求递推数列通项公式的十种策略例析

1、名师推荐精心整理学习必备求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的 策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为 了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、 不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出 通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1已知数列an满足

2、an 2an 3 -2n，a1 =2，求数列an的通项公式。 解: an .1 =2an 3 2n两边除以2n 1，得储二黑，则瞎一显=?，2口 2n 22n_T1 2口 2故数列是以ai212 =1为首，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2 2anan =（3 n-：）2n。2 23=1 (n -1)2，所以数列an的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 =2an 3 2n转化为 開-予=|，说明数aa3列即 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出才=1十(n -1)-，进而求出数列an的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2已知数列an满足an q =an

3、 2n 1，a1 =1，求数列an的通项公式。解：由 an 丫 =an 2n 1得 an 1 _ an = 2n 1贝V an - (an -an 4) (an 4 an _2)，3 2)，心2 1)，a1二2(n -1)12(n 2)1亠 亠(2 21)(2 1 1)1=2( n -1) (n -2)川川2 1 (n -1) 1c (n 1)n丄/八丄仏=2(n -1) 12所以数列an的通项公式为an二n2评注：本题解题的关键是把递推关系式an彳=an - 2n - 1转化为an彳-an =2n 1,进而求出(an -an 4) (and -an亠亠3 -a2) (a2 -a a1，即得数

4、列an的通项公式。例3已知数列an满足an 1二a. 2 3n 1, a1 =3，求数列a.的通项公式。解：由 an an - 2 3n 1得 an 1 - an =2 3 亠 1则 an =(an -ani) - (an J an/) -3 -a2) (a2 -ai) ain 1n 921=(2 31) (2 3n1) z-h(2 32 1) (2 311) 3= 2(3n3心32 31) - (n -1) 3所以an=2 =1-3n u 2 =3n n -1评注：本题解题的关键是把递推关系式 an an 2 3n - 1转化为an , -a2 3n 1 , 进而求出（a. -anj） -

5、（a.-an/（a3 -a?） （a?-印）印，即得数列a.的通项公式。求数列an的通项公式。已知数列an满足 an 3an 2 3n 1，a3，解：an 1 =3an 2 3n 1两边除以3n 1，得an 1 旦.2 . _13n 1 _3n 33n：r1故业=（也一也）.（並!3n 3nananan_2an_2an-3)( )3n 323n；=(2 丄)(？丄).(23 3n 33nJ 32(n -1)( 1(孑丄丄3n3n*因此an3n一2(n1)切 2)3+ 11-333nan 1_ a n3n 1 _3na2a1+ ( 13231题13n 1关键是把递 而求出本=23），即得数列牛的

6、通项公式,33n推关系式an d =3an 2 3n 1转化为 _ an32最后再求数列n -1_ and ) . (and _ and)+3n心3nan的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5已知数列an满足an 1 =2（n 1）5n an， a 3，求数列an的通项公式。解：因为 an 1 =2(n 1)5n an, a1 =3，所以 a. =0，则亠=2(n 1)5n,an则anan an_1求出anana n Aan _2a3a2a2a1q，即得数列an的通项公式。(全国15题)已知数列an满足a1 =1, an = a12a2 _3a3(n1)an / an _2二2(n -1 1

7、)5n J 2(n _2 1)5n2 (2 1) 52 2 (1 1) 51 3=2心n (n _1)3 2 -5(nJ) -(n 21 .3所以数列an的通项公式为n(n)an =3 -2nl 5 2 n!an评注：本题解题的关键是把递推关系an 4=2(n 1)5n an转化为 加 =2(n 1)5n,进而(n -1)anl(n _2)，则an的通项 an1, n =1n! . _ n _2 2解：因为 an =a1 - 2a2 - 3a3 亠亠(n - 1)an 4(n 亠2)所以 an 1 =a1 - 2a2 - 3a3 川川(n -1)and nan所以式式得an d -an =na

8、n则 an 1 =(n 1)an (n _2)则归=n 1(n _2)an所以an也.色：.更a2an4 anda2n! 二n(n -1) ：4 3 a2 a22由 an a1 2a2 3a3n - 1)an(n 2)，取 n=2 得 a a1 2a2，则 a a1，又知a1 =1，则a2 1,代入得评注：本题解题的关键是把递推关系式an d =(n 1)an(n _2)转化为an 1aaa进而求出 一n口n a2,从而可得当n2时an的表达式，最后再求出数列an的an -1 an -2a2通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7已知数列an满足an 2an - 3 -5n，a1 =6，求数

