高二数学导数大题练习(详细答案)

1、高二数学导数部分大题练习 1已知函数d xbacbxaxxf?)23()(23的图象如图所示 （I）求dc,的值； （II）若函数)(xf在2?x处的切线方程为0113?yx，求函数)(xf的解析式； （III）在（II）的条件下，函数)(xfy?与mxxfy?5)(31的图象有三个不同的交点，求m的取值范围 2已知函数)(3ln)(Raaxxaxf? （I）求函数)(xf的单调区间； （II）函数)(xf的图象的在4?x处切线的斜率为,23若函数2)(31)(23mxfxxxg?在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围 3已知函数cbxaxxxf?23)(的图象经过坐标原点，且在1?x

2、处取得极大值 （I）求实数a的取值范围； （II）若方程9)32()(2?axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式； （III）对于（II）中的函数)(xf，对任意R?、，求证：81|)sin2()sin2(|?ff 4已知常数0?a，e为自然对数的底数，函数xexfx?)(，xaxxgln)(2? （I）写出)(xf的单调递增区间，并证明aea?； （II）讨论函数)(xgy?在区间),1(ae上零点的个数 高二数学导数部分大题练习 5已知函数()ln(1)(1)1fxxkx? （I）当1k?时，求函数()fx的最大值； （II）若函数()fx没有零点，求实数k的取值范围； 6已知2x?

3、是函数2()(23)xfxxaxae?的一个极值点（?718.2e） （I）求实数a的值； （II）求函数()fx在3,23?x的最大值和最小值 7已知函数)0,(,ln)2(4)(2?aRaxaxxxf （I）当a=18时，求函数)(xf的单调区间； （II）求函数)(xf在区间,2ee上的最小值 8已知函数()(6)lnfxxxax?在(2,)x?上不具有单调性 （I）求实数a的取值范围； （II）若()fx?是()fx 的导函数，设22()()6gxfxx?，试证明：对任意两个不相等正数12xx、 ，不等式121238|()()|27gxgxxx?恒成立 高二数学导数部分大题练习 9已知

4、函数.1,ln)1(21)(2?axaaxxxf （I）讨论函数)(xf的单调性； （II ）证明：若.1)()(,),0(,521212121?xxxfxfxxxxa有则对任意 10 已知函数21()ln,()(1),12fxxaxgxaxa? （I）若函数(),()fxgx在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围； （II）若(1,(2.71828)aee?L，设()()()Fxfxgx?，求证：当12,1,xxa?时，不等式12|()()|1FxFx?成立 11设曲线C：()lnfxxex?（2.71828e?），()fx?表示()fx导函数 （I）求函数()fx

5、的极值； （II）对于曲线C上的不同两点11(,)Axy，22(,)Bxy，12xx?，求证：存在唯一的0x12(,)xx?，使直线AB的斜率等于0()fx? 12定义),0(,)1(),(?yxxyxFy， （I）令函数22()(3,log(24)fxFxx?，写出函数()fx的定义域； （II）令函数322()(1,log(1)gxFxaxbx?的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在)14(00?xx处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围； （III）当,*xy?N且xy?时，求证(,)(,)FxyFyx? 高二数学导数部分大题练习 答案 1解：函数)(xf的导函数为 bacbxaxxf

6、2323)(2? （2分） （I）由图可知 函数)(xf的图象过点（0，3），且0)1(?f 得 ?03023233cdbacbad （4分） （II）依题意 3)2(?f且5)2(?f ?534648323412babababa 解得 6,1?ba 所以396)(23?xxxxf （8分） （III）9123)(2?xxxf可转化为：?mxxxxxx?534396223有三个不等实根，即：?mxxxxg?8723与x轴有三个交点； ? ?42381432?xxxxxg， x ?32, 32 ? ?432， 4 ?，4 ?xg? + 0 - 0 + ?xg 增 极大值 减 极小值 增 ?mgm

