天津大学现代设计方法习题及答案 共11页

1、习题1）论述产品设计过程中系统设计、参数设计及公差设计的目的与作用。系统设计根据产品的功能要求，进行产品的系统功能和原理设计， 即将功能需求映射为物 理原理，从而得到产品的初始设计方案。通过对不同方案分析比较，得到合理的 初始设计方案。等为优化目标, 质量、成本的参数设计基于初始设计方案，建立产品的系统模型，以性能、质量、成本 对产品的系统参数优化 设计，通过系统参数的合理化，实现性能、 综合最优。公差设计，对参数的公差在参数设计基础上，进一步以性能、质量、成本综合最优为目标 （如需波动的范围）进行优化。2.）用黄金分割法求解min f（x）=（x-2）2，初始区间为0, 3 ，迭代 2 次。

2、（10） 第一轮迭代:a=0， b=3xj =a + 0.382(b -a) =1.146f(xl1)H 0.7293xj =a + 0.618(b -a) =1.854 f(x21)H 0.02137f(xi1)H0.7293f (xj) =0.0213”.淘汰区间0,1.146；新区间为1.146 ,3第二轮迭代：a=1.146，b=3xf =x21) =1.854f(x12) =0.0213x22) =a+0.618(b -a) =2.2918f(x?) =0.08517f(x22)H0.0851f (x(2) =0.0213二淘汰区间2.2918,3；新区间为1.146 ,2.2918

3、f(1.146) =0.7293f (2.2918)=0.0851“1.146+2.2918、f()=0.07902经典优化方法：1. 基于经典的线性、非线性数学规划理论；2. 一般需要解析形式的优化模型，只能处理模型简单的优化问题；3. 得到的结果一般为局部最优解。现代优化方法基于遗传、模拟退火等现代优化算法，并结合实验设计方法； 不需要解析形式的优化模型，可以处理模型复杂、多目标优化问题; 可以得到全局最优解。1.2.3.f(xf) =f (1.854) =0.0213 /. minf(X)=0.0213, x* =1.854 3)论述传统或经典优化方法与现代优化方法的特点。(一维优化用解

4、析法)，迭代2次。搜索方向:最优步长:迭代公式:收敛判据:Vf (X (k)| s解:4)论述梯度法的原理，并用梯度法求解min F(X) =X12+X1X2，初始点X(0)=1， 1梯度法的原理：基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将n维优化问题求 解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。S(k)叩(X(k)minF (X(k)+迈(k)=少X (k卅)=X (k)+ j (k)s(k)2xHx2 1可F(x)i 12 .2X2 +X1JS(0)=-7F(X(0)=J-3J3J确定最优步长：min F(X(0)-a7F(X(0) =3(1-3心2dF=2x3x(1-3

5、a)x(3) =0X(1)=X(0)一汐 F(X(O)H0I13人 JOJ可F（X）= *0， I可F（x）|=0,满足收敛条件二X=J0 !，F （X）=0为问题的最优解。L0J5）论述优化问题的收敛准则。数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列 X（0）,F（x（0）,X ，F（X（1）,X（2）,F（X（2）,X（n）,F（X（n）,当 nT 处时 ，该序列收敛于优化问题的解。根据序列理论，序列收敛的条件为：相邻两轮搜索得到的近似极值点 相对距离”小于给定精度，即：X (n) _x (nF)F(X(n)-F(X(n 切)6）论述坐标轮换法的原理和局限性原理：将n维问题转化为依次沿n个坐标方向

6、轮回进行一维搜索。局限性：1）计算效率低，适合变量n10的情况；2）若目标函数具有脊线，算法将出现病态：沿两个坐标方向均不能使函数数值 下降，误认为最优点。7）论述内点法、外点法和混合罚函数法的特点和适用性。 内点法：1)2)3)3)外点法：1)2)3)4)初始点为严格内点； 仅能处理不等式约束； 可能存在一维搜索超界问题; 可以得到多个可行方案。初始点可任选；可以处理等式和不等式约束； 不存在内点法中的一维搜索超界问题;一般仅能得到一个最终方案。混合罚函数法：1) 初始点可任选；2) 可以处理等式和不等式约束；3) 对已经满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对等式约束和未被满足的不等式约束用

7、外点法构造惩罚项；4) 采用外推法提高收敛速度。8)何谓 K-T(Kuhn-Tuker)条件？用 Kuhn-Tucker验证约束优化问题 min F(X) =(x1 -3)2 +(X2 -2)2s.t. gX) = X：5 0Kuhn-Tucker 条件成立。(15)g2(X) =x1 +2x2 4 f(X2)，说明极小点在X1的右侧，将步长增加一倍，取X3 =X2+2h。若f(X1) f(X2)，说明极小点在xi的左侧，需改变探索方向，即将步长符号改为负，得点X3=xi -ho 若f(x3)咕2) =0.0557”.淘汰区间1.528,2;新区间为0.764，1.528(a=0, b=1.2

