平行四边形课外训练题解答题参考答案

1、学习好资料欢迎下载 平行四边形课外训练题（3）解答题参考答案 6. （2008 河南）如图,已知：在四边形 ABFC中，.ACB=90 , BC的垂直平分线 EF交BC于 点D,交AB于点E,且CF=AE （1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形； 当.A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论 （特别提醒：表示角最好用数字） 解：（1）四边形BECF是菱形。 证明：EF垂直平分 BC, BF=FC,BE=EC/ / 1 = / 22分 / ACB=90 / 1+/ 4=90 / 3+/ 2=90 / 3=/ 4 EC=AE- 3分 BE=AE 4分 / CF=

2、AE BE=EC=CF=BF 5分 四边形BECF是菱形6分 (2) 当/ A=45。时，菱形 BESF是正方形 7分 证明：/ A=45。, / ACB=90 / 1=45。 / EBF=2/ A=90。 菱形BECF是正方形9分 7. （2008浙江义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、 D不重合），以CG为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG，连结BG, DE 我们探究下 列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： 猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； 将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向

3、旋转任意角度：，得到如图2、 如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证 解： BG 二 DE, BG _ DE BG二DE, BG _ DE仍然成立 在图（2）中证明如下 四边形 ABCD、四边形 ABCD都是正方形 BC =CD，CG=CE，/BCD ECG = 90 . BCG DCE 1分 BCG 二：DCE (SAS) 1分 BG =DE . CBG =/CDE 又 . BHC =/DHO ZCBG EBHC =90 . CDE . DHO =90 . DOH =90 BG _ DE 1分 f/、 E(B) A E H D A D F B G 图（

4、2） C BG C AB = 8，将纸片折叠，使顶点 B落在边AD的 BG =10. F在AB边上时，如图（1），求 EFG的面积； F在AD边上时，如图（2），证明四边形 BGEF为菱形，并求出折 H(A) 8. （2008年潍坊）如图，矩形纸片 ABCD中, E点上，折痕的一端 G点在边BC上， （1 ）当折痕的另一端 （2）当折痕的另一端 图（1） 痕GF的长. 解：(1)过点G作GH丄AD,则四边形ABGH为矩形，.GH=AB=8, AH = BG=10,由图形的折叠 可知 BFG EFG, EG=BG=10, / FEG= / B=90 ; EH=6, AE=4, / AEF + Z

5、 HEG=90 / / AEF+ / AFE=90 / HEG= / AFE,又/ / EHG= / A=90 EAF s EHG, EFAE11 , EF=5, Sefg= 一 EF EG = X 5X 10=25. EG GH22 (2)由图形的折叠可知四边形 ABGF也四边形HEGF,. BG = EG, AB=EH, / BGF= / EGF, T EF / BG，/ BGF= / EFG，/ EGF = / EFG, EF=EG, BG = EF, 四边形 BGEF为平行四边形，又t EF=EG, 平行四边形 BGEF为菱形； 连结 BE, BE、FG 互相垂直平分，在 Rt EFH

6、中，EF=BG=10, EH=AB=8,由勾股定理可得 FH =AF =6 , AE=16 , BE=AE2 AB2 =85 , BO=4 5 FG=2OG=2 2 BO =4 9. （ 08连云港）如图，在直角梯形纸片 ABCD中，AB / DC , A = 90：, CD .AD , 将纸片沿过点D的直线折叠，使点 A落在边CD上的点E处，折痕为DF 连接EF并展 开纸片. （1）求证：四边形 ADEF是正方形； （2）取线段AF的中点G，连接EG ,如果BG二CD，试说明四边形 GBCE是等腰梯形. （第 20题图） B （第 20题答图） 证明：(1)A =90；, AB / DC，

