完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

1、北京邮电大学20122013学年第1学期11概率论与随机过程期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答 题纸上写上你的 班号和选课单上的学号，班内序号!一.单项选择题和填空题：(每空3分，共30分)1. 设A是定义在非空集合上的集代数,则下面正确的是 .A(A) 若 A A, B A,则 A B A；(B) 若 A A, B A,则 B A;(C) 若 A A, n 1,2,则A A;(D) 若 A A,n 12,且 AA2 A3 川，则A A.2. 设，F为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c(A) 若

2、A F, B F,则 P(A B) P(A) P(B)；(B) 若 A F, n 眾，,且 AA2 A3 卅，则 P(f|A)limP(An)；(C) 若 A F, B FC F,，贝U P(aUbC) P(A) P(Ab) P(A BC)；(D) 若 A F, n 1,2,且 AAj , i j，P(An)P(An).n 13. 设f为从概率空间，F,P到Borel可测空间R,B上的实可测函数,100100表达式为 f( ) kq，其中 AA , i jJlAn，贝U fdP ;k 0n 0若已知 P(Ak)k!(100100!1k)! 2100 ，则f2dP100kP(AJ,25 502k

3、 025254. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x, y)2,0,1,0 y x,其他，则 EEX |Y =.2/35.设随机过程X(t) Xcost,，其中随机变量X服从参数为1的指数分布，(0, /2)为常数，则(1)X(1)的概率密度f(x;1)1 亠e cos x 0f(x;1) cos, E(0, 其他，6.设W(t),t 0是参数为2(10)的维纳过程，令X(t) W(-)，则相关t函数 RX(1,2)-7.设齐次马氏链的状态空间为E 1,2,3,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5.1/2,2则(1) lim p1(1n)n概率题(共30 分)1.

4、(10分)设(X,Y)的概率密度为2 2XiX212f (x, y) 2 2e 2令U X2 Y2,V Y,( 1)求(U ,V)的概率密度g(u,v);(2)求U的边缘概率密度gu(u).解解( 1)解方程u2y ,得得y,:. 2u v ,|v|y v,u,所以雅可比行列式Jg(u,v) f (x, y)| J |(2)对 u 0，gu(u)uu故 gu (u)2 2 e0,u2i. u2 v20v2,u21v2u2u2u2v2|v| u,0,g(u,v)dvu 0,其他.2.( 10分)设(U,V)的概率密度g(u,v)2eu2=dv2v=dv2v10分eu, u v 0,v0,0, 其

5、他，(1)求 E(lv 1|U 10)，其中 IV 1()1,0,V 1，其他，(2)D(V|U).解U的边缘概率密度为ugu(u)g(u,v)dv所以条件概率密度Ue udv,0,u 0,其他,uue , u 0,0, 其他,gvu (v|u)g(u,v)-, 0 v u,ugu(u)0,其他.(1)Eg i|U10) P(V 1|U10)101 gvu(v|u10)dv10 11dv .1 1027分(2)因为 D(V |Uu)12，所以D(V |U )U2o1210分3. ( 10分)设X1,X2,|,Xn独立同分布，均服从两点分布，即PX10 p,PX11=1-p,(0 p 1)，令

6、Y X1 X2 I Xn，( 1)求 丫 的特征函数；(2)求 E(Y3).解：(1)因为丫服从二项分布B(n,q)，所以丫的特征函数(t) (p qeT5 分(2) E(Y3) E(X1 X2 卅 Xn)nnnnEX3E(Xi2Xj)E(XiXjXQi 1i,j 1,j ii,j,k 1,互不相等nq n(n 1)q2 n(n 1)(n 2)q310 分三.随机过程题(共40 分)1.( 10分)设Xt)(t 0)是参数为(0)的泊松过程，即满足: Xi(0)0;(2) Xt)为独立增量过程;对 s,t 0,有 PX(s t) X(s) kk t容,kX2(t)(t0)也是参数为(0)的泊松

7、过程，且与Xt)独立，令Y(t) Xi(t)X2(t) , (1) 求 Y(t)和RY(s,t) ; (2) 求 PY(1) 1.解：因为Y(t)Xi(t) X2(t)是参数为2的泊松过程，所以Y(t)2 , R (s,t)2 min s, t 4 2st10分2(2) PY(1) 12 e2. (10分)设X(t), t是平稳过程，f()是其谱密度函数，(1)证明：对于任意的h 0，Y(t) X(t h) X(t)是平稳过程；(2)求Y(t)的谱密度.0,解(1)EY(t) EX(t h) X(t)EY(t )Y(t) EX(t h) X(t ) X (t h) X(t)2Rx( ) Rx(

8、h ) Rx(h)与t无关，则Y(t) X(t h) X(t)是平稳过程。ei 2Rx( ) Rx(h ) Rx(h)d2f()eih f( ) eih f()10分2f ( )(1 cosh ).3.（10分）设齐次马氏链Xn,n 0的状态空间为E 0,1,2，一步转移概率矩阵为1/21/41/4P 1/201/2 ，1/21/2 0初始分布为PX00 PX01PX。 2 3,求(1) PX1 1,X2 1,X42和 PX11,X21,X42|X=0；1/ 21/ 41/ 4解P21/ 23/81/81/ 21/ 83/8PX11,X21,X4 2(1)(1)PX0 i Pi1 p11i謂0PX11,X21,X42|X0=0 p01 p11 p12 (2)0X2的分布律.2 p(2)p(0) P1/ 2 1/ 41/41 1 1,1/ 2 3/8 1/ 83 3 31/ 2 1/ 83/84.（ 10分）齐次马氏链Xn，n0的状态空间为1,2,3,11|,6分10分步转移概率矩阵为P2-3 1-3 O I13 确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布 解.(1)链可分,1 ,34是不可分闭集,状态空间E 1,4 32,567,川2分(2) 周期d(i) 1,i1,2,.4 分