控制系统模型与转换

1、第 3 章控制系统模型与转换,1,系统的数学模型,系统数学模型的重要性 系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础 系统数学模型的获取 建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型,2,系统数学模型的分类,系统 模型,非线性,线性,连续,离散,混合,单变量,多变量,定常,时变,3,主要内容,线性连续系统的数学模型与matlab表示 线性离散时间系统的数学模型 方框图描述系统的化简 系统模型的相互转换 线性系统的模型降阶 线性系统的模型辨识 本章要点简介,4,3.1 连续线性系统的数学 模型与mat

2、lab表示,3.1.1 线性系统的状态方程模型 3.1.2 线性系统的传递函数模型 3.1.3 线性系统的零极点模型 3.1.4 多变量系统的传递函数矩阵模型,5,3.1.1 线性连续系统数学模型及matlab 表示,线性系统的传递函数模型 为阶次， 为常数， 物理可实现,6,传递函数的引入,pierre-simon laplace (1749-1827)，法国数学家 laplace变换 laplace变换的一条重要性质： 若 则,7,传递函数表示,数学方式 matlab输入语句,8,传递函数输入举例,例3-1 输入传递函数模型 matlab输入语句 在matlab环境中建立一个变量 g,9,

3、当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘积表示时，可由matlab 提供的多项式乘法运算函数conv( )来处理，以便获得分子和分母多项式向量，此函数的调用格式为 c=conv(a,b) 其中a和b分别为由两个多项式系数构成的向量，而c为a和b多项式的乘积多项式系数向量。conv( )函数的调用是允许多级嵌套的。,10,另外一种传递函数输入方法,例3-2 若给定系统的传递函数为 解 则可以将其用下列matlab语句表示 num=4*conv(1 2,1 6 6) den=conv(1 0,conv(1 1,conv(1 1, conv(1 1,1 3 2 5),11,对具有r个输入和m个输出的多

4、变量系统，可把mr的传递函数阵g(s)写成和单变量系统传递函数相类似的形式，即 式中 b0,b1,bn 均为mr 实常数矩阵，分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。 在matlab控制系统工具箱中，提供了表示单输入多输出系统的表示方法，即 num=b0 b1 bn; den=1 a1 a2 an 其中分子系数包含在矩阵num中，num行数与输出 y 的维数一致，每行对应一个输出，den是行向量, 为传递函数阵公分母多项式系数。,12,例3-3 对于单输入多输出系统 解 则可将其用下列matlab语句表示 num=0 0 3 2;1 0 2 5;den=3 5 2 1;,13,matlab的传递

5、函数对象,14,传递函数属性修改,例3-4 延迟传递函数 ，即,15,传递函数参数提取,由于使用单元数组，直接用 不行 有两种方法可以提取参数 这样定义的优点：可以直接描述多变量系统 第 i 输入对第 j 输出的传递函数,16,3.1.2 线性系统的状态方程模型,状态方程模型 状态变量 ， 阶次 n ，输入和输出 非线性函数： 一般非线性系统的状态方程描述,17,线性状态方程,时变模型 线性时不变模型 (linear time invariant, lti),18,线性时不变模型的matlab描述,matlab 输入方法 矩阵是 方阵， 为 矩阵 为 矩阵， 为 矩阵 可以直接处理多变量模型

6、给出 矩阵即可 注意维数的兼容性,19,例3-5,20,带时间延迟的状态方程,数学模型 matlab输入语句 其他延迟属性：iodelay,21,3.1.3 线性系统的零极点模型,零极点模型是因式型传递函数模型 零点 、极点 和增益 零极点模型的 matlab表示,22,例3-5 零极点模型 matlab输入方法 另一种输入方法,23,3.1.4 多变量系统传递函数矩阵模型,传递函数矩阵 为第 i 输出对第 j 输入的传递函数 可以先定义子传递函数，再由矩阵定义,24,例3-7 多变量模型,25,3.2 线性离散时间系统的数学模型,单变量系统：差分方程取代微分方程 主要内容 离散传递函数 离散

