江苏省泰州市姜堰市区罗塘高级中学2016届高三(上)第一次月考数学试卷(解析版

1、2015-2016 学年江苏省泰州市姜堰市区罗塘高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知 A=1 ，3， 4 ， B=3 ， 4， 5 ，则 A B=2” x031 0”的否定是命题，x?3“a 020”，则a 的否命题是命题： 若4函数 y=的定义域为5函数 f（ x）=log 5（2x+1 ）的单调增区间是6函数 y=（ xe）的值域是32m 的值为7设 f （ x）=4x+mx +（ m 3）x+n（ m，nR）是 R 上的单调增函数，则20”为假命题，则实数a 的范围8若命题 “? xR，使得

2、 x +（ a 1） x+19若曲线 C1： y=ax 3 6x2+12x 与曲线 C2： y=ex 在 x=1 处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为10已知函数f （x） =x|x 2|，则不等式的解集为11下列四个命题：（ 1） “?xR， x2 x+10”的否定；2（ 2） “若 x +x 60，则 x 2”的否命题；（ 3）在 ABC 中， “A 30”是“sinA ”的充分不必要条件；第1页（共 22页）（ 4） “k=2”是 “函数 f（ x）=2x（ k23） ?2 x 为奇函数 ”的充要条件其中真命题的序号是（真命题的序号都填上）12若函数f （ x）为定义在R 上的奇函数，

3、当x0 时， f（ x）=xlnx ，则不等式f（ x） e 的解集为13已知函数f （x） =若存在实数b，使函数g（ x）=f （ x） b 有两个零点，则a 的取值范围是14已知函数f（ x）=3x+a 与函数 g（ x）=3x+2a 在区间（ b，c）上都有零点，则的最小值为二、解答题：本大题共6 小题，共90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知集合A=x|x 4|2，xR ， B=x| 0， xR ，全集 U=R （ 1）求 A（ ?UB）；（ 2）若集合C=x|x a， xR ，A C=? ，求实数a 的取值范围22 a=0”；如果 “P

4、或 Q”为真， “P16设命题 P：“任意 xR，x 2xa”，命题 Q“存在 xR，x +2ax+2且 Q”为假，求 a 的取值范围17p：实数 x 满足 x2 4ax+3a2 0，其中 a0， q：实数 x 满足（ 1）若 a=1，且 pq 为真，求实数x 的取值范围；（ 2） ?p 是 ?q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围第2页（共 22页）18如图，有一个长方形地块ABCD ，边 AB 为 2km ，AD 为 4km ，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC 是以直线 AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带EF

5、， E， F 分别在边AB ， BC 上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）设点P 到边 AD 的距离为t（单位： km ）， BEF 的面积为 S（单位： km2）（ 1）求 S 关于 t 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（ 2）是否存在点 P，使隔离出的 BEF 面积 S 超过 3km 2？并说明理由19设函数f （ x） =lnx+， mR（ 1）当 m=e（ e 为自然对数的底数）时，求f（ x）的最小值；（ 2）讨论函数g（ x）=f （ x）零点的个数；（ 3）（理科）若对任意b a 0， 1 恒成立，求m 的取值范围20已知函数f （x） =1+lnx ，其中 k 为常

6、数（ 1）若 k=0，求曲线 y=f （ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程（ 2）若 k=5，求证： f（x）有且仅有两个零点；（ 3）若 k 为整数，且当 x 2 时， f （ x） 0 恒成立，求 k 的最大值第3页（共 22页）2015-2016 学年江苏省泰州市姜堰市区罗塘高级中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知 A=1 ，3， 4 ， B=3 ， 4， 5 ，则 A B=3，4 【考点】 交集及其运算【专题】 集合【分析】 由 A 与 B ，求出两集合的交集即可【解

7、答】 解： A=1 ， 3， 4 ，B=3 ， 4， 5 ， A B=3 ， 4 故答案为： 3 ， 4【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键310”x0 x3102命题” x0，x的否定是? ，?【考点】 命题的否定【专题】 计算题；规律型；简易逻辑【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题”? x 0， x3 1 0”的否定是： ?x 0， x3 10故答案为： ?x 0， x3 10【点评】 本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，是基础题3命题： “若 a 0，则 a2 0”的否命题是若

8、 a0，则 a20 【考点】 四种命题【专题】 阅读型【分析】 写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解【解答】 解：命题的条件是：a0，结论是： a2 0否命题是：若a0，则 a20第4页（共 22页）故答案是若a0，则 a20【点评】 本题考查否命题的定义4函数 y=的定义域为2， +）【考点】 函数的定义域及其求法【专题】 计算题；函数的性质及应用【分析】 由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式【解答】 解：由 2x 40，得 2x4，则 x2函数 y=的定义域为 2，+）故答案为： 2，+）【点评】 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题5函数