7、ADE =90. 由沿DF折叠后 DAF与厶DEF重合，知 AD二DE , . DEF =90：. 四边形ADEF是矩形，且邻边 AD, AE相等. -四边形ADEF是正方形. 3分 （2） CE / BG，且CE=BG ,.四边形GBCE是梯形. 4分 :四边形 ADEF 是正方形，.AD 二 FE , A=/GFE =90 . 又点G为AF的中点，.AG = FG .连接DG . 在厶AGD 与厶 FGE 中，；AD 二 FE , A 二 GFE , AG 二 FG , . AGDFGE , DGA = EGB . 6 分 ：BG =CD , BG / CD , 四边形BCDG是平行四边形

8、. DG / CD . DGAB . EGBB . 四边形GBCE是等腰梯形.8分 10.某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是 ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出人口，要求分别在 ABCD的四条 边上，请你设计两种方案： 方案（1）:如图（1）所示，两个出入口 E、F已确定，请在图（1） 上画出符合要求的四 边形花园，并简要说明画法； 方案（2）:如图（2）所示，一个出入口 M已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花 园，并简要说明画法. 解：方案(1) 画法2: (1)过 F 作 FH / AB 交 画法3: (1)在AD上取一点 画

9、法1: (1 )过 F 作 FH / AD 交 (2)在CD上任取 一点G AD于点HAD于点HH，使DH = CF (2)在DC上任取一点 G (2)过E作EG/ AD交 连接EF、FG、GH、 DC于点G HE,则四边形EFGH 连接 EF、FG、GH、 连接 EF、FG、GH、 就是所要画的四边形；HE，则四边形EFGHHE，则四边形EFGH 就是所要画的四边形 就是所要画的四边形 方案(2)画法：(1)过M点作MP / AB交AD于点P, (2) 在AB上取一点 Q,连接PQ, (3) 过 M 作 MN / PQ 交 DC 于点 N,连接 QM、PN、MN , 则四边形QMNP就是所要

10、画的四边形 k 11. (2008金华)如图1,已知双曲线 y (k 0)与直线y=kx交于A, B x 两点，点A在第一象限.试解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4,2 ),则点B的坐标为； 的横坐标为m,则点B的坐标可表示为； 若点 A (2)如图2,过原点0作另一条直线I,交双曲线 k y (k 0)于 x P,Q两点，点P在第一象限 说明四边形APBQ 一定是平行四边形； 设点A, P的横坐标分别为 m,n,四边形APBQ可能是矩形吗？ 可能是正方形吗？若可能，直接写出m,n应满足的条件；若不 可能，请说明理由 k 答案：(1) (-4,-2) (-m, km)或 (m, m (2

11、 由勾股定理OA=m2 (km)2 , OB= 一(-m)2 (-km)2 = 7m2 (km)2 , OA=OB 同理可得OP=OQ , 所以四边形APBQ 一定是平行四边形 四边形APBQ可能是矩形 ； m,n应满足的条件是 mn=k 四边形APBQ不可能是正方形 理由：点A,P不可能达到坐标轴，即/POA工900. 12. (2008黄石)如图，.ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一 个动点(不与点 B重合)，连结 AD，作BE _ AD，垂足为 E，连结CE，过点E作 EF _CE，交 BD 于 F (1) 求证：BF = FD ; (2) . A在什么范围内变化时

12、，四边形 ACFE是梯形，并说明理由; (3) . A在什么范围内变化时，线段 DE上存在点G，满足条件 1 DGDA，并说明理由. 4 1 解：（1）在 RfAEB 中，：心BC, CEAB ,8CE - CEB - CBE （3 分） ； CEF =/CBF =90：, BEF = EBF , EF 二 BF 7 BEF FED =90：, . EBD EDB =90：, FED =/EDF ?EF 二 FD .BF =FD （2）由（1） BF =FD，而 BC =CA, CF / AD，即 AE / CF 若 AC / EF，贝U AC 二 EF , . BC 二 BF .BA = B

