17考前倒数第4天

1、17 .考前倒数第4天一一2011年6月3日(星期 )82.你知道在高考中，主要考查哪些 数学思想 吗？考试大纲指出数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查.”对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查”数学思想包括：函数与方程的思想， 数形结合的思想，分类与整合的思想， 化归与转化 的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等。(1) 函数与方程的思想：考试中心对考试大纲的说明中指出：高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更 深的

2、层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。 把字母看作变量或把代数式看作函数【例1】(2006年湖北卷，理)已知二次函数y f x的图象经过坐标原点，其导数为x 6x 2.数列an的前n项和为Sn ,点(n, Sn)(n N )均在函数y f x (i)求数列an的通项公式；3-,Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn1(n)设bna*anm.对所有n20的图像上.N都成立的最小正整数【分析及解】(n)由(i)得bn(i) an 6n 5(nN ).andn 1(6n5) 6(n1)6n 5 6n故Tn11316n 516n 11116n 16n6n看作n的函数m

3、成立的2012故满足要求的最小整数m为10.n max6n 1 max用函数和方程的性质解题 .【例2】(2006年,北京卷，理)4a, x已知f(x)(3a 1)xloga x,n ,因此,m必须满足2020使得n的最大值，即 m 10,20)上的减函数，那么a的取值范围是()(A)0,1(B)0g1(C)7(D)1,17【分析及解】本题从表面上看并不困难1若f x (3a 1)x 4a为减函数，则3a 10 a -,3若f x loga x为减函数，则0 a 1,于是,a的取值范围是 0,1.3但是，这个结果是错误的，对(B)是误选为什么呢？解题时，忽略了分段函数的问题因为是分段函数，又要

4、求在(,)上是减函数，就涉及到分段函数的单调性的规律一般地 若函数f x在区间a，b和c，d上是增函数，在并区间 a，b U c，d上不一 定是增函数，但是，只要增加一个条件f c f b就可以了，同样，若函数f x在区间a，b和c，d上是减函数，在并区间 a，b U c，d上不一定是减函数，但是，只要增加一个条1件f c f b就可以了，因此，本题还就必须满足 (3a 1) 1 4a f 10,即a -，于711是 a，故选(C).73构造函数解题.例3】(2001年，全国卷的第(H )问)证明(1 m)n (1 n)m .已知i，m，n是正整 数，且1 i (1n)m成立.mn(2) 数形

5、结合的思想：考试中心对考试大纲的说明中强调：在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何 图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研 究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主。”例题略。(3) 分类与整合的思想：分类与整合的思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对分类与整合的 思想的考查，有以下几个方面。一是考查有没有分类意识，遇到应该分类的情况，是否想到要分类，什么样的问题需要分 类？二是如何分类，即要会科学地分类，分类

6、要标准统一，不重不漏; 三是分类之后如何研究；四是如何整合【例4】(2005年全国卷I，理)设等比数列a*的公比为q,前n项和Sn0 (n=1 , 2,)(D)设 bnan 2(I)求q的取值范围;-an ,，记bn的前n项和为Tn,试比较Sn和Tn的大小.2【分析及解】(I)因为an是等比数列，由Sn 0可得aiS10,q0- Sn0,首先对q分类，分为q 1和q 1讨论，当 q1 时,Snna10;当 q1 时,Sna1(1)0,1 qn即q0,(n 1,2,)1 q1 q 0,上式等价于不等式组：，(n 1,2,)1 qn 0或 1 qn 0, ,(n1,2,)1 qn 0解式得q1 ;

7、解，对n要分为奇数和偶数研究，由于n可为奇数、可为偶数，得1q1.再把上述的分类讨论结果进行整合，整合时要注意等比数列的公比q 0.综上，q的取值范围是(1,0) (0,).(n)由 bn aa 2 3an 1 得22323bn an(qq),Tn (qq)Sn.2 2231于是 TnSnSn(q21) Sn(q -)(q 2).22下面的讨论中，要结合已知条件和(I )的结果进行整合即注意Sn 0月1 q 0或q 0,于是当11q或q 2时,Tn2Sn0,即 TnSn；当1q 2 且 q 0 时，TnSn0,即Sn；21当 q ?,或q 2时，Tn Sn 0,即Sn.(4) 化归与转化的思想

8、：化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化， 进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程， 是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。Ci【例5】（2006年,江西卷 理）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB 90 , AC 6, BC CG . 2，P 是 B。上一动点，贝y cp pa的最小值是【分析及解】 连AB，沿BCi将 CBCi展开与 A,

9、BCi在同一个平面内，如图所示，连AiC，则A,C的长度就是所求的最小值. 通过计算可得AB A,38,AB40 , AG 6BC22,所以 ACiB 90,又BC,C 45，于是,A,C,C 135A1C1C = 135 .由余弦定理可求得 A,C= 2本题把立体几何问题转化为平面几何问题，把沿表面两点的距离问题转化为平面上两点间的距离问题，【例6】（2004年，全国卷川）已知球O的半径为1,代B,C三点都在球面上，且每两点间可立即得出球心 O到平面ABC的距离=棱长为1的正方体对角线的1=空.的球面距离均为，则球心0到平面2ABC的距离为（).1.326(A)-(B)(C)-(D)3333

