2021北京市中考数学真题及答案解析

2021年北京市初中学业水平考试数学试卷(满分:100分考试时间:120分钟)第一部分选择题(共16分)一、选择题(共16分,每题2分)第1—8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.如图是某几何体的展开图,该几何体是()A.长方体 B.圆柱 C.圆锥 D.三棱柱2.党的十八大以来,坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014—2018年,中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元.将169200000000用科学记数法表示应为()A.0.1692×1012 B.1.692×1012 C.1.692×1011 D.16.92×10103.如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为()A.30° B.40° C.50° D.60°4.下列多边形中,内角和最大的是()ABCD5.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.a>-2 B.|a|>b C.a+b>0 D.b-a<06.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是()A.14 B.13 C.127.已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数,且n<2021<n+1,则nA.43 B.44 C.45 D.468.如图,用绳子围成周长为10m的矩形.记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是()A.一次函数关系,二次函数关系 B.反比例函数关系,二次函数关系C.一次函数关系,反比例函数关系 D.反比例函数关系,一次函数关系第二部分非选择题(共84分)二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.若x-7在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是10.分解因式:5x2-5y2=.

11.方程2x+3=1x12.在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(-1,m),则m的值为13.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB=°.

14.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是(写出一个即可).

15.有甲、乙两组数据,如下表所示:甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2,s乙2,则s甲2

s乙2(16.某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则mn的值为三、解答题(共68分,第17—20题,每题5分,第21—22题,每题6分,第23题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27—28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算:2sin60°+12+|-5|-(π+2)0.18.解不等式组:419.已知a2+2b2-1=0,求代数式(a-b)2+b(2a+b)的值.20.《淮南子·天文训》中记载了一种确定东西方向的方法,大意是:日出时,在地面上点A处立一根杆,在地面上沿着杆的影子的方向取一点B,使B,A两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位),在点B处立一根杆;日落时,在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C,使C,B两点间的距离为10步,在点C处立一根杆.取CA的中点D,那么直线DB表示的方向为东西方向.(1)上述方法中,杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规,在图中作CA的中点D(保留作图痕迹);(2)在上图中,确定了直线DB表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直,可以判断直线CA表示的方向为南北方向.完成如下证明.证明:在△ABC中,BA=,D是CA的中点,

∴CA⊥DB()(填推理的依据).

∵直线DB表示的方向为东西方向,∴直线CA表示的方向为南北方向.21.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.(1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.22.如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45.求BF和AD的长23.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>-2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.24.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E.(1)求证:∠BAD=∠CAD;(2)连接BO并延长,交AC于点F,交☉O于点G,连接GC.若☉O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况,从这两座城市的邮政企业中,各随机抽取了25家邮政企业,获得了它们4月份收入(单位:百万元)的数据,并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组:6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16):b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12这一组的是:10.010.010.110.911.411.511.611.8c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息,回答下列问题:(1)写出表中m的值;(2)在甲城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1.在乙城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2.比较p1,p2的大小,并说明理由;(3)若乙城市共有200家邮政企业,估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).26.在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴;(2)已知点(-1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上.若mn<0,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.27.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点,点D在MC上,以点A为中心,将线段AD顺时针旋转α得到线段AE,连接BE,DE.(1)比较∠BAE与∠CAD的大小;用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系,并证明;(2)过点M作AB的垂线,交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系,并证明.28.在平面直角坐标系xOy中,☉O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到☉O的弦B'C'(B',C'分别是B,C的对应点),则称线段BC是☉O的以点A为中心的“关联线段”.(1)如图,点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1,B2C2,B3C3中,☉O的以点A为中心的“关联线段”是;