7、g?164,276832 （10分） 当且仅当?01640276832? ?mgmg且时，有三个交点， 故而，276816?m为所求 （12分） 2解：（I）)0()1()(?xxxaxf （2分） 当?,1, 1,0)(,0减区间为的单调增区间为时xfa 当?; 1,0,1)(,0减区间为的单调增区间为时?xfa 当a=1时，)(xf不是单调函数 （5分） （II）32ln2)(,22343)4(?xxxfaaf得 2)4()(,2)22(31)(223? ?xmxxgxxmxxg（6分） 2)0(,)3,1()(?gxg且上不是单调函数在区间? ?.0)3(,0)1(gg （8分）?,31

8、9,3mm（10分）)3,319(?m （12分） 3解：（I）,23)(,00)0(2baxxxfcf?320)1(?abf ),323)(1()32(23)(2?axxaaxxxf 由33210)(?axxxf或，因为当1?x时取得极大值， 高二数学导数部分大题练习 所以31332?aa，所以)3,(:?的取值范围是a； （ II）由下表： x ) 1,(? 1 )332,1(?a 332?a ),332(?a )(xf? + 0 - 0 - )(xf 递增 极大值2?a 递减 极小值 2)32(276?aa 递增 依题意得：9)32()32(27622?aaa，解得：9?a 所以函数)(

9、xf的解析式是：xxxxf159)(23? （III）对任意的实数?,都有,2sin22,2sin22? 在区间-2，2有： 230368)2(,7)1(,7430 368)2 ( ? ? ? ?f,7)1()(?fxf的最大值是7430368)2()(?fx f 的最小值是 函数2,2)( ?在区间xf上的最大值与最小值的差等于 81 ， 所以81|)sin 2()sin 2 (|? ?ff 4 解：（I）01)( ?xex f，得) ( xf的单调递增区间是 ),0(?， （ 2分） 0?a，1) 0 ()(?faf，aaea?1，即 a ea? （4分） （II）xaxaxxaxxg)2

10、2)(22(22) (?，由0)( ? ?xg，得22ax?，列表 x )22,0(a 22a ),22(?a )(x g ? - 0 + )(xg 单调递减 极小值 单调递增 当22ax ?时，函数 )(xgy?取极小值 ) 2ln1(2)22(aaag?，无极大值 由（I）aea?，?22aae eaa，22aea?，22aea? 01)1(?g，0)()(22 ?aeaeaeegaaaa （8分） （i）当122?a，即20?a时，函数)(xgy?在区间),1(ae不存在零点 （ii）当122?a，即2?a时 若0)2ln1(2?aa，即ea22?时，函数)(xgy?在区间),1(ae不

11、存在零点 若0)2ln1(2?aa，即ea2?时，函数)(xgy?在区间),1(ae存在一个零点ex?； 若0)2ln1(2?aa，即ea2?时，函数)(xgy?在区间),1(ae存在两个零点； 综上所述，)(xgy?在(1,)ae上，我们有结论： 高二数学导数部分大题练习 当02ae?时，函数()fx无零点； 当2ae? 时，函数()fx有一个零点； 当2ae?时，函数()fx有两个零点 5解：（I）当1k? 时，2()1xfxx? )(xf定义域为（1，+?），令()0,2fxx?得， 当(1,2),x?时()0fx?，当(2,),x?时()0fx?， ()(1,2)fx在内是增函数，(2

12、,)?在上是减函数 当2x?时，()fx取最大值(2)0f? （II）当0k?时，函数ln(1)yx?图象与函数(1)1ykx?图象有公共点， 函数()fx有零点，不合要求； 当0k?时 ，1()11()111kkxkkxkfxkxxx? （6分） 令1()0,kfxxk?得 ，1(1,),()0,kxfxk?时1(1,),()0xfxk?时， 1()(1,1)fxk?在内是增函数，11,)k?在上是减函数， ()fx的最大值是1(1)lnfkk?， 函数()fx没有零点，ln0k?，1k?， 因此，若函数()fx没有零点，则实数k的取值范围(1,)k? 6 解：（I）由2()(23)xfxx

