勾股定理专题(附答案,全面、精选)

1、初中数学勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT中，勾股定理的应用：在 RT中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长 c，则下列关于a,b,c 的关系不成立的是（）A、 c2- a2=b2B、c2- b2=a2C、a2- c2=b2D、 a2+b2= c2（ 2）在直角三角形中， A=90，则下列各式中不成立的是（）A、 BC2- AB2=AC2B、 BC2- AC2=AB2C、AB2+AC2= BC2D、AC2+BC2= AB22、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中， AB

2、=10 cm,BC=8 cm,求 AC 的长 .（4）在直角中，若两直角边长为a、b，且满足 - 6+ 9 +|b - 4 = 0，则该直角三角形的斜2|边长为3、利用勾股定理求面积（ 5）已知以直角的三边为直径作半圆， 其中两个半圆的面积为 25， 16，求另一个半圆的面积。（ 6）如图（ 1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形 A 的面积为。第1页（ 7）如图（ 2），三角形中未知边x 与 y 的长度分别是x=,y=。（ 8）在 RtABC 中， C90，若 AC6， BC 8，则 AB 的长为（）A、6B、8C、10D、12（ 9）在直线 l 上依次摆放着七个正方形 （如图 4 所示

3、）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、 3，正放置 的 四 个 正 方 形 的 面 积 依 次 是S1、 S2 、S3 、 S4 ，则 S1S2S3S4 =_。【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的 关键在于找 面积相等 ，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）拼图法推导一般步骤：拼出图形 -找出图形面积的表达式 -恒等变形 推出勾股定理。（ 10）用四个相同的直角三角形（直角边为 a、b，斜边为 c）按图拼法。问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？（ 11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为 a、b，斜边为 c

4、）按下图拼法，论 证 勾 股 定 理 ：a 2b2c 23、运用勾股定理进行计算（重难点）（ 12）如图 ,一根旗杆在离地面 9 米处折断倒下 ,旗杆顶部落在离旗杆底部 12 米处 ,旗杆折断前有多高？初中数学第2页（ 13）两棵之间的距离为 8m，两棵树的高度分别为 8m、【培优突破】2m ，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？1、折叠问题（ 1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC=6cm、【基础检测】1、在 RtABC中， C90，若 AB13，BC5，则AC 的长为（）A.5B.12C.13D.182、已知 RtABC中， C90，若 a b14 c

5、m，c 10 cm，则 Rt ABC的面积为（）A . 24cm2 B.36cm2 C.48cm2D. 60cm 23、若 ABC中， C=90，（1）若 a = 5，b=12，则 c =；（2）若 a =6，c =10，则 b =；（3）若 ab=34，c =10，则 a=，b=。4 、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为。（ 不取近似值）BC=8cm，现将 ABC 折叠，使点B与点 A 重合，折痕为DE，则 BE 的长为（）A、 4cmB、 5cmC、6cmD、10cm（ 2） 如图，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB=8cm， BC=10c

6、m，求线段 EC的值2、运用勾股定理解决生活中的实际问题（ 3）如图，为了测得小水坑两边A 点和 B 点之间的距离，一个观测者在C 点设桩，使ABC=90，并测得AC=20m，BC=16m,则 A、 B 两点之间的距离是对少?7255、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3 : 4，求两直角边的长。3、分类讨论（已知直角的两边，求第三边）（ 4）在 ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高 AD=12，则 BC 的值为（）A、25B、 7C、25 或 7D、不能确定（ 5）已知 3,4，a 是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则a2 的值是多少？（ 6）在直角 A

7、BC 中， AB=15， AC=20， BC 边上的高6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地AD=12，则 BC的值为多少？面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外滑动了多少米？4、利用方程解题（ 7）如图， ABC中， C=90，D 是 BC上的一点，已知 BD=7， AB=20， AD=15，求 AC的长 .初中数学（ 8）如图，已知 ABC中， AB=AC=20，BC=32，D 是 BC上一点，且ADAC，求 BD 的长。【培优训练】一、选择题1在 RtABC 中， C=90， AC=9， BC=12，则点C 到AB 的距离是（）361293 3A、 5B、25

