2017全国高考复数复习专题

1、复数一、复数的概念及运算：1、复数的概念：（ 1）虚数单位 i ；（ 2）实部： a，虚部： b；实数 (b有理数0)（ 3）复数的分类 ( zabi )无理数a, b R ；纯虚数 (a虚数 (b0)0)非纯虚数 (a0)（ 4）相等的复数：2、复数的加、减、乘、除法则：（ 1）加减法具有交换律和结合律；（ 2）乘法具有交换律、结合律、分配律；（ 3）除法：abiacbdbcadi(cdi 0) 。cdic2d2c2d23、复数的共轭与模：共轭复数 :复数的模 :复平面 : 复数 zabi 与点 Za, b是一一对应关系，另：z 与 z 关于 x 轴对称， z 表示 z 对应点与原点的距离。

2、二、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况：对方程 ax2bxc0 （其中 a, b, cR 且 a0 ），令b24ac ，当 0 时，方程有两个不相等的实数根。当 =0 时，方程有两个相等的实根；0 时，方程有两个共轭虚根： x1bibi当2, x2。22、一元二次方程的根与系数的关系：x1b若方程 ax2bx c 0 （其中 a, b, cR 且 a0 ）的两个根为x2x1、 x2 ，则a ；cx1 x2a考点 1：复数的基本运算1.复数 13i 等于3 i2. 已知复数 z 满足（ 3 3i ）z 3i ，则 z33.(1 i) 2(1+i) 24. 复数 1 i等于5.复数

3、 (11) 4 的值是i考点 2：复数的模长运算1. 已知复数3i，则 z 等于z3i )2(12.已知 0a2 ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范围是考点 3：复数的实部与虚部1. 复数 (1 i )3 的虚部为考点 4：复数与复平面内的点关系1.在复平面内，复数1i 对应的点位于i2.在复平面内，复数zsin 2 i cos2 对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.在复平面内，复数2i 对应的点位于()1iA. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.若 zx22x3x 25x6 i 对应的点在虚轴上，则实数x考点 5：共轭复数1.复数5

4、的共轭复数是2i12.若 a2bi 与 3ai 互为共轭复数，则实数a、 b 的值分别为3.把复数 z 的共轭复数记作z ，已知 (12i) z43i , 则 z 等于考点 6：复数的周期1. 已知A 2f (n)i ni n (nN ) ，则集合f (n) 的元素个数是（）B.3C.4D.无数个考点 7：复数相等1.已知 2x1( y1)ixy( xy)i ，求实数 x、 y 的值。2. 已知 x, yR ，且xy5，求 x、 y 的值。1 i1 2i1 3i3. 设 z(1 i )23(1 i ) ，若 z2az b 1 i ，求实数 a、 b。2i4. 已知 m1 ni ，其中 m， n

5、是实数， i是虚数单位，则 m ni1i考点 8：复数比较大小1. 使得不等式m2(m23m)i(m24m3)i10 成立的实数的值为 _考点 9：复数的各种特殊形式1. 已知 i 是虚数单位，复数 z m2 (1 i )m(2 3i ) 4(2i) ，当 m取什么实数时， z 是（ 1）实数；（ 2）虚数；（3）纯虚数；（ 4）零。2. 如果复数 (m2 i )(1 mi ) 是实数，则实数 m若复数 ( a2-3 a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为考点 10：复数的综合问题1. 若 z 3 4i 2，则 z 的最大值是2.下列各式不正确的是（）12A i 2 i1B.iC.

6、i iiDi1 ii3.对于两个复数13 i ，13i ，有下列四个结论： 1；1；1 ；332 ，2222其中正确的结论的为（）个4.设 f ( z)1z, z123i , z25i , 则 f ( z1z2 )5若 zC 且 | z22i | 1,则 | z22i | 的最小值是6. 设复数 a R, za i, p zz, qzz ，则 p、 q 的关系是（）A不能比较大小B pqC p qD pq7. 在复平面内，若复数z 满足 | z1| | zi |，则 z 所对应的点的集合构成的图形是8. 已知ABC 中， AB , AC 对应的复数分别为12i, 23i, 则 BC 对应的复数

7、为9. 在复平面内，复数65i , 23i 对应的点分别为A, B , 若 C 为线段 AB 的中点，则点C 对应的复数是10. 复数 z (a22a 3) ( a2a1)i (a R) 在复平面内对应点位于象限211.已知复数Z 满足 z1，求 z13i 的最值四、精选例 1：已知22 32z2 340，求 z ；izi103 4i231 i22例 2：已知 z4，求 z ；23i例 3：设 z 为虚数，z112 。为实数，且z（ 1）求 z 的值及 z 的实部的取值范围；（ 2）证明： u1z 为纯虚数；1z例 4：已知关于 t 的方程t22t a0(a R) 有两个根、t2，且满足t1t

8、2 2 3。t1（ 1）求方程的两个根以及实数a 的值；（ 2）当 a 0 时，若对于任意x R ，不等式 log a x2ak 22mk2k 对于任意的 k2, 1恒成立，求实2数 m 的取值范围。例 5：已知复数 z1 满足 (1 i ) z11 5i , z2 a 2 i ，其中 i 为虚数单位， aR ，若 z1 z2z1 ，求 a 的取值范围。6满足2z 5 z10。例 ：设虚数 z（ 1）求 z 的值；（ 2）若 zm 为实数，求实数m 的值；mz（ 3）若 12iz 在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数z 。例 7：已知方程x 2xp0有两个根 x1 和 x2 ，

