初等代数研究课后习题答案完整版

1、初等代数研究课后习题完整版（1）对任何a,bN，当且仅当ab时，ba.（2）对任何a,bN，在ab，a b， ab 中有且只有一个成立证明：对任何a,bN，设Aa，Bb（1）a”ab，则B,B,使 A B,，B B, A, b aa”ba，则B,B ,使 B, A ，A B, B , a b综上 对任何a,bN， abba（2）由（ 1）abbaab与a 1b 不可能同时成立，假设 ab与ab 同时成立，则 B,B,使 A B,且 A B，1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即B B,与B为有限集矛盾,a b与a b不可能同时成立,综上，对任何 a,b N ，在 a b， a b， a

2、b 中有且只有一个成立2、证明自然数的加法满足交换律先证 a11a，设满足此式的a 组成集合k，显然有 1+1=1+1 成立1k，设ak ， a 1 1a，则a1(a)(a 1)(1 a)1aak ，kN，取定 a ，则1 M ，设bM,a b b a，则a b (ab)(ba) b abMIMN对任何a,bN，a b b a证明：对任何 a,bN设m为使等式abba 成立的所有 b 组成的集合3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定 a ，反证：假设至少有两个对应关系f,g，对 b N，有f（b）, g（b） N，设M是由使f （b） g（b）成立的所有的b组成的集合,f (b)

3、g(b) a 11 M设b N 则 f (b) g(b) f (b) a g(b) af(b ) g(b )， b M ， M N 即 b N， f(b) g(b)乘法是唯一的，设 a K ,存在性：设乘法存在的所有 a组成集合K 当a 1时， b N ,111,1 b b b有a, b与它对应,ab aba，对b N，令a b ab babab(aba bb)(a1)即乘法存在p24 5、解：满足条件的A有 A 1,2，A21,2,3，A 1,2,4，A 125A 2,A2A3a3,AsAA74, A5基数和为23 3 4 3 5 28p24 6、证明：A a, Bb，A中的x与B中的y对应

4、AB ab，BA baabA BabA BA BBAp24 &证明：1) 3+4=73 134323 1(3 1)453 33 2(32)563 43 3(33)672)3 4123 133 23 13 13 63 33 23 2393 43 33 3312p2412、证明:1)(mn )mnA5(m n )m n 1 (m 1) n1,2,3, 4，A123,5，A1,2,4,5，A 1,2,3,4,52) (mn )nm m(mn ) mn 1 mn (m 1) nm mp26 36、已知f(m, n)对任何m,n N满足f(1,n) n 1f(m 1,1)f(m,2)f(m1,n 1)f

5、 (m, f (m 1,n)求证： 1 )f(2,n)n22)f(3,n)2n 23)f(4,n)2n 1 2证明：1) 当 n 1 时，f(2,1)f(1 1,1)f(1,2)2112结论成立，假设n k时，结论成立，即 f (2, k) k 2 ,当 n k 1时，f(2,k 1)f(1 1,k 1)f(1,f(2,k)f(1,k 2) (k 2) 1 (k 1) 2 所以对一切自然数结论都成立2) 当 n 1时， f(3,n)f(21,n)f(2,2)2 22 12结论成立假设n k时，结论成立，即 f(3,k) 2k 2当 n k 1 时，f(3,k 1)f(2 1,k 1)f(2,

6、f(3,k)f (2,2k2) 2k 2 22(k 1) 2所以对一切自然数结论都成立3)当 n 1 时， f(4,1)f(31,1) f (3,2) 2 2 2 21 1 2 结论成立假设nk时，结论成立，即k1f (4,k)2k 1 2当 n k 1 时，f(4,k 1) f (3, f (4, k)f (3,2k 1 2)2(2k 1 2) 2 2k 2 2所以对一切自然数结论都成立p62 1、证明定理2.1证明： a, b, c,d Z ，a,b c,d a c,b d 因为自然数加法满足交换律 a c,b d c a, d b而c,d a,b c a,d b a,b c,dc,d a