8、C、4D、 42若三角形ABC 中， A： B： C=2： 1： 1，a，b，c 分别是 A， B， C 的对边，则下列等式中，成立的是（）A a2+b2=c2B a2=2c2C c2=2a2D c2=2b23 如图， AOC= BOC，点 P 在 OC 上，PDOA 于点D， PE OB 于点 E若 OD=8，OP=10，则 PE的长为（）A、 5B、 6C、7D、84如图在直角 ABC 中， BAC=90， AB=8，AC=6，DE是 AB 边的垂直平分线，垂足为 D，交边 BC 于点 E，连接 AE，则 ACE 的周长为（）A、 16B、 15C、 14D、 135如图，矩形纸片ABCD

9、 中， AB=4， AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为（）4A、 1B、33C、D、 226已知 ABC 中， AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边 BC 的长为（）A、 21B、15C、 6D、以上答案都不对7如图，在RtABC中， ACB=90，CD AB 于 D，已第3页知 BC=8， AC=6，则斜边 AB 上的高是（）A、 10B、52412C、D、558如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（）A、5cm2B、 3cm 2C、4cm2D、 5cm 29张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m ，接着又向正南走了40m ，

10、此时他离家的距离为（） mA 30B40C50D 7010如图在 ABC中 C=90， AD 平分BAC交 BC 于 D，若 BC=64，且 BD：CD=9：7，则点 D 到 AB 边的距离为（）A、 18B、32C、28D、 2411如图所示，是用4 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用 x，y 表示直角三角形的两直角边（ xy），下列四个说法：x2+y2=49， x y = 2， 2xy+4=49， x+y=9其中说法正确的是（）A、B、C、D、二填空题（共2 小题）12如图，等腰 ABC 中， AB=AC， AD 是底边上

11、的高，若 AB=5cm， BC=6cm，则 AD= _ cm 13如图，直线 L 过正方形 ABCD的顶点 B，点 A、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2，则正方形的边长是_14、如图所示， ABC 是等腰直角三角形， AB=AC， D 是斜边 BC 的中点， E、 F 分别是 AB、AC 边上的点，且DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF的长。初中数学二、勾股定理的逆定理【知识点3】勾股定理的逆定理（1）如果的三边 ，b, c 满足关系满足，则该为直角三角形。（2）的三边 ， b, c，假设 c 为最长边222 ，则该为三角形? + ? ?222 ，则该为三角形? + ? ?（

12、3）勾股定理逆定理的用途典型题（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4， 5，6B. 2， 3， 4C. 11，12，13D. 8，15，17（2）若线段 a，b，c 组成直角三角形， 则它们的比为（）A、 234B、3 46C、512 13D、 467（3）下面的三角形中： ABC中， C= A B； ABC中， A： B： C=1： 2：3； ABC中， a： b：c=3：4： 5； ABC中，三边长分别为8， 15， 17其中是直角三角形的个数有（）个A1B 2C 3D4（ 4）若三角形的三边之比为2 ： 1 ： 1 ，则这个三角22形一定是（）A.等腰三

13、角形B.直角三角形C .等腰直角三角形D.不等边三角形（ 5 ） 已知 a ， b， c 为 ABC 三边，且满足（2? -2222）?）（? + ? - ?） = 0 则它的形状为（A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形第4页若三角形三条边的长分别是7, 24, 25，则这个三角形的最大内角是度。已知三角形三边的比为1：3 ： 2，则其最小角为。【知识点 4】勾股数（ 1）勾股数是正整数（ 2）满足的关系条件222? + ? = ?222（ 3）勾股数的 n 倍（n 0），仍然满足 ? + ? = ? （ 4）常见勾股数三、勾股定理的应用1、与图形展开的有关

14、计算（注意展开方式）（ 1）某楼梯的侧面视图如图3 所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为（ 2 ）如图，在棱长为 1 的正方体ABCDA B CD的表面上，求从顶点 A 到顶点 C的最短距离（ 6）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 , 得到的三角形是 ( )A 钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（7）若 ABC的三边长分别长a,b,c ，且满足22? + ? +2试判断 ABC的形状。? + 200 = 12 + 16b + 20?,（8） ABC的两边分别为5, 12，另一边为奇数，且 a+b+c是3 的倍数，则c 应为，此三角

15、形为。（ 3）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行cmBA（9）求：初中数学第5页（4）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，（ 3）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄正南方向260km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计15km/h的速度向 D 移动，已知城市A 到 BC 的距离划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设AD=100km.方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方那么台风中心经过多

16、长时间从B 点移到 D 点？案最省电线如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？CADB2、航海问题（ 1）一轮船以 16 海里 / 时的速度从 A港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里 / 时的速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距 _海里（ 2）如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C在北偏东 60的方向上。 该货船航行30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上， 已知在 C 岛周围 9 海里的区域