8、36)(x22) =0.764)(f(x 22) =0.0557)(x(2) =a +0.618(b-a) =0.472 )(f (x；2) =0.2788)(：f (xf) =0.2788f(X22) =0.0557)(.淘汰区间0,0.472;新区间为0.472，1.236 )f(0.764) =0.0557f(0.472) =0.2788f (1.528) = 0.2788f (1.236) = 0.0557“ 0.764+1.528、s 一c _“ 0.472+1.236、“ccl 八f()=f(1.146) =0.0213 f()=f(0.854) =0.0213f (xf) =f

9、(0.236) =0.0557f (xf) =f (0.236) = 0.0557/. minf(x) =0.0213, x* =1.146 二 minf(x) =0.0213, x* =0.854 3）写出优化模型的标准式。mi nF(X)X 刖u RnD : gj (X) 0, j =1,2,.,m;hj(X) =0, j = m +1, m + 2,., pmin F(X)st. gj( X )0,j =1,2,.,m;hj (X )=0,j =m + 1,m+2,., p 4）论述梯度法的原理，并用梯度法求解2 2min F(X) =2xi +x2 +5，初始点 X(0)=1，1（一维

10、优化用解析法），迭代2次。梯度法的原理：基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将n维优化问题求 解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。京F(X)y 1学2X2第一次迭代：S(0)=3F(X(0) J-42J确定最优步长：(0) _ (0) _ 2 _ 2min F(X +aS ) =2(1-4几)+(1-2k) +5dF=2x2x(1-4)jx(v) + 2x(1-2Z)咒(一2) =0 dZ/. k =0.277818X=x(0)十好)y I 0.4444 J第二次迭代:s(1)=Rf(x(1)%( 0.4444 _%j l-0.8889jmin F (X +)S)=

11、2( -%入)2 +(% -% )J2 +5dF2-% 吆几 M%+2%-% 心(-)=0 5”Z =0.416712-升訂%:.。7411，121% I。0741F(X(2) =5.033。5) 论述搜索法求解一维和多维优化问题的收敛准则(1) 一维优化的基本思路是通过数值迭代逐步缩减极值点所在的单峰区间，当区 间长度达到给定精度，即可认为优化过程收敛，则收敛准则为多维优化问题数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列 X(0),F(X(0),X ，F(X(1),X，F(X几,X(n),F(X(n)，当 nT 之时，该序列收敛于优化问题的解。根据序列理论，序列收敛的条件为：相邻两轮搜索得到的近似极

12、值点 相对距离”小于给定精度，即：X （n） _x 5 出）引）5F（X（n）-F（xE6) 论述阻尼牛顿法的原理和局限性。牛顿法的原理：在X(k)的邻域内，用二次泰勒多项式近似原目标函数F(X)，以该二次多项式的极小点作为F(X)的下一个迭代点X(k+1)，并逐渐逼近F(X)的极小点X*。 阻尼牛顿法的原理：对牛顿法的修正一一在牛顿方向上作一维搜索求最优步长。局限性：当F(X)的海赛矩阵在迭代点处正定情况下，阻尼牛顿法可以保证每次迭代，迭 代点的函数值都下降；在迭代点处不定情况下，函数值不会上升，但不一定下降；在迭代点处奇异情况下，不能求逆，无法构造牛顿方向；要求 F(X)二阶可 微。单元分

13、析:FiF2F2F37试建立下图所示一维问题的刚度方程。= -k1（U2 uj =4 匕比 = k1（U2 uj =匕4 +k1U2 =斗2（口3 U2） =k2U2 k2U3总体分析 R = Fi & = F2 民*3= k2（U3 -U2）= -k2U2 +k2U3（节点静力平衡）：=k1uk1u2 +OU3+=kiUi +（ki +k2）U2 -k2U3= 0uk2uk2u3k1-ki0 -UiRi-kki +k2k21IR2，Lo-k2k2 -lU3”8) 8.何谓K-T(Kuhn-Tuker)条件？用Kuhn-Tucker验证约束优化问题min F(X)=(捲-3)2 +(X2 -2

14、)222在点X =21 Kuhn-Tucker条件成立。L；s.t. gi(X) = Xj + X2 -5 0 g2(X) =% +2x2 -4 0 g3(X) = x； 0 g4 (X X 0K-T条件：约束极值点存在的条件。设 X * = X；X2x； T为非线性规划问题jminF(X)E；vt. gj( X )兰0 j=1,2，mhj (X)=0 j =m+1,m + 2,p的约束极值点，且在全部等式约束及不等式约束条件中共有q个约束条件为起作 用的约束，即gi( X *)=o,hj(X *)=0(i券,i+j = 1,2, .qv p)。如果在X*处诸起作用约束的梯度向量Vgi(Xhj(X )(i+j = 1,2, qv p)线性无关，则存在向量入使下述条件成立q齐(X*)+2 匕评gi(X*) +AjNhj(X*)=0i廿入=必1几2 心，其元素Ai为非零、非负的乘子，几j为非零的乘子。解:22g1(X )=g2(X )=0； g3(X )yo, g4(X )yo ”.起作用的约束为g1(X)，g2(X) 旺屮X1-3)U2(X2 -2) Jgb2X212根据K -T条件，应有；卜0,则有%+1%+