9、列an的通项公式。解：设 an 1 x 5n d =2(an - x 5n)将an 2an 3 5n代入式，得 2an 3 5n x 5n 2an - 2x 5n，等式两边消去 2an，得3 5n x 51 =2x 5n，两边除以5n，得3 x 5 =2x，则x= 1,代入式，得 am -5n 2(an -5n)a舟由 ai 51 =6_5=1 工0 及式，得 an -5n =0，则 n 1 _ n =2，则数列a. -5n是 an -5以d-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=1 y，故a.=2n，-5n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an d -2an - 3 5n转化

10、为 an 1 -5n 1 =2(an -5n)，从而可知数列a. -5n是等比数列，进而求出数列 a5n的 通项公式，最后再求出数列 an的通项公式。例8已知数列an满足an d =3an - 5 -2n - 4, a1 =1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 2n d - y =3(an x 2n y)将an 1 =3an 5 -2n 4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n 1 y =3(an x 2n y)整理得(52x) 2n 43x 2n - 3y o人 5 +2X =3X 戸“ X =5 八、/ 令，则，代入式，得_4+y=3y = 2an 15 -2n 12=3(an

11、5 2n 2)由 a15 212=1 12 =13=0 及式,得 an 5 2n-=0，则an1 52n1 2 =3an - 5 2n 2故数列an 5 2n 2是以a1 5 21 2 =1 *12=13为首项，以3为公比的等比数列, 因此 an52n2=133n4，则an=133n-5-2n-2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 3an 5 2n 4转化为 an 1 5 2n 1 -2 =3(an 5 2n 2),从而可知数列an 5 2n 2是等比数列，进而求出 数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。例9已知数列an满足an勺=2an 3n24n 5,印=1

12、，求数列an的通项公式。解：设 an ：x(n :1)2 ny(n2=2(an xnyn z) 将an1. =2an 3 n2 4n代入式，得2 22an 3 n 4n 5 x(n 1) y(n 1) z=2(an xn2 yn z)，则22an(3 x)n - (2x y 4)n (x y z 5)=2an 2xn2 2yn 2z等式两边消去 2an，得(3 x)n2 (2x y 4)n (x y - z 5) = 2xn2 2yn 2z，|3 x =2x.x =3则得方程组 2x y 2y ，贝U y =10，代入式，得 |x y z 5=2zz=18an 13(n - 1)2 10(n

13、1) 18 =2(an 3n2 10n 18)由 a13 1210 118 =131 =32 =0 及式，得an 3n210n18=0故数列an3n2 10n T8为以an3(n1)210(n1) 18an +3 n2 +10 n +18a13 1210 111332为首项，以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 =32 -2nJ，则 an =2n 4 -3n2 -10n -18。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 2an 3 -n2 4n 5转化为 an 13(n1)210( n 1)18=2(an 3 n210 n 18), 从而可知数 列an 3n2 70n 18是等比

14、数列，进而求出数列an 3n2 10n 18的通项公式，最后再 求出数列an的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10已知数列an满足an 丁 =2 3na5 ,印=7，求数列an的通项公式。解：因为an 2 3na5, a1 =7，所以an。an, 0。在an 2 3冷初式两边取常用 对数得 lg an d 5lg an n lg 3 lg 2设 lg a. 1 x(n 1) y =5(lg xn y)将式代入O 11 式，得 5lg an nlg 3 lg 2 x(n 1) y =5(lg an xn y)，两边消去 5lg an 并整理，得(lg 3 x)n x y lg 2 =5x

15、n 5y，贝U1g 3 +x =5xx + y +lg 2 =5yx,34Ig3 Ig2 y =16代入式，得igan 1聖(n 1)4.Ig3 . Ig216= 5(lg an：3n飞3飞2)164由 iga1空咗旳71644詈譽0及式，得 Igan,lg 3 八 lg 3 lg 2lg an 1 (n 1)则4西 .=5,iganig3 +lg3 lg2 ， n 4 164所以数列lgan等比数列Ig3 Ig3 lg 2、口 n是以Ig7164.空n朋咗4igang 3lg an -(ig 7 41n-lg 34n-ig(34朋.也n1641 116n4ig3lg3 lg3 lg2为首项，