9、f（ x）=log 5（2x+1 ）的单调增区间是（ ，+） 【考点】 对数函数的单调性与特殊点【专题】 函数的性质及应用【分析】 要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减 ”的原则，即可求出函数的单调区间【解答】 解：要使函数的解析有有意义则 2x+1 0故函数的定义域为（，+）由于内函数u=2x+1 为增函数，外函数y=log 5u 也为增函数故函数 f（ x） =log 5（2x+1 ）在区间（， +）单调递增故函数 f（ x） =log 5（2x+1 ）的单调增区间是（，+）故答案为：（， +）【点评】 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本

10、题易忽略定义域，造成答案为R的错解第5页（共 22页）6函数 y=（ xe）的值域是（ 0， 1【考点】 函数的值域【专题】 函数的性质及应用【分析】 根据函数y=lnx 的单调性，判定y=在 xe 时的单调性，从而求出函数y 的值域【解答】 解：对数函数y=lnx 在定义域上是增函数， y= 在（ 1， +）上是减函数，且 xe 时， lnx 1， 01；函数 y 的值域是（ 0， 1 故答案为：（ 0， 1 【点评】 本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，从而求出值域来，是基础题7设fx）=4x3+mx2+（m3）x+n（mn RR上的单调增函

11、数，则m的值为6（， ）是【考点】 利用导数研究函数的单调性【专题】 函数的性质及应用【分析】 由函数为单调增函数可得f（ x） 0，故只需 0 即可【解答】 解：根据题意，得f （x） =12x2 3，+2mx+m f （ x）是 R 上的单调增函数， f （ x） 0， =（ 2m） 2 412（ m 3）0即 4（ m 6） 20，所以 m=6，故答案为： 6【点评】 本题考查函数的单调性，利用二次函数根的判别式小于等于0 是解决本题的关键，属中档题8若命题 “? xR，使得 x2+（ a 1） x+1 0”为假命题，则实数 a 的范围（ 1，3） 第6页（共 22页）【考点】 特称命题

12、【专题】 计算题；转化思想【分析】 不等式对应的是二次函数，其开口向上，若x Rx2“? ，使得+（ a 1）x+1 0”，则相应二次方程有实根求出a的范围，然后求解命题“?xRx2a 的范 ，使得+（ a 1） x+1 0”为假命题，实数围2【解答】 解： “?xR，使得 x +（ a 1） x+1 0 x2+（ a 1） x+1=0 有两个实根 =（ a 1） 2 40 a 1， a3，所以命题“ x Rx2+（ a1） x+10”为假命题，则实数a 的范围（ 1， 3）?，使得故答案为：（1， 3）【点评】 本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数

13、中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面9若曲线 C1：y=ax 3 6x2+12x 与曲线 C2：y=ex 在 x=1 处的两条切线互相垂直，则实数 a 的值为【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】 导数的概念及应用；直线与圆【分析】 分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1 处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于 1，由此求得a 的值【解答】 解：由 y=ax 36x 2+12x ，得 y=3ax2 12x+12， y|x=1 =3a，由 y=ex，得 y=ex， y|x=1 =e曲线 C1：y=ax 3 6x2+12x 与曲线 C2：y=ex 在

14、x=1 处的切线互相垂直， 3a?e= 1，解得： a= 故答案为：【点评】 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题第7页（共 22页）10已知函数 f （x） =x|x 2|，则不等式的解集为 1， +） 【考点】 函数的图象【专题】 函数的性质及应用【分析】 化简函数 f（ x），根据函数f（ x）的单调性，解不等式即可221，【解答】 解：当 x2 时， f（ x） =x|x 2|= x（ x 2） = x +2x=（ x 1） +1当 x 2 时， f （ x） =x|x 2|=x（ x 2）

15、=x 2 2x= （x 1） 21，此时函数单调递增由 f（ x） =（ x1） 2 1=1，解得 x=1+由图象可以要使不等式成立，则，即 x 1，不等式的解集为 1，+）故答案为： 1， +）【点评】 本题主要考查不等式的解法，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，使用数形结合是解决本题的基本思想11下列四个命题：（ 1） “?xR， x2 x+10”的否定；（ 2） “若 x2+x 60，则 x 2”的否命题；（ 3）在 ABC 中， “A 30”是“sinA ”的充分不必要条件；（ 4） “k=2”是 “函数 f（ x）=2x（ k23） ?2 x 为奇函数 ”的充要条件其中真命题

