( x) 使问题获得解决x0变式 1 若 A 为不等式组y0表示的平面区域，则当a 从2 变化到1时，动直线yx2x y a 扫过 A 中的那部分区域的面积

9、为例 7.24在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A(x, y) xy 1,且 x 0, y0 ，则平面区域 B(xy, xy) (x, y)A的面积为（）A. 2B. 1C.1D. 124解析令 axy ， bxy ，则 x1 ( ab) ， y1 (ab) ，代入集合A ，易得ab0， ab0 ， a122，其所对应的平面区域如图7-11阴影部分所示，其面积为1211，故选 B2a1ba b 0A(1,1)O1aB(1, 1)图 7-11评注 本题涉及双重约束条件， 解题的关键是采用换元的思想去寻找平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的区域 .变式 1在平面直角坐标系中，点集A(

10、 x, y) x2y21 ，B( x, y) x4, y 0,3 x4 y0，则：（ 1）点集 P( x, y) xx13, yy13,( x1 , y1)A所表示的区域面积为；（2） Q( x, y) x x1x2 , yy1y2 ,( x1 , y1) A,( x2 , y2 ) B所表示的区域的面积为题型 98求解目标函数的取值范围或最值思路提示线性规划问题实质上就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.（ 1）在线性约束条件下求线性目标函数最值（线性规划问题）；形如 z axby 的含参数的目标函数，可变形为斜截式，进而考查y 轴上截距的取值范围 . 具体步骤为确定目标函

11、数移动方向；确定最优解.（ 2）在线性约束条件下求非线性目标函数最值（要明确非线性的目标函数的几何意义 ）： 对 于 形 如 ： zay b (ax0) 的分式目标函数，可基于斜率公式化归成cxdaybd , b ) 确定的直线斜率za ，从而将问题化归为可行域内的点( x, y) 与定点 (cxdc ac的 a 倍；c对于形如 z( xa)2( yb)2 的目标函数，可化归成可行域中的动点P( x, y) 与定点M (a,b) 的距离的平方 .对于形如 z AxBy C 的目标函数，因为zA2B2 AxByC ，可将 z 的A2B2最值化归成可行域内的点( x, y)到直线 Ax ByC0

12、的距离的最值的A2B2 倍，或者先求出 z1AxBy C 的取值范围，然后再求zz1 的范围即可 .y2例 7.25 （ 2012 年广东理5）已知变量 x, y 满足约束条件xy1 ，则 z 3xy 的最xy1大值为（）A. 12B. 11C. 3D .1分析画出可行域，明确目标函数z 的几何意义，即直线y3xz 在 y 上的截距，结合图形求出目标函数的最值 .解析可行域如图7-12所示，先画出直线l0 ： y3x ，平移直线 l 0 ，当直线过点A 时，直线 y3x z 在 y 轴上的截距最大， 即 z3xy 的值最大， 由y2x3x，得y，y 12所以点 A 的坐标为 (3, 2) ，故

13、 zmax3 2211，故选 Byxy1y 2AOx y1xy3x图 7-12x2 y2变式 1（ 2012 山东理5）设变量 x, y 满足约束条件2 xy4 ，则目标函数 z3xy4 xy1的取值范围是（）A.3 ,6B.3 ,1C.1,6D.6, 32220x2变式 2已知平面直角坐标系xOy 上的区域 D 由不等式组y2给定 . 若 M ( x, y) 为x2 yD 上的动点，点A 的坐标为 ( 2,1) ，则 z OM OA 的最大值为（）A.4 2B.32C.4D.3例 7.26 若实数 x, y 满足xy10，则 y 的取值范围是（）x0xA. (0,1)B. (0,1C.(1,

14、 )D. 1, )分析 对于目标函数为分式函数， 可根据斜率分式将目标式化归为可行域内的点与定点所在的直线的斜率 .解析因为y可看作可行域内的动点( x, y)与定点(0,0)所在直线的斜率， 可行域如图7-13x阴影部分所示，可得所在直线的斜率范围为(1,)，故选Cyxy1011 Ox图 7-13xy20变式 1已知变量 x, y 满足约束条件x1，则 y 的取值范围是（）xy70xA.9 ,6B., 96,C.,36,D .3,655xy10变式 2如果 x, y 满足约束条件y10，则 3x2 y5 的取值范围是xy10x12xy20例 7.27如果点 P 在平面区域x2 y10 上，点