16、以4164.ig3 . ig3 . ig_?)5nj4164 )1 1为公比的= (ig7ig264n_lg3亦-Ig24 =lg(7 34 萨 2)5n J - lg(37115n1_n5n-d5n 1.13血 24)=lg(75n4 3 3 2lg(75n4 16 5n Un 15n I3162 4。-(Ig7 lg 34 lg 3 Ig24)51316124) = lg(7 34 3165n/n5n3 162 4 )127)5nJ评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式and -2 3nan转化为 lg an 1 (n 1) 必 乂2 =5(lg an n 必 2), 从而可 知数

17、列 41644164lg 3 lg 3 lg 2lg 3lg 3 lg 2lg ann是等比数列，进而求出数列lg an -n 出 的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11已知数列an满足an 丁 =a3(n 1)2, a5，求数列an的通项公式。 解：因为an 1二a3(n 1)2n，所以3n 2n 丄 3( n 4-) 2n3n 2n 丄an =an43(n 二)n 2(n 2)(n 2 112(b2 1 -1)1 4 (b； -1) bn241624即 4b2 (bn 3)2因为 b n = .1 24a n 0，故 bn1 = .1 24

18、a n 1 01 3则 2bn 1 =bn 3，即 bn 1 bn=an 23(nN)2n 卫 32(n J)n2(n(n 1= an _33由此可猜测a(2；n1)1)2-1，(n _2)(n J)n 2(n 旦(n -) (n 卫 二an _33n -2 (n _2) (n J) n 21 2 ：(n 旦(n 2) (n 丄)=a!n(n卫3n -n! 22二 ain(n J)又a1 =5，所以数列an的通项公式为an =53n!2 2。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式an 1 二1)2 两边取常用对数得 lg an .1 =3(n1) 2n Ig an

19、，即 lg 兀 1 =3(n1) 2n，再由lgann(n J)lg an lg an Jlg a3 lg a23n -n!2 2累乘法 可推知lg anIga1 =lg5，从而lganlgan/ Iga2 lg印3n丄帘2心an =52七、利用数学归纳法求通项公式例12已知数列an满足an 1二an 一2，a-，求数列a.的通项公 (2n +1) (2n +3)9式。解:由 an 1 =an8( n +1)(2n1)2(2 n 3)2及a8，得a 2 二 a8(1+1)(2 11)2(2 13)22499 2525a3 = a28(2+1)(2 2 1)2(2 23)2248 348 !=2

20、525 49498(3+1)(2 3 1)2(2 3 3)2488 480 i 4949 8181往下用数学归纳法证明这个结论。所以等式成立。(1)当 n=1 时，a1(2 1 1)一 (2k3)2 一 2(k1) 12由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据(1)( 2)可知，等式对任何 l N*评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13已知数列an满足an1 (1 4a . 1 24an )，a1 =1，求数列an的通项公16式。, 1解：令 bn =,：124an，则 an (bn -1)24故 an 1

21、 =(b： 1 -1)，代入 an 1 = (1 4an1 24an)得2416 1 2 _1 _8(2 11)29(2)假设当n=k时等式成立，即ak2(2k1)2 -1一 (2 k 1)2，则当n =k -1时,8(k +1)(2k1)2(2k3)2(2k 1)2 -18(k 1)2 2 2(2k1)(2k1) (2k3)2 2(2k1)2 -1(2k3)28(k1)2 2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2 -(2k3)28(k 1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2 -(2k1)2-(2k+1)2(2k+3)22 2n项，进而猜出数列的(2k3)-12(k1)

22、 1 -1可化为bn 1-3)， 1所以 -3是以bi亠-一1”2为首项，以-为公比的等比数列，因此bn -3 =2an =2(4)n(2)n3 421 n（2）1。3，则 bn =（1）n，+3，即.1 24an =（1）n，3，得评注：本题解题的关键是通过将 .124an的换元为bn，使得所给递推关系式转化1 3bn 1 =丄5 3形式，从而可知数列bn为等比数列，进而求出数列 bn 的通项公2 2式，最后再求出数列an的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14已知数列an满足an彳=2何一24，印=4，求数列an的通项公式。21x 243是函数咖二厂的4an +1解:令 x =21x 一24，得 4x2 -20x 24 =0，贝 U Xj =2,4x +121an -24-2(4an 1) _13an -26 _1321an -24 - 3(4an 1) 一 9an - 27 一 921an 242两个不动点。因为丸1 一2 他 1an出 一321an 2434an 1_3a-2，所以数列-?-?是以=2为首项，以13为公比的等比数列，故a* - 3a* - 3a1 - 34 - 39an _ 2an -3评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)21x - 242ix 24的不动点，即方程an 1-2两个根x2,，进而可推出am_39 an-34x 113