7、,ba,b,c,d, e, f Z ，a,b c,d e, f a c,b d以为自然数满足加法结合律 (a,b 即整数加法满足交换律和结合律p622、已知a,b,c, d Z，求证a, be, f (a c) e,(b d) f c,d) e, f a,b (c,d e, f )c,d 的充要条件是 a,b c,d1,1证明：“”已知a,bc,d则 a d b ca, b c, d a d,b c 1,1“” 已知 a,bc, d 1,1则 a d,b c 1,1， a d b ca, b c, dp624、已知 a,bN，求证(a, b) a,b证明： a,bb, a ( a,b)b, a

8、 a,bp625、已知a,b,c, d Z，求证(a,b c, d)a,bc,d证明：左边(a, b c, d) a d, b c b c,a d右边 a,b c,d b,a c, d b c, a d 所以左边等于右边 (a,b c,d)a,b c,dp627、已知a,b,c N，求证当且仅当 a d b c时a,bc,d证明：“ ” 已知 a d b c， a,b c, d a d,b c因为 a d b c a d,b c 是负数， a,bc, d已知a,bc,d则a,b c,d a d,b c因为 a d ,b c 是负数， a d b cp62 9、已知Z，求证：1),2)II证明：

9、设a,b,Gda c,bd(a c) (b d)(ac)ac bda b,(bd)(a b)(cd)ac(adIIbd, adbcacbd(adbc)a(c d) b(d c)b)(cd)p6312、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为 ak,bk，、 2 2k 1,2,n ,求证：a1 a2a2 b1证明：对于 ak(k1,2,., n)，必存在一个 bj( j 1,2,., n)使得 akbja： b2(k, j2 2a?bf.bnp6316、已知 p 10ap 10c d，求证 p ad bc证明：由已知:s,tZ 使 10a bps，10c d pt10aps, d

10、 10cptad bc10acapt (10accps)p(cs at)p ad bcp6317、设2不整除a，求证8 a21证明：因为2不整除a，所以存在唯一一对q, r Z，使 a2q r，其中0 r 2r 1， a2 4q2 4q 1 a24q(q 1)8 a2 1p6320、设a Z，求证a(a 1)(a 2)(a3) 1是奇数的平方(a 1)(a2)肯定为偶数证明:a(a1)(a2)(a 3) 1(a1)1(a 1)(a 2)(a 2) 1 1(a1)2(a 1)(a2)2(a2) 1(a1)2(a2)2 2(a1)(a2)1(a1)(a2) 12a 1,a 2肯定一奇一偶(a 1)

11、(a 2)1肯定为奇数p63 22、证明：前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n个自然数的和为 n)n2因为：n个自然数的和仍为自然数 1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n与n的个位数码只能是 1,4或4,1而(1+n) - n=1 个位数码不能为 2若个位数码为4则1+n与n的个位数码只能是 1,8或8,1也不可能成立 若个位数码为7则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为9则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18 也不可能成立，综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p6326、证明 2.3

12、定理 1( a1,a2,a.,) =( a1 , a2 ,an)证明：因为：(a1,a2,a“)是印,an的公因数中的最大数所以R需考虑非负整数(a1, a2,an,) = ( a1 , a2 ,an )p6329、证明2.3定理4的推论(a,b)1的充要条件是有 x, y Z使得ax by 1证明：因为(a,b)1a, b不全为0“”由定理4x, y Z 使 ax by (a, b) 1“”设(a,b)d 则 d a,d b, d ax byd 1d (a,b)1p63 30、证明2.3定理6及其推论。定理 6：若m N，贝U (ma, mb) m(a,b)证明：若a,b都为0,则(0,0)

13、m(0,0)显然成立若a, b不全为零，则 X0,y Z使ax by。 (a,b)I IIIIImax mby (ma,mb)而 max mby m(ax by )因为 x, y Z , ax0 by axbyax0by。axbym(ax0 by0) max mbym(a,b)maxmbym(a,b)(ma, mb)而(ma,mb) amx mby0 m(a,b) (ma,mb) m(a,b)推论：设d是a,b的公因数，贝U (a/d,b/d)1的充要条件是d (a,b)证明：“” d 是a,b 的公因数d N d d(a/d,b/d) (a,b)“”因为 d (a,b) x, y Z，使 a