16、的序号是（ 1），（ 2）（真命题的序号都填上）第8页（共 22页）【考点】 命题的真假判断与应用【专题】 转化思想；数学模型法；简易逻辑1“?xRx2x+10=3 0【分析】 （ ）原命题的否定为 ，”，由于 ，即可判断出正误；（ 2）由于原命题的逆命题为：“若 x 2，则 x2+x 60”，是真命题，进而判断出原命题的否命题具有相同的真假性；（ 3）在 ABC 中， “sinA ”? “150 A 30”，即可判断出正误；（ 4） “函数 f（ x） =2 x（ k2 3）?2 x 为奇函数 ”则 f （ x） +f （ x）=0 ，化为（ k2 4）（ 22x+1）=0，此式对于任意实数

17、x 成立，可得k= 2，即可判断出真假【解答】 解：（ 1）“?xR，x2 x+1 0”的否定为 “? xR，x2 x+1 0”，由于 = 30，因此正确；22（ 2） “若 x +x 60，则 x 2”的逆命题为： “若 x2，则 x +x 60”，是真命题，因此原命题的否命题也是真命题，正确；3ABCsinA150A30A30sinA（）在中， “”? “”，因此 “ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，不正确；（ 4） “函数 f（ x） =2 x（ k2 3）?2 x 为奇函数 ”则 f （ x） +f （ x）=2 x（ k23） ?2x+2x（ k2 x22x，此式对于任意实数x 成

18、立， k= 2，因此 “k=2”是 “函数3）?2=0 ，化为（ k 4）（ 2+1） =0f （ x）=2 x（ k2 3） ?2 x 为奇函数 ”的充分不必要条件，不正确其中真命题的序号是（ 1），（ 2）故答案为：（ 1），（ 2）【点评】 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、三角函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12若函数f （ x）为定义在R 上的奇函数，当x0 时， f（ x）=xlnx ，则不等式f（ x） e 的解集为（ ， e）【考点】 函数奇偶性的性质【专题】 函数的性质及应用【分析】 由奇函数的性质f（ x） = f （ x）

19、，求出函数f（ x）的解析式，对x0 时的解析式求出f （ x），并判断出函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数f （ x）的图象，根据图象和特殊的函数值求出不等式的解集【解答】 解：设 x 0，则 x0，第9页（共 22页）当 x 0 时， f（ x） =xlnx ， f （ x） =xln （ x），函数 f（ x）是奇函数， f（ x） = f （ x） =xln （ x），则，当 x 0 时， f （ x） =lnx+=lnx+1 ，令 f（ x） =0 得， x= ，当 0 x时， f （ x） 0；当 x时， f（ x） 0，函数 f（ x）在（ 0，）上递减，在（，+）

20、上递增，当 x= 时取到极小值， f（ ） = ln = e，再由函数 f（ x）是奇函数，画出函数 f（ x）的图象如图：当 x 0 时，当 x=时取到极小值，f （） =ln= e，不等式f（ x） e 在（ 0， +）上无解，在（，0）上有解， f （ e） =（ e） ln （ e） = e，不等式 f（ x） e 解集是：（ ， e），故答案为：（ ， e）第 10 页（共 22 页）【点评】 本题考查函数的奇偶性的综合运用，以及导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思想13已知函数f （ x） =若存在实数b，使函数g（x） =f（ x） b 有两个零点，则a 的取值范围是a|a

21、0 或 a1【考点】 函数的零点【专题】 计算题；创新题型；函数的性质及应用【分析】 由 g（ x） =f （ x） b 有两个零点可得f（ x） =b 有两个零点，即y=f （ x）与 y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【解答】 解： g（ x）=f （ x） b 有两个零点， f （ x） =b 有两个零点，即 y=f （ x）与 y=b 的图象有两个交点，由 x3=x 2 可得， x=0 或 x=1 当 a 1 时，函数f（ x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a1 满足题意 当 a=1 时，由于函数f （ x）在定义域R 上单调

22、递增，故不符合题意 当 0 a 1 时，函数f （ x）单调递增，故不符合题意第 11 页（共 22 页） a=0 时， f（ x）单调递增，故不符合题意 当 a 0 时，函数y=f （ x）的图象如图所示，此时存在b 使得， y=f （ x）与 y=b 有两个交点综上可得， a 0 或 a 1故答案为： a|a 0 或 a1【点评】 本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想14已知函数f（ x）=3x+a 与函数 g（ x）=3x+2a 在区间（ b，c）上都有零点，则的最小值为 1【考点】 函数零点的判定定理；基本不等式【专题】 函数的性质及应用；不等式的解法