9、 pR 。（ 1）若 xx3 ，求实数p；12（ 2）若 x1x23 ，求实数 p ；例 8：已知复数 z a bi (a, bR ) 是方程 x24x 50 的根，复数u 3i (u R) 满足z 2 5 ，求 u 的取值范围。例 9：关于 x 的方程 x2(2abi ) xabi0 有实根，求一个根的模是2，求实数 a, b 的值。例 10：设两复数 z1 , z2 满足 z12a x z1z2a 40z220 （其中 a0 且 a1 ， xR ），求 z1是虚数。4z2（ 1）求证：z1 是定值，求出此定值；z2（ 2）当 xN 时，求满足条件的虚数z1的实部的所有项的和。z2例 11：

10、设两个复数 z1、 z2 满足 100 z12z22kz1 z2 k R ，并且 z2是虚数，当 kN 时，求所以满足条件的虚数z2z1z1的实部之和。例 12：计算：（ 1） 2 cosi sin3 cosi sin1212665（ 2） 3 cosi sin55（ 3） 12 cosi sin6 cosi sin336622_。例 13：给定复数 z ，在 z ， z, z z, z , z, z, z , z2这八个值中，不同值的个数至多是例 14：已知下列命题（ 1） z zzR ；（ 2） zzz 为纯虚数；（3） z1z20z1 z2 ；（ 4） z1 z20z1 0或 z20；（

11、 5） z12z220z1z22220 ；（ 6） zz2zz .其中正确的命题是_；例 15：是否存在复数 z 同时满足条件： 1z106 ； z 的实部、虚部为整数。若存在，求出复数z ，若不存z在，说明理由。例 16：设 z1 是已知复数，z 为任意复数且z1, zzz1 ，则复数对应的点的轨迹是()A、以 z1 的对应点为圆心、1 为半径的圆；B、以z1 的对应点为圆心，1 为半径的圆；C、以 1z1 的对应点为圆心、1为半径的圆；22D、以1 z1 的对应点为圆心，1 为半径的圆；22例 17：满足方程zRe z1的复数 z 对应的点的轨迹是 ()。A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线

12、例 18：复平面内，满足 z(1i)z (1 i ) 2的复数 z 所对应的点的轨迹是 ( )A、椭圆B、双曲线C、一条线段D、不存在例 19：满足方程z2 15 z160 的复数 z 对应的点的轨迹是()A、四个点B、四条直线C、一个圆D、两个圆例 20：设复数z( 2xa)(2 xa)i , x、 aR ，当 x 在,内变化时，求z 的最小值 g a 。例 21：若复数 z1 和 z2 满足： z2az1i (a0) ，且 z2 z1 z1 z2 8 42 。 z1 和 z2 在复平面中对应的点为 Z1和 Z2 ，坐标原点为 O，且 OZ1OZ2 ，求OZ1 Z2 面积的最大值，并指出此时

13、a 的值。例22 ：已知复数z01mi m0 , zxyi ,abix, y, a, bR， i为虚数单位，且对于任意复数z ，有z0z,2 z。（ 1）试求m的值，并分别写出a 和b 用x、 y 表示的关系式；（ 2）将x, y作为点P的坐标，a, b作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点 P 在直线 yx1 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（ 3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。例 23：已知复数z1mni , z222i

14、和 zxyi ，其中 m, n, x, y 均为实数，且zz1iz2 。（ 1）若复数 z1 所对应的点 M ( m,n) 在曲线（ 2）将（ 1）中点 P的轨迹上每一点沿向量y 1 ( x2a ( 3 ,1) 23)21上运动，求复数z 所对应的点 P(x, y) 的轨迹方程；方向平移，得到新的轨迹C，求 C的方程。（ 3）轨迹 C上任意一点A（异于顶点）作其切线l ,l 交 y 轴于点 B。问：以 AB 为直径的圆是否恒过x 轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。例题答案：11 、7 ； 2 、 1 ；3 、（ 1 ）Re z1 ；（ 2 ） 略 ； 5 、 a1,7

15、； 6 、（ 1 ） z5 ；（ 2 ） m5 ；（ 3 ）2z10310 i或 z10 310 i ；7、（1） p5 或 p2 ；（ 2）当 0 p1时，方程无解；当p 0222224时 ， p2； 当 p1时 ， p9； 8 、 u2,6 ； 9 、 当 b0时 ， a4 或 a4； 当 b0 时 ，4453a1,a 1b3。b310、（ 1） axa40a2 xi，定值a20；（ 2）a 1时， a 1a19；0a时， a21；2221a1a111、 95； 12、略； 13、 4； 14 、（ 1）（ 4）； 15、存在、 z 13i 或 z3i ；16、 D； 17、 D；18、 C； 19、 C；20 、a 22,a2； 21 、 8， 此 时a1， 提 示 ： 由 条 件 得2a24a2, a2z18 4 2, Sa1 z1 z2a z1228 4 2a21