7、状态方程,26,3.2.1 离散传递函数模型,数学表示 （z变换代替laplace变换） matlab表示 （采样周期 ） 算子输入方法：,27,例3-8 离散传递函数，采样周期 matlab输入方法 另一种输入方法,28,离散延迟系统的输入,数学模型 延迟为采样周期的整数倍 matlab输入方法,29,滤波器型描述方法,滤波器型离散模型 分子、分母除以 记 ，则,30,matlab表示方法 例3-9,31,3.2.2 离散状态方程模型,数学形式 注意兼容性 matlab表示方法,32,离散延迟系统的状态方程,数学模型 matlab表示方法,33,3.3 方框图描述系统的化简,单环节模型前面已

8、经介绍了，实际系统为多个环节互连，如何解决互连问题，获得等效模型？ 主要内容 控制系统的典型连接结构 节点移动时的等效变换 复杂系统模型的简化,34,3.3.1 控制系统的典型连接结构,系统串、并联 串联传递函数 并联传递函数,35,串、并联状态方程模型,串联系统的状态方程 并联系统的状态方程,36,串、并联系统的matlab求解,若一个模型为传递函数、另一个为状态方程，如何处理？ 将二者变换成同样结构再计算 基于matlab的计算方法 串联 注意次序：多变量系统 并联 优点，无需实现转换,37,系统的反馈连接,反馈连接 正反馈 负反馈,38,状态方程的反馈等效方法,其中 若,39,反馈连接的

9、matlab求解,lti 模型 符号运算 (置于sym目录),40,例3-10,41,例3-11 控制器为对角矩阵,42,43,3.3.2 节点移动时的等效变换,考虑模型 难点：a点在回路间，移至输出端,44,节点移动,45,3.3.3 复杂系统模型的简化,例3-12 原系统可以移动 新支路模型,46,得出,47,例3-13 电机拖动模型,48,信号单独输入 得出另一个传递函数,49,最终得出传递函数矩阵,50,3.4 系统模型的相互转换,前面介绍的各种模型之间的相互等效变换 主要内容 连续模型和离散模型的相互转换 系统传递函数的获取 控制系统的状态方程实现 状态方程的最小实现 传递函数与符号

10、表达式的相互转换,51,3.4.1 连续模型和离散模型的相互转换,连续状态方程的解析解 采样周期 选择,52,根据上式可得系统离散化后的状态方程 （设t-=t） 或 式中,令=-kt，则上式可得,53,输出变量的差分方程，可由输出方程直接确定，即有,则可以得出离散状态方程模型 matlab函数直接求解,54,还可以采用tustin变换（双线性变换） 例3-14 双输入模型，,55,输入模型、变换,56,模型,57,例3-15 时间延迟系统的离散化 matlab求解 零阶保持器变换 变换结果,58,tustin变换 数学表示 其他转换方法 foh 一阶保持器 matched 单变量系统零极点不变

11、 imp 脉冲响应不变准则,59,离散模型连续化,对前面的变换求逆 tustin反变换 matlab求解 (无需 ),60,例3-16 对前面的连续状态方程模型离散化，对结果再连续化，则 可以基本上还原连续模型,61,3.4.2 系统传递函数的获取,已知状态方程 两端laplace变换 则,62,因此可以得出传递函数 难点 基于fadeev-fadeeva算法能得出更好结果 由零极点模型，直接展开分子分母 用matlab统一求解,63,例3-17 多变量模型，求传递函数矩阵,64,3.4.3 控制系统的状态方程实现,由传递函数到状态方程的转换 不同状态变量选择，结果不唯一 默认变换方式，采用m

12、atlab函数 g可以是传递函数、状态方程和零极点模型 适用于有延迟的、离散的或多变量模型,65,例3-18 连续多变量模型 状态方程获取,66,得出的状态方程模型 iodelay矩阵,67,该模型可以转换回传递函数矩阵 得出的转换结果,68,3.4.4 状态方程的最小实现,例3-19 观察传递函数模型 未见有何特殊 求取零极点模型,69,得出结果 相同位置的零极点，可以对消 问题：状态方程如何处理？ matlab解决方法,70,例3-20 多变量模型 不能直接看出是否最小实现,71,matlab求解,72,3.5 线性系统模型降阶,用低阶模型近似高阶模型 和最小实现不同 最早由edward

13、j. davison提出(1966) 主要内容 与routh算法 时间延迟模型的 近似 带有延迟的最优降阶算法 状态空间的降阶算法,73,3.5.1 降阶算法 与 routh 降阶算法,原始模型 寻求降阶模型 假设,74,展开原模型 其中时间矩量 可以递推求出 若已知状态方程模型,75,时间矩量的matlab求解 降阶思想：保留前 时间矩量,76,对比系数，则,77,这样可以得出,78,降阶求解函数,79,例3-21 原始模型 pad 近似 结果,80,例3-22 反例 零极点模型求取 稳定模型,81,pad 近似 不稳定降阶模型 pad 不能保证降阶模型的稳定性 不稳定降阶模型可能得出稳定降