17、内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、网格问题（ 1）如图 1，正方形网格中， 每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是 （ ）A0B1C 2D 3（ 2）如图2，正方形网格中的 ABC， 若小方格边长为 1，则 ABC是 （）A.、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、以上答案都不对（ 3）如图，小方格都是边长为1 的正方形 ,则四边形ABCD的面积是()A 25B. 12.5C. 9D. 8.5（ 4）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别

18、为 3、8、5（在图甲中画一个即可）；初中数学使三角形为钝角三角形且面积为 4（在图乙中画一个即可）4、折叠问题（1）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将 ABC折叠，使点B 与点 A 重合，折痕为DE，则 CD 等于（）2522A.B.4375C.D.43（ 2）如图所示，已知 ABC 中， C=90， AB 的垂直平分线交 BC 于 M ，交 AB 于 N，若 AC=4，MB=2MC，求AB 的长（ 3）如图，在长方形 ABCD中， DC=5，在 DC 边上存在一点 E，沿直线 AE 把 ABC折叠，使点 D 恰好在 BC边上，设此点为 F，若 ABF的面积为 30，

19、求折叠的 AED 的面积第6页（ 4）如图，在长方形 ABCD中，将 ABC沿 AC 对折至 AEC位置， CE与 AD 交于点 F。试说明： AF=FC；如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长（ 5）如图 2 所示，将长方形 ABCD沿直线 AE 折叠，顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为 _（ 6）如图，将正方形 ABCD折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD边的中点，求证： DE： DM：EM=3：4： 5初中数学勾股定理

20、参考答案一、探索勾股定理（1） C（2）D（ 3）没有确定斜边的情况下，需要先确定斜边。6 或2 41（4）根据非负数的性质， b=4 和a2a6 9 0 ，解得 a=3，根据勾股定理，斜边=5（ 5）这类型题目 （分别以直角三角形三边所作的同类型图形，如正多边形、半圆等） ，均满足（如图中所示）S1=S2+S3， S3=9（ 6） 25 （7） 10， 12 （8） C，斜边 AB=10（ 9）4，根据全等三角形和勾股定理， S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3， S1+S2+S3+S4=1+3=4（ 10） s = （a + b ）2 = 4 1 ab + c2 ，2结论：a2

21、+ b2 = c2（11） S = 1 (a + b)( a + b) = 2 1 ab + c222结论：a2 + b2 = c22 2（ 12） h=9+9 + 12 = 9 + 15 = 24 m（ 13） 10 m【基础检测】1、B2、A,解： (a + b) 2 = a2 + b2 + 2ab ,解得： 1 ab = 2423、（ 1）13， （ 2）8， （ 3）6,84、725、12,16 解：根据题意，本题中直角三角形三边关系为3: 4: 5，三边分别为 3x, 4x, 5x， 5x=20 6、作如下辅助图： BD=CE=10， AB=8，BC=2， AC=6根据勾股定理：AD

22、=6,AE=8DE=AE-AD=8-6=2 m【培优突破】（ 1） B（ 2） 3 cm，注意翻折构造全等，勾股定理（ 3） 12 m（ 4） C，如右图（ 5） 25 或 7，在没有确定直角或斜边的情况下，需要讨论确定斜边。（ 6） 25 ， AB 一定是直角边，想想： BC 是否一定是斜第7页边呢？ BC边上的高为 12，不是 15，所以 BC一定是斜边（ 7） 12, 解：设 DC=y，根据勾股定理有：AC2 = AB2 - (BD + y) 2 = AD 2 - y 2 ,即20 2 - (7 + y) 2 = 15 2 - y 2 解得： y=9AC=12（ 8） 7, 解：作 AE

23、BC与 E，设 BD=X 则 AE=12DE=16-xDC=32-x如图，根据勾股定理有：AD2= AE2 + DE2 = DC2 -AC2 即AD2= 12 2 + （ 16 -2(32 - x) 2 - 20 2x） =解得： x = 7【培优训练】1、A，三角形的面积计算2、B3、B,4、A，5、C6、D，如右图， BC的长 21 或 97、C8、 A9、 C10、C11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明12、413、 514、连接 AD，则 BDE ADF，则 ADE CDF，则 AE=CF=5，AF=BE=12， EF=13二、勾股定理的逆定理典型题答案（ 1） D （2） C （ 3） D （ 4）C（ 5） C （6）C（ 7）直角三角形222+ 16b + 20?解： ? + ? + ? + 200 = 122216b+642（