15、 Q 在曲线 x2( y2) 21上，那么xy20PQ 的最小值为（）A.5 1B. 41C.2 2 1D.2 15分析由几何意义可得所求PQ 的最小值为可行域上的点与圆上的点之间的距离的最小值.解析画出可行域如图7-14 所示阴影部分（含边界），设圆心为O 到直线 x2 y10 的5距离为 d ，则 d5 ，所以 PQ mind151，故选 A.5y2x y20x2 y1 0CABOxxy20O图 7-14xy4变式 1已知点 P( x, y) 的坐标满足条件yx，点 O 为坐标原点，那么 PO 的最小值x1等于；最大值等于xy10变式 2已知点 P( x, y) 的坐标满足条件xy30 ，

16、点 O 为坐标原点，那么PO 的最x2小值为（）A.2B.3 2C.5D.1322x1例 7.28设不等式组 x2y3 0 所表示的平面区域1 ，平面区域2 与1关于直线yx3x4 y9 0 对称，对于1 中的任意一点A 与2 中的任意一点B ， AB 的最小值等于（）A. 28B. 4C.12D. 255解析如图 7-15所示，画出1 即 CDE （含边界）及 l1 ： 3x4 y 90 ， A1 时，设 A 到 l1 的距离为 dA ，则 B 与 A 关于 l1 对称时有AB min2dA ，故只要 A 离 l1 最近即可，1 的顶点 C (1,1)使 d A 最小， dA3492 ，故

17、AB min4. 故选如图 7-15 所示dc5ByDx y 0Ex 2 y 3 0Cl1 :3 x 4y 9 0AxOx1图 7-15x2y10变式 1设D是不等 C式组2xy3D 中的点P(x, y) 到直线0x表示的平面区域，则4y1x y 10 距离的最大值是变式 2已知实数 x ， y 满足| xy |1| 3x4 y 5 |的最大值为（）| xy |，则 z1A.1B.2C.8D.9xy20变式 3不等式组xy20所确定的平面区域记为D ，若圆 O ： x2y2r 2 的所有2x y 2 0点都在区域 D 内，则圆 O 的面积的最大值是.题型 99 求解目标函数中参数的取值范围思路

18、提示对于含参数的目标函数，如zaxby 型，可变形为斜截式，进而考查y 轴上截距的取值情况；如ya x （ a0 且 a1) 型，可根据指数函数的单调性，又恒过定点(0,1) 的性质，让指数函数的图像“动起来”，即先找到第一个与可行域的交点（临界状态）个方向（顺时针或逆时针）旋转，直到与可行域中最后一个交点（临界状态）相交后停止，然后向某.xy6xy2例 7.29已知变量x ， y 满足条件，若目标函数x 0y 0zaxy ( 其中 a0) 仅在点 (4, 2) 处取得最大值， 则 a 的取值范围是.分析求目标函数中参数的取值范围问题，先画出平面区域M ，确定最优解，从而求出a 的范围 .解析

19、 作出不等式组所表示的平面区域M ，如图 7-16 所示 . 由目标函数zaxy ( a0)仅在点 (4, 2) 处取得最大值， 得直线 yaxz 的斜率a 要比直线 x66 的斜率小， 即a1，得 a1，故 a 的取值范围是(1,) .变式1 已知平面区域D 由以 A(1,3) ， B(5, 2) ， C (3,1) 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无数多个点(x, y) 可使目标函数zxmy 取得最小值， 则 m（）A.2B.1C.1D.4xy1变式2若 x ， y 满足约束条件xy1 ，目标函数zax2 y 仅在点 (1,0) 处取得最2xy2小值，则 a 的取值范围是（

20、）A. (1,2)B.( 4, 2)C.( 4,0D.( 2,4)x3y30变式 3若实数 x ， y 满足不等式组2xy30 ，且 xy 的最大值为 9 ，则实数 mxmy10（）A.2B.1C.1D.2y1变式 4已知实数 x ， y 满足y2x1 ，如果目标函数zxy 的最小值为1，则实数xymm 等于（）A.7B.5C.4D.3变式 5 设集合 A( x, y) | y1 | x 2 |, x 0 ，B ( x, y) | y| x |b ， AB.2（1） b 的取值范围是；（2）若 ( x, y)( AB) ，且 x2 y 的最大值为 9，则 b 的值是.yx变式 6 设 m1，在