13、axae?可得 22()(2)(23)(2)3xxxfxxaexaxaexaxae?（4分） 2x?是函数()fx的一个极值点，(2)0f? 2(5)0ae?，解得5a? （II）由0)1)(2()(?xexxxf，得)(xf在)1,(?递增，在),2(?递增， 由0)(?xf，得)(xf在在)2,1(递减 2)2(ef?是()fx在3,23?x的最小值； （8分） 2347)23(ef?，3)3(ef? )23()3(,0)74(4147)23()3(23233ffeeeeeff? ()fx在3,23?x的最大值是3)3(ef? 7解：（）xxxxfln164)(2?， xxxxxxf)4)

14、(2(21642)(? 2分 由0)(?xf得0)4)(2(?xx，解得4?x或2?x 注意到0?x，所以函数)(xf的单调递增区间是（4，+） 由0)(?xf得0)4)(2(?xx，解得-2x4， 注意到0?x，所以函数)(xf的单调递减区间是4,0(. 高二数学导数部分大题练习 综上所述，函数)(xf的单调增区间是（4，+），单调减区间是4,0( 6分 （）在,2eex?时，xaxxxfln)2(4)(2? 所以xaxxxaxxf?242242)(2， 设axxxg?242)(2 当0?a时，有=16+4208)2(?aa， 此时0)(?xg，所以0)(?xf，)(xf在,2ee上单调递增

15、， 所以aeeefxf?24)()(2min 8分 当0?a时，=08)2(2416?aa， 令0)(?xf，即02422?axx ，解得221ax? 或221ax?； 令0)(?xf，即02422?axx， 解得221a ?221ax?. 若221a?2e，即a22)1(2?e时， )(xf在区间,2ee单调递减，所以aeeefxf244)()(242min?. 若2221eae?，即222)1(2)1(2?eae时间， )(xf 在区间221,ae? 上单调递减，在区间,2212ea?上单调递增， 所以min)(x f)221(af? ?)221ln()2(322aaaa?. 若221a?

16、e，即a?022)1(?e时，)(xf在区间,2ee单调递增， 所以aeeefxf?24)()(2min 综上所述，当a222)1(?e时，aeaxf244)(24min?； 当222)1(2)1(2?eae 时，)221ln()2(322)(minaaaaxf?； 当a2)1(2?e时，aeexf?24)(2min 14分 8解：（I ）226()26axxafxxxx?， ()fx在(2,)x?上不具有单调性，在(2,)x?上()fx?有正也有负也有0， 即二次函数226yxxa?在(2,)x?上有零点 （4分） 226yxxa?是对称轴是32x?，开口向上的抛物线，222620ya? 的

17、实数a的取值范围(,4)? （II）由（I ）22()2agxxxx?， 方法1 ：2222()()62(0)agxfxxxxxx?， 高二数学导数部分大题练习 4a? ，323233444244()22axxgxxxxxx?，（8分） 设2344()2hxxx? ，3448124(23)()xhxxxx? ()hx在3(0,)2是减函数，在3(,)2?增函数，当32x?时，()hx 取最小值3827 从而()gx ?3827? ，38()027gxx? ，函数38()27ygxx?是增函数， 12xx、是两个不相等正数，不妨设12xx? ，则22113838()()2727gxxgxx? 2

18、12138()()()27gxgxxx?，210xx? ，1212()()3827gxgxxx? 1212()()gxgxxx? ?3827? ，即121238|()()|27gxgxxx? （12分） 方法2： 11(,()Mxgx、22(,()Nxgx是曲线()ygx?上任意两相异点， 121222121212()()2()2gxgxxxaxxxxxx? ，12122xxxx?Q，4a? 12223121212122()422()xxaaxxxxxxxx? ?31212442()xxxx? （8分） 设121,0ttxx?，令32()244MNkuttt?，()4(32)uttt?， 由(