10、【分析及解】由已知条件，分析所给出的几何体的特征，可作如下转化：球心O到平面ABC的距离正三棱锥的高正方体的对角线（2）特殊与一般的思想由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一对数学 而这种由特殊到一般，再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程，就是数学研究的特殊与一般的思想在高考中，会有意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题，例如：A. 由一般归纳法进行猜想的试题；B. 由平面到立体，由特殊到一般进行类比猜想的试题；C. 抽象函数问题；D. 定点，定值问题；E. 用特殊化方法解选择题等用一般性结论解决特殊性问题【例7】(2006年江西卷,理)对于R上可导

11、的任意函数f x ,若满足x 1 f x 0，则必有()(A) f 0 f 22f 1(B)f 0 f 2 2f1(C) f 0 f 22f 1(D)f 0 f 2 2f1【分析及解】依题意，当X1时，fx 0,函数f x在(1,+)上是增函数；当 x 1 时，f x 0, f(x) 在(,1)上是减函数，故 fX当X1时取得最小值，即有f 0 f 1 , f 2f 1，即f0 f 2 2f 1 故选 C本题首先考虑的是一般性的结果：任意函数f X当x 1时取得最小值，然后再根据题目的要求，对特殊的函数值进行比较 从特殊性结果归纳出一般性结论 【例8】(2005年，北京卷，理)已知n次多项式n

12、n 1kPi(x) aoX aiX L an ix an,如果在一种算法中，计算 Xo (k= 2, 3,4,，n) 的值需要k 1次乘法，计算F3(Xo)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算 R(Xo)的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：F0(x) ao,Fk i(x) XFk(X) ak i (k= 0, 1,2,，n 1).利用该算法，计算F3(Xo)的值共需要6次运算，计算Pn(Xo)的值共需要 次运算.【分析及解】本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范，要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数，这是对特殊与一般的思想和归纳抽象能力的考查第

13、一种算法，计算Pn(xo)的值共需要n (n 1)1 n次运算，即n_n_次运算;2第二种算法，计算Pn(Xo)的值可以采用递推的方法设计算Pn(Xo)的值的次数为bn，则 bn bn 1 2,由bn是等差数列及2可得g 2n . 用特殊化方法解决一般性问题【例9】(2006年，天津卷，理)已知数列 分别为 a1,b1,且 印 d 5 , qb N ,设 cn ( ).(A) 55(B) 70(C) 85【分析及解】 用特殊化策略设b11,则a1an , bn都是公差为1的等差数列，其首项a n N ，则数列cn的前10项和等于(D) 100aq 4.从而bn n汙是有Cnabn aq bn

14、114 n1 n3.Gc2L Cw1 2 L 103085.本题根据选择题的特点，对b1赋予特殊值，求出数列 果，选出符合题目要求的选项Cn的前10项和,从而排除错误的结从特殊性入手解决一般性结论【例10】(2000年，全国卷，理)(I)已知数列 Cn，其中Cn 2n 3n，且数列Cn 1PG为等比数列，求常数 p ;(n)设 an , bn是公比不相等的两个等比数列,Cnanbn，证明：数列不是等比数列【分析及解】（I）从特殊性入手，因为数列 cn 1 PG 为等比数列，则对特殊的n 1,2,3 ,即C2 pci,c3 PC2,C4 PC3也成等比数列，于是2C3 pC2C2 pC1 C4

15、pC3由题设，Ci 5,C213,C335,C497.235 13p13 5p 97 35p ，2整理得 p 5 p 60,解得p 2或p 3.下面研究一般情况，即p 2或p 3时，数列Cn 1 pCn是否为等比数列.当p 2时，Cn 12cn 2n 1 3n 1 22n 3n3n，则 Cn 1pCn为等比数列.当p 3时，cn 13Cn 2n1 3n1 32n 3n2n，则 Cn 1pCn为等比数列.于是，当p2或p 3时，数列Cn 1pCn为等比数列.（n）要证明数列 cn不是等比数列，只要证明一个特殊的情形，即C1,C2, C3不是等比数列就可以了 .为此，设an,d的公比分别为 p,q

16、, pq.则由Cnan bn得2 2 2 2 2 2c2a1 p b1qa1 p b q 2a1b1pq,.22222222C1C3ai b1 aebiq3 p 4 q a1bi(p q ),2 2 2由于p q,则p q 2pq ,因此，C2 C1C3 ,所以5 5不是等比数列,进而,数列Cn不是等比数列.6.有限与无限的思想：高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想 和方法的过程中同时考查有限与无限的思想。例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时， 含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限 与无限的思想，等等。”【例11】（2002年全国卷）某城市规划2001年末汽车保有量为 30万辆,预计此后每年报 废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车 保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 ？【分析及解】a2，a3，（万辆）设每年新增汽车x万辆,则an 1 0.94anx n N设2001年末汽车保有量为 a1万辆，印30.以后各年的汽车保有量为anx0.060.