14、阶模型,82,routh 降阶方法与实例,routh算法（较烦琐，从略）,83,routh算法的最大特色：稳定系统降阶后能保证降阶模型稳定性 例3-23 仍考虑稳定模型,84,3.5.2 时间延迟模型的 pad 近似,纯延迟的pad近似方法 近似函数 纯滞后逼近,85,编写 matlab 函数 其中 r/k 任意选择,86,例3-24 纯延迟模型 matlab求解 拟合结果,87,3.5.3 带有时间延迟系统的 次最优降阶算法,降阶模型的降阶效果,原模型 降阶模型 降阶误差定义,88,降阶模型的降阶效果 误差定义 ise准则,89,参数向量 误差 matlab实现（从略） 调用格式,90,例3

15、-26 对给出的传递函数进行降阶研究 可以给出下面的语句 得出的降阶模型为,91,例3-27 已知高阶模型 可以给出如下命令 得出的降阶模型,92,降阶算法综述,降阶效果比较，下章给出 时域响应比较 频域响应比较 降阶模型的应用 仿真应用（用途越来越小） 控制器设计应用,93,3.6 线性系统的模型辨识,模型辨识 由已知实测数据获得系统模型的方法 实测数据 时域响应数据、频率响应数据 主要内容 离散系统辨识方法 辨识信号生成 多变量系统辨识 离散系统在线辨识,94,3.6.1 离散系统的模型辨识,离散传递函数模型 对应的差分方程模型,95,已知实测信号 输入 输出 由数据可以得出,96,矩阵形

16、式 定义残差最小指标 最小二乘解,97,系统辨识工具箱求解 t 为结构体变量，t.a, t.b, tf(t) 当然由前面的公式也能直接求解,98,例3-31 实测数据,99,基于matlab的求解,100,数学形式 辨识模型的提取 还可以写成,101,还可以由下面语句求解 辨识结果,102,直接辨识方法 辨识结果 辨识界面：ident,103,3.6.2 离散系统辨识信号的生成,问题：什么样信号激励系统，辨识效果最好？ 有丰富频率信息的信号最好，如 prbs 伪随机二进制序列 pseudo-random binary sequence 频率丰富 值为 可重复构建 matlab直接生成,104,

17、例3-32 生成63个点的prbs信号 辨识效果 残差明显减小,105,3.6.3 多变量离散系统的辨识,离散传递函数矩阵模型 其中 例3-34,106,matlab求解,107,得出的高阶模型 应该最小实现 辨识结果,108,本章要点小结,线性连续系统可以用传递函数、状态方程和零极点形式描述，多变量系统可以由状态方程和传递函数矩阵来描述。在matlab下提供了tf( ) 函数、ss( )函数和 zpk( )函数来描述这些模型。带有时间延迟的系统模型也可以用这样的函数直接描述，需要设定 iodelay 属性。传递函数模型还可以用数学表达式形式输入。 离散系统也可以用传递函数、传递函数矩阵和状态

18、方程表示，也有对应的零极点模型，在 matlab下也可以用和连续系统相同的函数进行表示。,109,具有三种基本连接结构(串联、并联和反馈)的系统模型及其在 matlab 下的求解方法，复杂结构的控制系统方框图化简的数值解法和解析解方法，引入了基于 matlab 的方框图化简的推导方法。对含有纯时间延迟的系统，还可以采用 pad 近似的方法，获得整个系统的近似模型。 不同的系统数学模型可以进行相互转换，连续模型与离散模型直接可以通过 c2d( )和 d2c( )函数进行转换，转换成传递函数或传递函数矩阵需要用tf( ) 函数，转换成状态方程可以通 ss( ) 函数，零极点模型需要调用 zpk( ) 函数。,110,如果系统模型的阶次过高，会使得系统分析与设计变得困难，本章介绍了基于 pad 近似和基于routh 表的模型降阶算法和各种基于状态空间的模型降阶方法，并介绍了时间延迟模型的次最优降阶算法，可以用低阶模型较好地近似高