23、及应用第 12 页（共 22 页）【分析】 根据函数f（ x）=3x+a ，与函数 g（ x）=3x+2a 在区间（ b，c）上都有零点，可得a+2b 0，a+2c 0 恒成立，进而根据=，结合基本不等式可得的最小值【解答】 解：函数f（x） =3x+a，与函数g（ x）=3x+2a 在区间（ b，c）上都有零点，且f （ x）与g（x）均为增函数 f （ b） =3b+a 0，即 b，g（b） =3b+2a 0，即 b，f （ c）=3c+a 0，即 c，g（c） =3c+2a 0，即 c，当 a 0 时， a+2b 0，a+2c 0，当 a0 时， a+2b 0， a+2c 0，当 a=0

24、 时， a+2b 0， a+2c 0，即 a+2b 0， a+2c 0 恒成立，即 a 2b 0， a+2c 0 恒成立，= 1，第 13 页（共 22 页）的最小值为1，故答案为： 1【点评】 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，基本不等式，其中对式子=的分解变形是解答的关键二、解答题：本大题共6 小题，共90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知集合A=x|x 4|2，xR ， B=x| 0， xR ，全集 U=R （ 1）求 A（ ?UB）；（ 2）若集合 C=x|x a， xR ，A C=? ，求实数 a 的取值范围【考点】 交、并、补集的混合

25、运算；交集及其运算【专题】 集合思想；定义法；集合【分析】 （ 1）根据集合的基本运算进行求解即可（ 2）根据集合的关系建立不等式关系进行求解即可【解答】 解：（ 1） A=x|2 x6，xR ， B=x| 1x 5， xR ， CU B=x|x 1 或 x5 ， ， A （ CU B） =x|5 x6 （ 2） A=x|2 x6， xR ，C=x|x a， xR ，A C? ， a 的取值范围是 a2【点评】 本题主要考查集合的基本运算，比较基础16设命题 P：“任意 xR，x2 2xa”，命题 Q“存在 xR，x2+2ax+2 a=0”；如果 “P 或 Q”为真， “P且 Q”为假，求 a

26、 的取值范围【考点】 复合命题的真假【专题】 函数的性质及应用第 14 页（共 22 页）【分析】 由命题P 成立，求得 a 1，由命题 Q 成立，求得 a 2，或 a1由题意可得p 真 Q 假，或者p 假 Q 真，故有，或解这两个不等式组，求得a 的取值范围【解答】 解：由命题P： “任意 xR， x2 2x a”，可得 x2 2x a 0 恒成立，故有 =4+4a0， a 1由命题 Q： “存在 xR， x2+2ax+2 a=0”，可得 =4a24（ 2 a）=4a2+4a 80，解得a 2，或a1再由 “P 或 Q”为真， “P 且 Q”为假，可得p 真 Q 假，或者p 假 Q 真故有，

27、或求得 2 a 1，或a1，即a 2故 a 的取值范围为（2， +）【点评】 本题主要考查命题真假的判断，二次不函数的性质，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题17p：实数 x 满足 x2 4ax+3a2 0，其中 a0， q：实数 x 满足（ 1）若 a=1，且 pq 为真，求实数x 的取值范围；（ 2） ?p 是 ?q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【专题】 简易逻辑【分析】 （ 1）若 a=1，分别求出p， q 成立的等价条件，利用且pq 为真，求实数x 的取值范围；（ 2）利用 p 是 q 的充分不必

28、要条件，即q 是 p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围【解答】 解：（ 1）由 x2 4ax+3a20，得（ x 3a）（ x a） 0又 a 0，所以 a x 3a当 a=1 时， 1 x 3，即 p 为真时实数x 的取值范围是1 x 3由得得 2 x3，第 15 页（共 22 页）即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 x3若 pq 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是 2 x 32p是q的充分不必要条件，即pqq推不出p（ ）?，且即 q 是 p 的充分不必要条件，则，解得 1 a2，所以实数 a 的取值范围是1 a2【点评】 本题主要考查复合命题与简单命题之间

29、的关系，利用逆否命题的等价性将p 是 q 的充分不必要条件，转化为 q 是 p 的充分不必要条件是解决本题的关键，18如图，有一个长方形地块 ABCD ，边 AB 为 2km ，AD 为 4km ，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴，以 A 为顶点的抛物线的一部分现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF， E， F 分别在边 AB ， BC 上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）设点P 到边 AD 的距离为t（单位： km ）， BEF 的面积为 S（单位： km2）（ 1）求 S 关于 t 的函数解析式，并指出该函数的定义域；

