课本中的阿波罗尼斯圆

1、从课本中的阿波罗尼斯圆问题探讨数学文化在教学中的渗透靖江市第一高级中学 数学组 印栋e-mail: 邮编：214500克莱因在其名著西方文化中的数学中指出：数学是一种精神，一种理性的精神正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵因此，美国数学学会主席魏尔德说：“数学是一种会不断进化的文化”正是数学与文化以及数学文化的不断交融及相互促进，才使数学在人类文明的发展中起到了举

2、足轻重的作用并获得了如此多的赞誉在新课程改革中，数学文化不再是被孤立的装饰品，而是渗透在相关模块和专题中新课标苏教版必修2在第2章平面解析几何初步第2.2节圆与方程介绍了圆的标准方程和一般方程后编排了这样一道习题：习题2.2（1）10.已知点与两个定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点所形成的曲线分析：由于有了课上推导圆标准方程的过程可作为参照，大部分学生不需费太多的气力就可以解出上述的问题，解法如下解析：由题知，将距离公式代入可得，化简整理即得到该曲线的方程为：.因此，所求点所形成的曲线是以（1，0）为圆心，2为半径的圆（图略）这道题实际上源自约公元前262前190的

3、古希腊人阿波罗尼斯（apollonius of perga，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”）在其巨著圆锥曲线论给出的一个著名的几何问题：“在平面上给定两点、，设点在同一平面上且满足，当大于0且1时，p点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”同上题一样，我们用解析法完全可以证明：与、距离之比等于的动点轨迹为圆但如果每题都先用解析法求出圆的方程，再根据圆心及半径作出圆，显然很费事，特别是对一些选择题或填空题如此解法实在小题大做，能否找出阿波罗尼斯圆的简捷作法？下述定理可给出明确答案定理：、为两已知点，、分别为线段的定比为(1)的内、外分点，则以、

4、为直径的上任意点到、两点的距离之比等于常数证明：不妨以1为例设，过作的与直径垂直的弦，则，由相交弦定理及勾股定理有于是且从而，同时在到、两点距离之比等于的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，上任意点到两点的距离之比等于常数根据以上过程，关于阿波罗尼斯圆我们还有如下一些显然的性质（证明略）因，故为的一条切线；点为的切线的切点，、分别为的内、外角平分线；当1时，点在内，点在外；当00)为两定点，动点到点 的距离与到点的距离的比为定值(0)，求点的轨迹(2)(2005年高考数学江苏卷)与的半径都是1，与切线 ( 分别是切点)，使得=，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程(3)(

5、2008年高考数学江苏卷)满足条件，的的面积的最大值以上试题体现了新课标的要求：了解概念、结论等产生的背景、应用，获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程此外，对像阿波罗尼斯圆这样经典的数学文化课题的研究，还有利于学生进一步丰富自己的探索体验，进一步完善自己的知识体系，为后续的学习留下发展的空间比如，阿波罗尼斯圆上的任意一点到两个定点的距离之商为定值，什么图上任意一点到两个定点距离之和为定值呢？到两个定点距离之差为定值的动点的轨迹是什么呢？能否判断到两个定点距离之积为定值的动点轨迹是什么图像呢？教育是文化的一部分，是文化赖以延续和发展的基础，也是文化不断创新的发展的动力新课改教材在相关章节中都附有以数学文