（推荐）第十一章.动量矩定理(哈工大-理论力学课件)

1、1,第十一章 动量矩定理,2,111 质点和质点系的动量矩 112 动量矩定理 113 刚体绕定轴的转动微分方程 114 刚体对轴的转动惯量 115 质点系相对于质心的动量矩定理 116 刚体的平面运动微分方程 习题课,第十一章 动量矩定理,3,质点对于点O 的动量矩 ：质点的动量相对于点O 的矩。 若质点的质量为m ,速度为v，质点相对点O的矢径为r，则,一质点的动量矩,动力学,11-1质点和质点系的动量矩,质点动量对轴 z 的动量矩：,m,4,质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：,正负号规定与力对轴矩的规定相同 从轴的正向看：顺时针为负 逆时针为正,动力学,动量矩度量物体在任一

2、瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。,5,动力学,刚体动量矩计算：,1平动刚体,平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。,二质点系的动量矩,质系对点O的动量矩：,质系对轴z 的动量矩：,6,2定轴转动刚体,动力学,定轴转动刚体对转轴的动量矩:等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。,为刚体对z轴的转动惯量,7,动力学,例1,求对O轴的动量矩。,8,例2,已知：均质杆的质量为m，均质圆盘的质量为2m，求物体对于O轴的转动惯量和动量矩。,解：,9,3平面运动刚体,动力学,平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质

3、心轴作转动时的动量矩之和。,注意正负的规定,10,C,v,x,h,圆盘：,11,动力学,解：,滑轮A：m1，R1，R1=2R2， 滑轮B：m2，R2， ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。,例3,C,12,1质点的动量矩定理,动力学,11-2动量矩定理,设质点对定点O 的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为MO(F )，如图。,13,质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。,14,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得：,上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对

4、时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。,动力学,15,称为质点动量矩守恒定律。,若,则,若,2质点动量矩守恒定律,16,运动分析：,动力学,由动量矩定理：,解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。,单摆，已知m，l，t =0时 = 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。,例4,即：,l,17,注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正） 质点动量矩定理的应用： （1）在质点受有心力的作用时。 （2）质点绕某心（轴）转动的问题。,动力学,摆动周期：,微幅摆动时，并令，则,解微分方程：,则运动方程为：,代入初始条件：,得：A=0， B=0,18,动力学,共有n

5、个方程，相加后得：,设质点系有n个质点，作用于每个质点的力分为 内力 和外力 ，由质点动量矩定理：,3质点系的动量矩定理,19,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。,质点系对固定点的动量矩定理:,20,上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。,（1）当时，常矢量。 （2）当时，常量。,动力学,定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。,4质

6、点系动量矩守恒定律,21,解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。,动力学,由动量矩定理：,已知:,例5,运动分析： v =r,如何求支座O的反力？,22,例6P261,卷扬机，鼓轮半径为R，质量m1，转动惯量J，作用力偶M，小车质量 m，不计绳重和摩擦，求小车的加速度a。,解：运动分析和受力分析,23,解： 系统的动量矩守恒。,A猴与B猴向上的绝对速度是一样的, 均为 。,动力学,已知：猴子A和猴子B的重量相等，猴B以相对绳子 的速度上爬， A猴不动，问当B猴向上爬时， A猴将如何动？运动的速度多大？（轮重不计）,例7,24,对于一个定轴转动刚体:,刚体绕定轴的转动微分方程,动力学,1

7、1-3刚体绕定轴的转动微分方程,代入质点系动量矩定理，有,z,25,特殊情况： 1） 若 ,则角加速度 恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。 2） 若 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。 将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。,动力学,解决两类问题： （1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 （2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。,26,例如,27,例8(P265),物理摆，质量m，C为质心，对O点的转动惯量为JO，求微小摆动的周期。,解：,工程中常用上式，通过测定零件的摆动周期，以计算其转动惯量。,28,

8、提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求： 物体C上升的加速度。,取轮B连同物体C为研究对象,补充运动学条件,化简(1) 得：,化简(2) 得：,动力学,解: 取轮A为研究对象,例9,29,例10,均质杆AB长为l，质量为m1,小球质量为m2，弹簧刚度系数k,杆在水平位置保持平衡。初始静止，求给小球一个向下的微小初位移0后杆的运动规律和周期。,解：运动分析和受力分析。,30,均质杆AB长为l，质量为m1,小球质量为m2，弹簧刚度系数k,杆在水平位置保持平衡。初始静止，求给小球一个