14、x by dx, y Z，使(a /d)x (b/d)y 1(a /d ,b / d) 1p64 32、证明2.3定理七及其推论定理七：若(a,c)1, b Z , b, c中至少有一个不为 0,则(ab,c) (b, c)证明：b,c中至少有一个不为 0x, y Z使abx cy (ab,c)因为(a,c)1 (ab,c) b,(ab,c) c 因为(b,c) (ab,c) (ab,c) (b,c)推论：若(a,c)1, (b,c)1,则(ab,c) 1证明：因为(b,c)1, b,c不为零 (ab,c) (b, c) 1p64 33、已知 n是奇数，na b,na b，求证 n(a,b)证

15、明：因为 na b, na b n (a b) (a b), n (a b) (a b)n2a,n2b n 2(a,b)，因为 n 是奇数，n(a,b)p64 36、已知(a,b)d,( a ,b ) d，求证(aa ,ab ,a b,bb ) dd证明：(aa,ab) a(a,b) ad,(ab, bb) bdIIIIIII(aa , ab , a b, bb ) (ad ,bd ) ddp6440、已知a N，求证a,2a,na中n的倍数的个数等于(n,a)当(n,a) d 时，d 1，令 a dai, (n,aj 1，则 a,2a, na可改写为da1,2da1, nda1 因为 d 1

16、 所以其中一定包括 na1,2na(d 1)nadna1都是n的倍数，共有d个2p6442、已知p是异于3的奇素数，求证 24 p 1证明：p是异于3的奇素数，p2 1为偶数，p 3 p2 1 92p 1 (p 1)(p 1)其中p 1,p1都为合数，且都大于 3p 1,p1都可被2、3中的一个整除，若2 p 1，则由p 1(p 1) 22 p 1，因为 p 1 3, p 1324 p2 1p6444、已知整数a,n都大于1，an 1是素数，求证a 2且n是素数证明：反证 n不是素数当a 2时an 1不是素数与已知矛盾，所以n是素数p6445、求不大于50的一切素数解：平方不大于 50的素数是

17、2,3,5,7则不大于50的一切素数2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47p6446、求下列各数的标准分解式：1)82798848解：82798848= 28 35 113p6449、已知整数 a,b,c都大于 1，求证(a,c),(b,c)(a,b, c)证明：(a,c),(b,c)(a,c)(b,c)(a,c),(b,c)鲁,c)计c)p66 69、已知p是奇素数，求证1)12p 3p . (p 1)p0(mod p)2)12p 13p 1. (p 1)p 11(mod p)证明：1)因为(1,p)1,(2, p) 1,

18、.,(p1,p)11p 1(mod p)，2p 2(mod p)，3p 3(mod p)(p 1)pp 1(mod p)1 2p 3p . (p 1)p (12 3 . (p 1)(mod p)因为 12 3 . (p 1)P(P 1)p(p 1)1 2p 3p . (p 1)p O(mod p)2) 1p 1 1(mod p), 2p 1 1(mod p), 3p 1 1(mod p)(p 1)p 1 1(mod p)12p 1 3p1 . (p 1)p 1 1(mod p)q 1p 1p66 70、设p,q是相异素数，求证 pqqp 1(mod pq)证明：pq 1 0(mod p), qp 1 1(mod p) ,pq 1 qp 1 1(mod p)同理 pq 1 qp 1 1(modq) pq 1 qp 1 1(mod p,q)即 pq 1 qp 1 1(mod pq)p66 72、已知 p是素数，N，求证 (1)(p)(p2) . (p ) p证明：因为p是素数，所以 (pk) pk pk 1,k N2 2 1(p) p 1, (p ) p p,., (p ) p p因为(1)