21、约束条件ymx 下，目标函数zxmy 的取值范围为（）xy1A.(1,12)B.(12,)C.(1,3)D.(3,)x2y190例 7.30设二元一次不等式组xy8 0所表示的平面区域为M ，使函数2xy140y ax (a0,a1)的图像过区域M 的 a 的取值范围是（）A.1,3B.2,10C.2,9D.10,9分析目标函数中参数的取值范围问题，先画出平面区域，确定最优解，从而求出 a 的范围 .解析 作出不等式组表示的平面区域 M ，如图 7-17 所示. 由x2 y19 0x2 y19 0. 由图2xy14，得 A(3, 8) ，由xy8，得 B(1, 9)007-17 知，若 yax

22、 的图像过区域 M，则当 yax 的图像过点 A(3,8) ，即 a38 ，a2 时， a 最小；当 ya x 的图像过点 B(1,9) ，即 a9 时，a 最大 . 所以 2a9. 故选 C.xy110变式 1设不等式组3xy30表示的平面区域为D ，若指数函数 yax 的图像上存5x3 y90在区域 D 中的点，则实数a 的取值范围是（）A. (1,3B.2,3C.(1,2D.3,)变式 2（ 2012 福建理 9）若函数 y2x 图像上存在点 ( x, y) 满足约束条件xy3 0x2 y30 ，则实数 m 的最大值为（）xmA.1B.1C.3D.2223xy60例 7.31设 x ，

23、y 满足约束条件xy20，若目标函数 zax by (a0, b 0) 的最x0, y0大值为12，则 23的最小值为（）abA.258114B.C.D.633解析不等式组表示的平面区域如图7-18 阴影部分所示，当直线 axbyz (a0 ， b0) 过 直 线 xy20 与 直 线3xy60的交点 (4,6) 时，目标函数 zax by(a0, b0)取得最大值12 ，即 4a 6bab12 ，故1，36则 2 3 ( 2 3)( a b )13b aabab 326ab132ba25（当且仅当 ab 时取等号） . 故选 A.6ab62xy20变式1设 x ， y 满足约束条件8xy40

24、 ，若目标函数 z abxy (a 0, b 0) 的最x0, y0大值为8，则 a b 的最小值是.题型100 简单线性规划问题的实际应用思路提示常见问题有物资调运、产品安排和下料问题等. 思想是先从实际问题中抽象出数量关系，然后确定其函数意义.其解题步骤为：（ 1）模型建立 .（ 2）模型求解 . 画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解 .（ 3）模型应用. 将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳方案.例7.32某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出7 千克A 产品，每千克A产品

25、获利40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6 小时可加工出4 千克B 产品，每千克B 产品获利50 元 . 甲、乙两车间每天共能完成至多70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不超过480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）A. 甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 B. 甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱C. 甲车间加工原料18 箱，乙车间加工原料50 箱D. 甲车间加工原料40 箱，乙车间加工原料30 箱分析设未知数，确定线性约束条件和目标函数，画出可行域和目标函数对应的初始直线、平行直线，确定最优解，从而求出目标函数的最值.解析设甲车间

26、加工原料x 箱，乙车间加工原料y箱，则xy10 xx, y706yN480，目标函数z280x200 y，结合图像，如图7-19所示，当x15 ，y55 时z 最大 . 故选B.变式1 （ 2012 四川理9）某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1 桶需耗A 原料1 千克、B 原料2 千克；生产乙产品1 桶需耗A 原料2 千克，B 原 料1 千克 . 每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过12 千克 . 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）来源:学

27、A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元变式 2 在“家电下乡”活动中，某厂要将100 台洗衣机运往临近的乡镇，现有4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用. 每辆甲型货车运输费用400 元，可装洗衣机20 台；每辆乙型货车运输费用300 元，可装洗衣机10 台，若每辆车至多运一次，则该厂所花的最少运费为（）A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元变式 3 在（ 2012 江西理 8）某农户种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量和售价如表7-2 所示 .表 7-2年产量/亩年种植成本 / 亩每吨售价4 吨1.20.55 万黄瓜万元元韭菜6 吨0.9万元0.3 万元为使一年的种植总利润（总利润 =总销售收入 - 总种植成本） 最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A.50，