9、向下的微小初位移0后杆的运动规律和周期。,解：运动分析和受力分析。,例10解答,31,32,单位：kgm2,动量矩定理,11-4 刚体对轴的转动惯量,物理意义：,一、转动惯量表述公式,相关因素：各质点质量大小、质量分布,刚体转动惯性的度量,对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式,33,动量矩定理,工程应用：常常根据工作需要来选定转动惯量的大小。,34,二、简单形状物体的转动惯量计算,1.均质细直杆对过一端点的轴的转动惯量,单位长度质量,由 ，得,动量矩定理,35,2.均质薄圆环对中心轴的转动惯量,3.均质圆板对中心轴的转动惯量,或,动量矩定理,36,动量矩定理,4.回转半径（惯性半径）,或

10、,对于几何形状相同的均质物体，其回转半径公式相同（物质组成可不同）。,回转半径的几何意义：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。,37,三、平行轴定理,由平行轴定理可知，刚体对于诸平行轴，以通过质心的轴的转动惯量为最小。,刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即,动量矩定理,38,证明：,因为,有 ，得,动量矩定理,39,要求记住几个转动惯量,则,动量矩定理,例11：均质细直杆，已知,求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。,对一端的z轴，有,解：,40,四

11、、转动惯量的确定方法,1.组合法,例12 已知杆长为 ,质量为 ,圆盘直径为d，质量为,求：,解：,41,解：,其中,由 ，得,42,2.实验法,解： 将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动.,由,其中 已知, 可测得，从而求得 .,动量矩定理,例：求对O轴的转动惯量。,43,3.查表法,表11-1 均质物体的转动惯量,薄壁圆筒,细直杆,体积,惯性半径,转动惯量,简 图,物体的形状,44,薄壁空心球,空心圆柱,圆柱,45,圆环,圆锥体,实心球,46,矩形薄板,长方体,椭圆形薄板,47,11-5质点系相对于质心的动量矩定理,动力学,此动量矩定理只适用于相对惯性参考系为固定的点或固定的轴，对于一般的动点或

12、动轴，动量矩定理具有更复杂的形式。,但是，相对于质点系的质心或随同质心平动的动轴，动量矩定理的形式不变。,48,49,动力学,一质点系相对于定点的动量矩,50,动力学,二质点系相对质心的动量矩,51,动力学,三质点系相对质心的动量矩定理,由质点系动量矩定理,52,动力学,53,质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。,动力学,质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心之矩的矢量和。,54,设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系 可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定

13、位于S内。,动力学,刚体对质心C的动量矩为：,116 刚体的平面运动微分方程,55,写成投影形式：,或：,上式称为平面运动微分方程。,动力学,应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理：,56,例11-14（P276）,r,x,C,M,aC,FN,mg,F,均质圆轮半径为r，质量为m，沿水平直线滚动，轮的惯性半径为C，作用于圆轮的力偶矩为M。（1）求轮心的加速度。（2）如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为fs，问M应满足什么条件使圆轮只滚不滑。,解： （ 1）运动分析和受力分析。,和M均以顺时针为正。,57,（2）只滚不滑的条件：,58,质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由

14、静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为fs 和f ，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。,动力学,解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0， aC x =aC ， 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有,（1）（2）（3）三式中含有四个未知数（N、aC 、F、 ），需补充附加条件。,例15,59,1设接触面绝对光滑。,2设接触面足够粗糙，轮作纯滚动。,动力学,3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=fN，可解得,4. 轮作纯滚动的条件：,表明：当时，解答3适用； 当时，解答2适用；f =0 时解答1适用。,因为轮由静止开始运动，故0，

15、轮沿斜面平动下滑。,所以可解得,60,一基本概念 1动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。 2质点的动量矩： 3质点系的动量矩： 4转动惯量：物体转动时惯性的度量。,对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。,动力学,动量矩定理习题课,61,5刚体动量矩计算 平动： 定轴转动： 平面运动：,二质点的动量矩定理及守恒 1质点的动量矩定理,2质点的动量矩守恒,(1) 若，则 常矢量。 (2) 若，则 常量。,动力学,62,三质点系的动量矩定理及守恒 1质点系的动量矩定理,动力学,2质点系的动量矩守恒,(1) 若，则常矢量 (2) 若，则常量,四质点系

16、相对质心的动量矩定理,63,或,动力学,2刚体平面运动微分方程,64,六动量矩定理的应用 应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）,动力学,1已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。 2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。 3已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。,65,均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。,解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚体)

17、受力分析如图示。 运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。,动力学,例10,66,将(4)式代入(1)、(2)两式，有,将上述结果代入(3)式，有,解得：,动力学,67,两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O 点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。,解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。,动力学,由定轴转动微分方程,例11,68,根据质心运动微分方程，得,动力学,69,均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。 求： （一） 圆柱B下落时质心的加速度。 （二） 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的力偶，力偶矩为M，试问在什么条