16A知识讲解椭圆综合

1、椭圆综合【学习目标】1. 能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程;2. 能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题;3. 能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题【知识网络】【要点梳理】要点一、椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（PRPF22aF1F2），这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距椭圆的标准方程:1.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程:2 x 2 a1 (a b 0)，其中c2a2 b2 ；2.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程

2、:2y2aX21 (a b 0)，其中a2 b2 ；要点诠释:求椭圆的标准方程应从定形”、定式”和定值”三个方面去思考.定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上;定式”根据形”设椭圆方程的具体形式；定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程2 221( a b O)a b图形焦点Fi( GO)，F2(c,0)Fi(0, c)，F2(0,c)焦距IF1F2I 2c (c Ja2 b2)| F1F21 2c (c J a2 b2)范围|x| a ， |y| b|x| b， |y| a对称性关于x轴、y轴和原点对

3、称顶点(a,O) ， (O, b)(O, a)，( b,O)长轴长=2a，短轴长=2b离心ce -(O e 1)a要点三、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系2将直线的方程y kx b与椭圆的方程a2占1(abO）联立成方程组，消元转化为关于x或y的元二次方程，其判别式为.O直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；= O直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）;4 或 m 4 【答案】BB 4m4 且 mM0D . 0m4例3 . ABC的底边BC 16 , AC和AB两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 G的轨迹和顶点 A的轨迹.【解析】(1 )以BC所在的直线

4、为 X轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为X, y，由GC 1GB|20,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a 10 , c8，有 b 6,2故其方程为1002y36(2)设 A X,2,G X , y，则1002y36X由题意有X3代入，得A的轨迹方程为_y90032y3241 y 0，其轨迹是椭圆（除去X轴上两点）.然后根据椭圆的标准方程， 求轨迹的方程.这【总结升华】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆, 是求轨迹方程的一种重要思想方法.举一反三:【变式】已知动圆P过定点A 3,0，且在定圆B: X 3 2y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.

5、P到两定点,【答案】如图所示，设动圆 P和定圆B内切于点M .动点即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径,即PAIPBPMPB |BM| 8.点P的轨迹是以 A, B为两焦点, 2半长轴为4,半短轴长为b J42 32 J7的椭圆的方程： 16类型二：直线与椭圆的位置关系例4.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(J2, 0), (J2,0)，离心率是逅，直经y=t与椭圆C3交于不同的两点 M、N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C的方程；若圆P与x轴相切，求圆心 P的坐标.c J6【解析】一且 c V, a =, b= 1.a 32椭圆c的方程为 y212.3

6、由题意知点tP(0, t)( 1t1),t2)圆 p又圆的半径为73(1 t2)，P与x轴相切，- |t|t2)，解得t故P点坐标为(o, ).【总结升华】处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别；方程的思想是解决这类问题的通法举一反三:x2【变式】(2015沂州校级四模)设椭圆飞aN两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为(足| FiF2|=| PF2|,设直线PF2与椭圆交于2y1(a b 0)的左右焦点分别为F1、F2,点P (a,b)满bA .2x2y 1B .2x2y 1144108100752222C.xL 1D.xL 136271612【答

7、案】B【解析】因为点:P (a,b)满足| F1IF2|=| pfI,所以M，J(a c)2b2 2c,整理得2e2 e 1所以a 2c, b 馭可得椭圆方程为3x2 4y212c2,直线PF2的方程为y J3(x c),代入椭圆方程，消去y并整理，得5x28cx 0,解得x 0或8c5得 M(0,屁),N8c,迟,55所以|MN | c所以c=5,16,所以椭圆方程为21，故选:10075x2类型三：椭圆中的最值问题例5 A B是两定点，且|AB|= 2，动点(1)求点P的轨迹方程；若点P到A、B两点的距离之积为 m,当m取最大值时，求 P的坐标.【解析】(1)以直线AB为x轴，AB的垂直平

8、分线为y轴建立直角坐标系，则A(- 1,0), B(1,0)./1为mb的垂直平分线，|P M|=| PB|,|FA|+ |P B|= |PA|+ |PM|= 4,M到A的距离为4,线段MB的垂直平分线I交MA于P.2点P的轨迹是以A, B为两个焦点，长轴长为 4的椭圆，其方程为 42J 1.3/ m |PA| I PB| (|PA|2|PB|)24 ,当且仅当|PA|= | PB|时，m最大，这时P的坐标(0, J3 )或(0,73).【总结升华】到两焦点距离和积的最值问题，一般利用定义进行转化.举一反三:x22【变式1】设P是椭圆 y2 1(a 1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求

9、|PQ|的最大值a【答案】依题意可设P(0,1) ,Q(x, y)，则 |PQ| Jx2 (1 y)2/ Q在椭圆上2 2a (1 y),|PQ|2a2(1y2)y2 2y 1=(1a2)y22y=(1a2)(y11 a |y| 1,a1若a当y142时，|1 a若1a爲:，则【变式2】(20161a2)2 _A_) A 21 a亚,则卜11a2a2|PQ|去最大值譬一1a 1y 1当时，|PQ|取最大值2.2德阳模拟）已知椭圆：421（0 b 2），左右焦点分别为 F1, F2，过F1的直b线交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为【答案】由0V bv 2可知，焦点在x轴上，过

10、 F1 的直线 I 交椭圆于 A , B 两点， |BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8 |BF2|+|AF2|=8 |AB|。当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2值最大，此时 |AB|=b2,.5=8 b2,5,贝U b的值是解得by/3。故答案为73。类型四：椭圆在生活中的应用例6.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆， 已知它的近地点 A据地面439km，远地点B距地面2384km，并且F2, A,B在同一直线上，地球半径约为 6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.【解析】如图建立直角

11、坐标系，使点F2 , A,B在x轴上，F2为椭圆的右焦点2 2设椭圆的标准方程为笃上1 （a ba2b21)，则 a c |0A| |OF2 | | F2A| 6371 4396810，a c |OB| |OF2| | F2B| 637123848755，解得 a 7782.5 7783, c 972.5 b Ja2 c2 7722,2 2所以，卫星运行的轨道方程是x 2 y 2总结升华】本题实质上利用椭圆的定义求椭圆的方程举一反三:【变式】如图所示， 嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二