19、)0ut?，得2,3t?由()0ut?得20,3t? ()ut? 在)32,0( 上是减函数，在),32(?上是增函数， )(tu?在32?t 处取极小值2738 ，38()27ut? ，所以1212()()gxgxxx? ?3827? 即121238|()()|27gxgxxx? 9 （1）)(xf的定义域为),0(? ，xaxxxaaxxxaaxxf)1)(1(11)(2? （i）若2,11?aa即，则 .)1()(2xxxf? 故)(xf在),0(?单调增加 （ii）若.0)(,)1,1(,21,1,11?xfaxaaa时则当故而 )1,1()(,0)(,),1()1,0(?axfxfx

20、ax在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(?单调增加 （iii）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11?aaxfaa在单调减少在同理可得即单调增加 （II）考虑函数xxfxg?)()( .ln)1(212xxaaxx? 由 .)11(1)1(121)1()(2?aaxaxxaaxxg 由于单调增加在即故),0()(,0)(,5?xgxgaa，从而当021?xx时有 ,0)()(,0)()(212121?xxxfxfxgxg即 高二数学导数部分大题练习 故1)()(2121?xxxfxf，当210xx? 时，有1)()()()(12122121?xxxfxfxxxfxf 10

21、解：（I）(),()1afxxgxax?， 函数(),()fxgx在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同， 当1,3x? 时，2(1)()()()0axafxgxx?恒成立， 即2(1)()0axa?恒成立， 21aax?在1,3x?时恒成立，或21aax?在1,3x?时恒成立， 91x?，1a?或9a? （II）21()ln,(1)2Fxxaxax? ，()(1)()(1)axaxFxxaxx? ()Fx定义域是(0,)?，(1,ae?，即1a? ()Fx在(0,1)是增函数，在(1,)a实际减函数，在(,)a?是增函数 当1x?时，()Fx取极大值1(1)2MFa?， 当xa?时，(

22、)Fx取极小值21()ln2mFaaaaa?， 12,1,xxa?，12|()()|FxFxMmMm? 设211()ln22GaMmaaa?，则()ln1Gaaa?， 1()1Gaa?，(1,ae?，()0Ga? ()ln1Gaaa?在(1,ae?是增函数，()(1)0GaG? 211()ln22Gaaaa?在(1,ae?也是增函数 ()()GaGe? ，即2211(1)()1222eGaee?， 而22211(1)(31)1112222eee?，()1GaMm? 当12,1,xxa?时，不等式12|()()|1FxFx?成立 11解：（I ）11()0exfxexx?，得1xe? 当x变化时

23、，()fx?与()fx变化情况如下表： x 1(0,)e 1e 1(,)e()fx? 0 ()fx 单调递增 极大值 单调递减 当1xe?时，()fx取得极大值1()2fe?，没有极小值； （II）（方法1）0()ABfxk?，2121021lnln()1xxexxexxx?，21201ln0xxxxx? 高二数学导数部分大题练习 即20211ln()0xxxxx? ，设2211()ln()xgxxxxx? 211211()ln()xgxxxxx? ，1/211()ln10xxgxx?，1()gx是1x的增函数， 12xx? ，2122222()()ln()0xgxgxxxxx?； 22221

24、1()ln()xgxxxxx? ，2/221()ln10xxgxx?，2()gx是2x的增函数， 12xx? ，1211111()()ln()0xgxgxxxxx?， 函数2211()ln()xgxxxxx?在12(,)xx内有零点0x， 又22111,ln0xxxx? ，函数2211()ln()xgxxxxx?在12(,)xx是增函数， 函数2121()lnxxxgxxx?在12(,)xx内有唯一零点0x，命题成立 （方法2）0()ABfxk? ，2121021lnln()1xxexxexxx?， 即020112lnln0xxxxxx?，012(,)xxx?，且0x唯一 设2112()lnlngxxxxxxx?，则1121112()lnlngxxxxxxx?， 再设22()lnlnhxxxxxxx?，20xx?，2()lnln0hxxx? 22()lnlnhxxxxxxx?在20xx?是增函数 11