13、D , A = 45 当0： A “厶或45： A ：. 90时，四边形 ACFE为梯形. (6 分) （3）作 GH _ BD，垂足为 H，则 GH / AB 11 ；DGDA, DH DB 44 又F为BD中点，.H为DF的中点. .GH为DF的中垂线. GDF GFD :点 G 在 EDh 上，.EFD GFD 7 EFD FDE DEF =180 , GFD FDE DEF 180 3 EDF 180 EDF 60 又.A EDF =90 , 30 A : 90 -当30 A : 90时，DE上存在点G，满足条件DG=DA （9 分） 4 13. (2008衢州)如图，四边形 ABCD

14、中，AB=AD , CB=CD，但AD = CD，我们称这样的 四边形为“半菱形”。小明说“半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”。他的说法正 确吗？请你判断并证明你的结论。 解：正确。 证明：方法一：设 AC，BD交于O, / AB=AD , BC=DC , AC=AC , ABC ADE , / BAC= / DAC AB=AD , AO 丄 BD S.abd =2bD AO , SBCD S四边形 ABCD - S ABD S BCD 1 BD CO 2 11 BD AO BD CO 22 11 BD(AO CO) BD AC 22 方法二： AB=AD , 点A在线段BD的中垂线上。

15、又 CB=CD，点C与在线段BD的中垂线上, D AC所在的直线是线段 BD的中垂线，即BD丄AC ; -S四边形ABCD BD S BCD 设AC , BD交于O, = -BD AO , 2 = -BD CO 2 BD AO BD 2 2 CO = 1BD(AO CO)AC 2 2 14. (2007山东烟台课改)如图，等腰梯形 ABCD中，AD / BC , 点E是线段AD上的一个动点(E与A, D不重合)，G, F, H分 别是BE , BC , CE的中点. 图8 (1)试探索四边形 EGFH的形状，并说明理由. (2) 当点E运动到什么位置时，四边形 (3) 若(2)中的菱形 EGF

16、H是正方形, 关系，并证明你的结论. EGFH是菱形？并加以证明. 请探索线段 EF与线段BC的 A E D BF 解：(1)四边形EGFH是平行四边形. 理由是：；G, F, H分别是BE, BC, CE的中点， GF / EH, GF 二 EH . 四边形EGFH是平行四边形. (2)当点E是AD的中点时，四边形 EGFH是菱形. 证明：t四边形ABCD是等腰梯形， 二 AB = DC,艺A 二ND . :AE=DE,2 ABEDCE. BE =CE. A ED BF :G, H分别是BE, CE的中点，.EG二EH . 又由(1 )知四边形EGFH是平行四边形， .四边形EGFH是菱形.

17、 1 (3) EF 丄 BC, EF BC . 2 证明：t四边形EGFH是正方形， .EG = EH , . BEC =90；. :*G, H分别是BE , CE的中点，.EB = EC . 1 ?F是BC的中点， EF丄BC, EF BC . 2 15.(2008北京)请阅读下列材料： 问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DF rPG 的中点，连结PG, PC .若.ABC =/BEF =60，探究PG与PC的位置关系及 的 PC 值. 小聪同学的思路是：延长 GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. F 请你参考小聪同学

18、的思路，探究并解决下列问题： PG (1) 写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系及 竺的值； PC (2) 将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形 BEFG的对角线BF恰好与菱形 ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到 的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明. (3)若图1中.ABC =/BEF =2 ( : A ABE、 BCF均为直线BC同侧的等边三角形. (1) 当ABm AC时，证明四边形 ADFE为平行四边形； (2) 当AB= AC时，顺次连结 A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图 D 形的类型和相应的条件 解：(1) / ABE、 BCF为等边三角形， AB= BE= AE, BC= CF= FB，/ ABE= / CBF= 60 / FBE= / CBA. 1分 FBE 也厶 CBA. EF= AC. 2分 又 ADC为等边三角形， CD= AD= AC. EF= AD. 3 分 同理可得AE= DF. 5分 四边形AEFD是平行四边形 6分 (2)构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段 当图形为菱形时，/ BAC丰60 (或A与F不重合、 ABC不为正三角形) 7分 当图形为线段时，/ BAC= 60 (或A与F