(2)△ABC是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t≠0.若BC是☉O的以点A为中心的“关联线段”,求t的值;(3)在△ABC中,AB=1,AC=2.若BC是☉O的以点A为中心的“关联线段”,直接写出OA的最小值和最大值,以及相应的BC长.12021年北京市初中学业水平考试(参考答案)一、选择题1.B根据题中展开图可以判断该几何体是圆柱.故选B.2.C169200000000=1.692×1011.故选C.3.A∵∠AOC=120°,∴∠BOC=60°.∵OC⊥OD,∴∠BOD=90°-60°=30°.故选A.4.D根据“n边形内角和为(n-2)×180°”,可知多边形的边越多,其内角和越大.故选D.5.B∵-3<a<-2,0<b<1,∴|a|>b,a+b<0,b-a>0.故选B.6.C同时抛掷两枚质地均匀的硬币,向上一面的结果有四种:“正正,正反,反正,反反”,而一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有两种,所以所求概率为24=12.7.B根据1936<2021<2025,得44<2021<45,所以n的值为44.8.A根据y=5-x,S=x(5-x),可知y与x满足一次函数关系,S与x满足二次函数关系.故选A.二、填空题9.答案x≥7解析二次根式有意义的条件是被开方数非负,所以x-7≥0,解得x≥7.10.答案5(x+y)(x-y)解析5x2-5y2=5(x2-y2)=5(x+y)(x-y).11.答案x=3解析去分母得2x=x+3,解得x=3.经检验,x=3是原分式方程的解.12.答案-2解析根据点A和点B在反比例函数图象上,可得k=-1×m=1×2,则m=-2.13.答案130解析根据PA,PB是☉O的切线,可得∠PAO=∠PBO=90°,再由四边形的内角和为360°,可得∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.14.答案AE=EC(答案不唯一)解析∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,即AF∥EC.又∵AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形.要使平行四边形AECF是菱形,只需添加一组邻边相等,如AE=EC,答案不唯一.15.答案>解析根据“数据波动越大,方差就越大”,可得s甲2>16.答案2∶3;1解析根据题意知,有a吨原材料分给A生产线,因为第一天共分配了5吨原材料,所以有(5-a)吨原材料分给B生产线,可得4a+1=2(5-a)+3,解得a=2,则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2∶3.由该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n吨原材料,可得4(2+m)+1=2(3+n)+3,则mn的值为1三、解答题17.解析原式=2×32+23+5-1=3318.解析4解不等式①得x>2,解不等式②得x<4.∴原不等式组的解集为2<x<4.19.解析原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.∵a2+2b2-1=0,∴a2+2b2=1,∴原式=1.20.解析(1)如图.(2)BC;等腰三角形三线合一.21.解析(1)证明:∵Δ=(-4m)2-4×1×3m2=4m2≥0,∴该方程总有两个实数根.(2)解这个方程可得x1=3m,x2=m.∵m>0,∴3m>m,由该方程的两个实数根的差为2,可得3m-m=2,∴m=1.22.解析(1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥EC,又∵AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形.(2)∵EF⊥AB,∴∠BFE=90°.在Rt△BEF中,BE=5,cosB=45,∴BFBE=45,∴BF=4,由勾股定理得∵AE平分∠BAC,∠ACB=∠AFE=90°,∴EC=EF=3.∵四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC=3.23.解析(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到,∴k=12,且一次函数y=kx+b的图象过(0,-1),∴b=-1,∴这个一次函数的解析式为y=(2)12≤m≤提示:画图找出临界位置即可得到m的取值范围.24.解析(1)证明:∵AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E,∴BD=CD,∴∠BAD=∠CAD.(2)如图,∵AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E,∴BE=CE.∵在△BGC中,点O、点E是分别是边BG、BC的中点,∴OE是△BGC的中位线,OE=12在Rt△BOE中,OB=5,OE=3,由勾股定理可得BE=OB2-OE2=4.∵∠BEA=∠BCG=90°,∴AE∥CG,∴∠FOA=∠FGC,∠OAF=∠GCF,∴△AOF∽△CGF,∴OFFG=OA25.解析(1)由题图可得,共有25家邮政企业,数据从小到大排序后,第13个数据落在10≤x<12这一组,为10.1,故m=10.1.(2)由题中信息可知,p1=12,而乙城市的平均数是11.0,中位数是11.5,平均数低于中位数,所以p2>12,故p1<p2.(3)11.0×200=2200(百万元).答:估计乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元.26.解析(1)将m=3,n=15代入(1,m)和(3,n),得(1,3)和(3,15),将其代入y=ax2+bx,得a+b=3,9a+3b=15,(2)∵抛物线y=ax2+bx,a>0,∴抛物线开口向上并且过原点.∵mn<0,∴m>0,当m>0,n<0时,点(1,m)在x轴上方,点(3,n)在x轴下方,而抛物线开口向上并且过原点,故此情况不符合题意,舍去.当m<0,n>0时,抛物线开口向上并且过原点,若抛物线过点(1,0),则抛物线的对称轴为直线x=0.5;若抛物线过点(3,0),则抛物线的对称轴为直线x=1.5.设对称轴为直线x=d,则0.5<d<1.5.∵抛物线开口向上,∴距离对称轴越近的点,其对应的函数值就越小.∵三点离对称轴由近及远的顺序是(2,y2),(-1,y1),(4,y3),∴y2<y1<y3.27.解析(1)①∵∠DAE=∠CAB=α,∴∠DAE-∠BAD=∠CAB-∠BAD,∴∠BAE=∠CAD.②BE+MD=BM.证明:∵AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD.∵M为BC的中点,∴BM=CM=CD+MD=BE+MD.即BE+MD=BM.(2)NE=ND.证法一:如图,过点E作AB的垂线交BC于点H,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠C,∴∠ABE=∠ABC,∴∠BEH=∠BHE,∴DC=BE