30、（ 2）是否存在点 P，使隔离出的 BEF 面积 S 超过 3km 2？并说明理由【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法【专题】 导数的综合应用【分析】 （ 1）如图，以A 为坐标原点O，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为（2，4）设边缘线AC 所在抛物线的方程为y=ax 2，把（ 2，4）代入，可得抛物线的方程为y=x 2由于 y=2x ，可得过 P（t， t2）的切线 EF 方程为 y=2tx t2可得 E， F 点的坐标，即可得出定义域第 16 页（共 22 页）（ 2），利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出【解答】 解

31、：（ 1）如图，以A 为坐标原点O，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为（ 2，4）设边缘线AC 所在抛物线的方程为y=ax 2，把（ 2， 4）代入，得4=a22，解得 a=1，抛物线的方程为y=x2 y=2x ，过 P（ t， t2）的切线 EF 方程为 y=2tx t2令 y=0，得；令 x=2 ，得 F（2， 4t t2），定义域为（0， 2（ 2），由 S（ t） 0，得， S（ t）在上是增函数，在上是减函数， S 在（ 0，2上有最大值又，不存在点 P BEF面积S超过3km2，使隔离出的【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值切线的方程、抛物

32、线方程，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 17 页（共 22 页）19设函数f （ x） =lnx+， mR（ 1）当 m=e（ e 为自然对数的底数）时，求f（ x）的最小值；（ 2）讨论函数g（ x）=f （ x）零点的个数；（ 3）（理科）若对任意b a 0， 1 恒成立，求m 的取值范围【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值【专题】 导数的综合应用【分析】 （ 1）当 m=e 时， x 0，由此利用导数性质能求出f （ x）的极小值（ 2）由 g（x）=0，得 m=，令 h（ x）=x ，x 0

33、，mR，则h（1） =， h（ x） =1x2=（ 1+x）（ 1 x），由此利用导数性质能求出函数g（x） =f （x）零点的个数（ 3）（理）当b a 0 时， f （ x） 1 在（ 0，+）上恒成立，由此能求出m 的取值范围【解答】 解：（ 1）当 m=e 时，x 0，解 f（ x） 0，得 xe， f （ x）单调递增；同理，当 0x e 时， f（ x） 0， f（ x）单调递减， f （ x）只有极小值 f（ e），且 f（ e） =lne+ =2， f （ x）的极小值为 2（ 2） g（ x） =0， m=，令 h（ x） =x ， x 0， mR，则 h（ 1） =， h（

34、 x）=1 x2=（ 1+x）（ 1 x），第 18 页（共 22 页）令 h（ x） 0，解得 0 x 1， h（ x）在区间（ 0，1）上单调递增，值域为（ 0， ）；同理，令 h（ x） 0，解得 x 1， g（ x）要区是（ 1，+）上单调递减，值域为（ ， ）当 m0，或 m= 时， g（x）只有一个零点；当 0 m 时， g（ x）有 2 个零点；当 m 时， g（ x）没有零点（ 3）（理）对任意ba 0，1 恒成立，等价于 f（ b） b f（ a） a 恒成立；设 h（ x） =f （ x） x=lnx+ x（ x 0），则 h（ b） h（ a） h（ x）在（ 0， +）

35、上单调递减； h（ x） =10 在（ 0， +）上恒成立， mx2+x= +（ x0）， m ；对于 m=，h（ x）=0 仅在 x=时成立； m 的取值范围是 ，+）【点评】 本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查实数值的求法，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用20已知函数f （x） =1+lnx ，其中 k 为常数（ 1）若 k=0，求曲线 y=f （ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程（ 2）若 k=5，求证： f（x）有且仅有两个零点；（ 3）若 k 为整数，且当 x 2 时， f （ x） 0 恒成立，求 k 的最大值【考点】 利用导数

36、研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值第 19 页（共 22 页）【专题】 函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】 （ 1）求出 f（ x）的解析式，求出导数和切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（ 2）求出 k=5 时 f（x）的解析式和导数， 求得单调区间和极小值，再由函数的零点存在定理可得（ 1，10）之间有一个零点，在（10，e4）之间有一个零点，即可得证；（ 3）方法一、运用参数分离，运用导数，判断单调性，求出右边函数的最小值即可；方法二、通过对k 讨论，运用导数求出单调区间，求出f（ x）的最小值，即可得到k 的最大值为4【解答】 解：（ 1）当 k=0 时， f（x） =1+lnx 因为 f （ x）=，从而 f（1） =1又 f （ 1） =1 ，