20.开锁模型的数学期望

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(三-20):开锁模型的数学期望(790) 0235 开锁模型的数学期望 母题(三-20):(开锁模型)某人有n把钥匙,其中只有一把能打开门锁,但忘记了开门的是哪一把,于是他有放回试开.()求他恰好第三次试开时,打开门的概率;()若该人最多试开n次,求他试开次数的数学期望.解析:因为他有放回试开,所以,每次试开打开门的概率均为,打不开门的概率均为1-;()他恰好第三次试开时,打开门,即前2次试开,均没有打开门,第3次试开,打开门,所以,概率=(1-)(1-)=(1-)2;

2、()因p(=k)=(1-)k-1(k=1,2,n-1),且p(=n)=(1-)n-11=(1-)n-1;e=1p(=1)+2p(=2)+kp(=k)+(n-1)p(=n-1)+np(=n)=1(1-)0+2(1-)1+(n-1)(1-)n-2+n(1-)n-1=n-(1-)n-1+n(1-)n-1=n+(n-1)(1-)n-1.点评:开锁模型是概率问题的一个典型的母题模型,由母题模型可引发许多具有实际背景的趣味问题;开锁模型的基本变式:扩大开锁钥匙的个数;改变试开方式,把有放回试开变为逐把不放回试开;设定试开后的钥匙不能再试开. 子题(1):(原创题)某人有n把钥匙,其中有m把(1mn)能打开

3、门锁,但忘记了开门的是哪一把,于是他有放回试开.()求他恰好第三次试开时,打开门的概率;()若该人最多试开n次,求他试开次数的数学期望.解析:因为他有放回试开,所以,每次试开打开门的概率均为,打不开门的概率均为1-;()他恰好第三次试开时,打开门,即前2次试开,均没有打开门,第3次试开,打开门,所以,概率=(1-)2;()因p(=k)=(1-)k-1(k=1,2,n-1),且p(=n)=(1-)n-11=(1-)n-1;e=1p(=1)+2p(=2)+kp(=k)+(n-1)p(=n-1)+np(=n)=1(1-)0+2(1-)1+(n-1)(1-)n-2+n(1-)n-1=-(1-)n-1+

4、n(1-)n-1=+(1-)n-1. 注:本题扩大开锁钥匙的个数至m,本质上与母题相同. 子题(2):(原创题)某人有n把钥匙,其中只有一把能打开门锁,但忘记了开门的是哪一把,于是他逐把不放回试开.()求他恰好第三次试开时,打开门的概率;()若该人最多试开n次,求他试开次数的数学期望.解析:()从n把钥匙中取3把钥匙的排列数=an3;把能开锁的钥匙放在第三位,前二位的排列数=an-12他恰好第三次试开时,打开门的概率=;()因p(=k)=(k=1,2,n)e=(1+2+n)=. 0236 母题(三-20):开锁模型的数学期望(790) 注:本题改变试开方式,把有放回试开变为逐把不放回试开,与母

5、题有本质差异. 子题(3):(原创题)某一系统需有n个外形完全相同,但功能各异的电子元件组成,组装时可随意逐一进行,但只有前一个电子元件安装正确时才能进行下一个电子元件的按装,否则终止安装,如有一个电子元件安装错误,则该电子元件报废.某技师进行随机安装,设他安装正确的电子元件的个数为.()求的分布列;()求证:的数学期望e2.解析:(法一)()设他恰好正确安装k个电子元件的亊件为ak,为求p(ak),需考虑前k+1个电子元件的安装,前k+1个电子元件的安装位置有cnk+1种选法,且前k个电子元件的安装正确,而第k+1个电子元件必然安装错误,为此第k+1个电子元件必在前k次安装中试出,并报废,有

6、k种情况;其余n-(k+1)个电子元件可任意排列,有(n-k-1)!种情况p(ak)=,k=1,2,n-1,显然p(an)=的分布列为:()由p(ak)=-p(m)=p(am)+p(am+1)+p(an-1)+p(an)=-+- +-+=由e=1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)+np(=n)=p(=1)+p(=2)+p(=3)+p(=n)+p(=2)+p(=3)+p(=n)+p(=3)+p(=n)+p(=n)=p(1)+p(2)+p(3)+p(n)=1+;当n2时,由n!=123n1222=2n-1e=1+1+()+()2+()n-12)把钥匙,其中有2把能打开门锁,但忘记了开门的是哪一把,于是他逐把不放回试开.()求他恰好第三次试开时,打开门的概率;()若该人最多试开n次,求他试开次数的数学期望.2.(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门打开的锁打开.设抽取钥匙是相互独立且等可能的,每把钥匙试开后不再放回,求试开次数的分布列及数学期望e. 子题详解:1.解:()从n把钥匙中取3把钥匙的排列数=an3;把能开锁的钥匙放在第三位(