2022版新教材高考数学一轮复习第二章2.8函数与方程课件新人教B版

1、2.82.8函数与方程函数与方程第二章第二章 2022 内 容 索 引 必备知识必备知识 预案自诊预案自诊 关键能力关键能力 学案突破学案突破 必备知识必备知识 预案自诊预案自诊 【知识梳理知识梳理】 1.函数的零点 (1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在处的函数值等于零,即 ,则称为函数y=f(x)的零点. (2)函数零点的等价关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与有交点函数y=f(x) 有. (3)是函数f(x)零点的充分必要条件是是函数图像与x轴的公共 点. 实数 f()=0 x轴 零点 (,0) 2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地,由一元

2、二次方程解集的情况可知,对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0): (1)当=b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1,x2,且x1,x2是f(x) 的两个零点,f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1,0),(x2,0); (2)当=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素x0,且x0是f(x) 唯一的零点,f(x)的图像与x轴有一个公共点; (3)当=b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0没有实数根,此时f(x)无零点,f(x)的图 像与x轴没有公共点. 3.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图像是,并且 (

3、即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间 (a,b)中,即x0(a,b),f(x0)=0. 连续不断的 f(a)f(b)0 至少有一个零点 4.用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间a,b上的图像是连续不 断的,且f(a)f(b)0),给定近似的精确度,用二分法求零点x0的近似值x1,使得 |x1-x0|的一般步骤如下: 常用结论 1.f(a)f(b)0是y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件. 2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)0函 数f(x)在区间a,b上有且只有一个零

4、点. 【考点自诊考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).() (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点.() (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.() (4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b 上有且只有一个零点.() (5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.() 2.函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为() A.(-,1)B.(-,-1) C.(1,+)D.(-1,+) 答案 C

5、解析 由=(-2)2-4m1,故选C. 3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为() A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) 答案 C 解析 易知函数f(x)=x3+x-4在R上单调递增,因f(0)=-40,f(1)=-20,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C. 4.方程2x+3x=k的解都在1,2)内,则k的取值范围为() A.5,10)B.(5,10C.5,10 D.(5,10) 答案 A 解析 令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2) 内时,f(1)f(2)0,即(5-k)(

6、10-k)0,解得5k10.当f(1)=0时,k=5,故选A. 5.(2020天津和平区一模)已知x表示不超过实数x的最大整数,g(x)=x为取 整函数,x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)=. 答案 2 解析函数f(x)=ln x+x-4在定义域(0,+)上单调递增,且其图像是连续不断 的,f(e)=1+e-40, 函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=x0=2. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 考点考点1 1判断函数零点所在的区间判断函数零点所在的区间 【例1】 (1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方 程ex-x-2=0的一个根

7、所在的区间为(k,k+1)(kN),则k的值为() A.-1B.0C.1D.2 (2)设定义域为(0,+)内的单调函数f(x),对任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是() A.(0,1) B.(e-1,1) C.(0,e-1)D.(1,e) x-10123 ex0.3712.727.3920.09 x+212345 答案 (1)C(2)D 解析 (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)0,所以方程ex-x-2=0的一个零点 所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C. 解题心得判断函数y=f(x)在某个

8、区间上是否存在零点,常用以下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定 区间上. (2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图 像是否连续,然后看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有 零点,若没有,则不一定有零点. (3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)- 的一个零点 所在的区间是() A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) (2)如图是二次函数f(x)=x2-bx

9、+a的部分图像,则g(x)=ex+f(x)的零点所在的 大致区间是() A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案 (1)B(2)B 解析 (1)f(1)=ln 2-2ln e-1=0,即f(1)f(2)0,函数f(x)的零 点在区间(1,2)上.故选B. (2)由图像知 1,得1b2,f(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f(x)=ex+2x-b,由 g(0)=1-b0,所以g(0)g(1)0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故 选B. 考点考点2 2判断函数零点的个数判断函数零点的个数 【例2】 (1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(

10、) A.1B.2C.3D.4 (2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足 f(1+x)=f(1-x),当x-1,0时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+ 在区间-9,10上 零点的个数为() A.10B.12 C.18D.20 答案 (1)B(2)A 解题心得判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图像在区间a,b上是连续 不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶 性、周期性、对称性)才能确定函数有多

11、少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数 的图像,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数. 对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图像连续不断的函数f(x)的定义域 为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间-1,1上恰有5个零点,则f(x)在 区间0,2 020上的零点个数为() A.5 050B.4 041 C.4 040D.2 020 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x0,+),满足 f(x+2)=f(x),若当x0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间-2,4上

12、的零 点个数为. 答案 (1)B(2)7 解析 (1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得 f(0)=f(2)=f(2 020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图像关于y轴对称,由y=|f(x)|在 -1,1上恰有5个零点,则y=|f(x)|在-1,0)和(0,1上各有两个零点,因f(x)的周期为2, 所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2上也有两个零点,同理在(2,3,(2 019,2 020上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图像是由f(x)的图像关于x轴对称到x 轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间0,2

13、020上的零点个数为 1+2 0202=4 041. (2)由题意作出y=f(x)在区间-2,4上的图像,如图所示, 可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间 -2,4上的零点个数为7. 考点考点3 3函数零点的应用函数零点的应用 (多考向探究多考向探究) 考向1已知函数零点所在区间求参数 解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区 间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围; 若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图像利用数形结合法求 参数的范围. 对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f

14、(x0)=0,则实数a的取值 范围是() A.(-,-3)(1,+)B.(-,-3) C.(-3,1)D.(1,+) (2)若函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数a的取值范围是. 解析 (1)由f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1)0,即(-3a+3) (a+3)0,且a1)与一次函数 y=x的图像恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是. 解析 (1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图像如图所示, 由图像可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x0时,2x+1+22, 要使关于x

15、的方程f(x)2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0 有两个不同的根t1,t2(2,4,设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知, 解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确 定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图 像,再数形结合求解. 对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数 若函数 g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是() A.0,2)B.0,1) C.(-,2D.(-,1 (2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,xR都有 f(2-x)=f(2+x),且当x0,2时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a0,a1) 在区间(-1,9内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是. 解析 (1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程 f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x