高中数学 数学文化 从欧几里得几何到非欧几何素材

1、数学文化 从欧几里得几何到非欧几何从欧几里得几何到非欧几何欧几里得（Euclid，约公元前330275）的几何原本是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思

2、想的基础上，编著完成了他的几何原本。几何原本的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条公设，5条公理：定义（1） 点没有部分。（2） 线有长度，而没有宽度。（3） 线的界限是点（注：几何原本中没有伸展到无穷的线）。（4） 直线是同其中各点看齐的线。（5） 面只有长度和宽度。（6） 面的界限是线。（7） 平面是与其上的直线看齐的面。（8） 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。（9） 当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。（10） （22）（略）（是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义）。（23）平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延

3、长后，在这两个方向上都不会相交的直线。关于几何的基本规定的5条公设：（1） 从每个点到每个其它的点必定可以引直线。（2） 每条直线都可以无限延伸。（3） 以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。（4） 所有的直角都相等。（5） 同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。关于量的基本规定的5条公理：（1） 等于同量的量相等；（2） 等量加等量，总量相等；（3） 等量减等量，余量相等；（4） 彼此重合的量是全等的；（5） 整体大于部分。欧几里得在此基础上运用逻辑推理，导出了许许多多的命题（在几何原本中

4、包含了465个命题），从而构成了欧几里得几何学。由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图，因此这两件仪器被称为欧几里得工具，使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图，即尺规作图。这种作图增加了几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：（1） 倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍；（2） 三等分角问题：三等分一个（任意的）已知角；（3） 化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积。尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展。将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理。第五条公设与“在平面内过已知直线外一点，只有一条

5、直线与已知直线不相交（平行）”相等价。现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。自几何原本问世以来，直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正。首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义，有的不过是几何对象的直观描述（比如点，线，面等），有的含混不清。这些定义在后面的论证中根本是无用的。其次，欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在几何原本中许多命题的证明不得不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西。针对欧氏几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到19

6、世纪末，德国数学家希尔伯特（D.Hilbert，18621943）于1899年发表了几何基础，书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。首先他提出了8个基本概念，其中三个是基本对象：点、直线、面；5个是基本关系：点属于（或关联）直线，点属于（或关联）平面，一点在两点之间，两线段合同，两角合同。这些基本概念应服从5组公理：关联公理；顺序公理；合同公理；连续公理；平行公理。（参见沈纯理等，经典几何，科学出版社，2004或郑崇友等，几何学引论（第二版），高等教育出版社，2005）。另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理可否能用其它公理推导出来。虽然有很多学者（包

7、括一些很有名的数学家）曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家Saccheri（1733）开始，人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，即它不能从其它公理推导出来。罗巴切夫斯基（,.，17921856）和波尔约（J，Bolyai，18021860）分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题，即用“过给定直线外一点，存在着至少两条直线与给定的直线不相交”来代替欧几里得平行公理，并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题，但并没有导致任何的矛盾，非欧几何就这样产生了。但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将这种“

8、虚”的几何学真正地构造出来，即提供这种“虚”几何的现实模型。19世纪70年代，德国数学家克莱因（F.Klein，18491925）提出了Klein模型，庞加莱（JHPoincare，18541912）提出了上半平面Poincare模型。这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来。这样的非欧几何叫做双曲几何。另一种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼（G.F.B.Riemann,18261866）。那是他在1854年讨论无界和无限概念时得到的成果。欧几里得的第二条公设说：直线可以无限延长。但是，并不定蕴涵着直线就长短而言是无限的，只不过是说它是无端的或无界的。例如，连接球面上两点的大

9、圆的弧可被沿着该大圆无限延长，使得延长了的弧无端，但确实就长短而言它不是无限的。将欧几里得的公设（1），（2）和（5）作如下的修正：（1）两个不同的点至少确定一条直线；（2）直线是无界的；（3）平面上任何两条都相交。就可得到一种相容的几何学，称为黎曼的非欧几何（椭圆几何）。这样的几何可以在球面上实现。由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现，几何学从传统的束缚中解放出来了，从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路，并有广泛的应用，如：在爱因斯坦发现的广义相对论中，用到黎曼几何；由1947年对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间）所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述。如果实数系是相容的，则可以证明以上几种几何的公理系统都是