空间解析几何与向量代数同济六版

1、第八章空间解析几何与向量代数 目录上页下页返回结束 向量代数 平面与直线 空间曲线与曲面：曲线与曲面表示法 向量 向量运算：加减法，数量积，向量积 向量 空间直角坐标系 平面 法向量 直线 方向向量 距离，夹角 目录上页下页返回结束 1向量及其线性运算 2 数量积，向量积 3平面及其方程 4空间直线及其方程 5曲面及其方程 6空间曲线及其方程 目录上页下页返回结束 第一次课 四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 1向量及其线性运算 2. 向量的大小(模) : 1. 向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量

2、 4. 单位向量: 3. 零向量: 一、向量的概念 | | |ABa? A a B ?ABa 方向任意.00| |? 1?| |a记为 o ,aor e 5. 平行向量:方向相同, 或相反. /ab (零向量与任何向量平行) 6. 相等向量:大小相等, 方向相同. 目录上页下页返回结束 二、向量的线性运算 1.向量的加减法 三角形法则: (1) 加法：平行四边形法则： (3) 加法满足交换律，结合律见 P 2 . (2) 三角形法则可推广到多个向量相加 . b a ab? (4) 减法： ()abab? ? b a ab? b a ab? (5) 三角不等式 | | | | | | | | |

3、ababab? 目录上页下页返回结束 2.向量与数的乘法： (1) 定义：向量与数的乘法记为 ?,aa?| | | |aa 0?aa时，与 同向， 0?aa时，与 反向， 00?a时， (2) 向量与数的乘法满足结合律 , 分配律. 见P 4 . (3) 0?a 则 00?a若，则； 00?.a若，则 (4) 定理1.1 ：设0?,a则1? ? ?/,.abRba 使得 目录上页下页返回结束 ? o . | a ea a (5) 与 同向的单位向量为：a 【例1 】如果四边形对角线互相平分，则它是 AB C D M1 a 2 b2 a 1 b 11 ?ABab ， 22 ?DCab 解: 如图

4、 M 为四边形ABCD对角线的交点, 则 由已知 1212 ?,aabb ?ABDC 所以 所以ABCD 为平行四边形. 目录上页下页返回结束 x y z 三、空间直角坐标系 ?坐标原点 ?坐标轴 (横轴) (纵轴) (竖轴) o ?坐标面 ?卦限(八个) 面 xoy 面 yoz 1. 空间直角坐标系(右手系) 目录上页下页返回结束 x y z o 向径 在直角坐标系下 ? ? 11 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A, B , C 点 M 特殊点的坐标 : ),(zyx? ? 11 )0 , 0 , (x P )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA )

5、, 0(zyB ),(zoxC 原点 O(0,0,0) ; r r M (称为点M的坐标) 目录上页下页返回结束 坐标轴 : 坐标面 : x y z o 目录上页下页返回结束 2. 向量的坐标表示 (1) 设点 M (x, y, z), 则 x o y z M N B C i ? j ? k ? A r ? , ,ij k分别表示坐标轴x, y, z上的单位向量 ?OMONNM ?OA OB OC ?xiyjzk ( , , )x y z 记为 目录上页下页返回结束 四、利用坐标作向量的线性运算 1. 设 为实数，则 ? (,), xyz aaa a? (,), xyz bb b b ?(,)

6、 xxyyzz abab ab ab ? (,) xyz aaaa 目录上页下页返回结束 111222 (, ), (,)A xy zB xy z2. 已知两点 则 ?ABOB OA 222111 ?(,)(, )xy zx y z 212121 ?(,)xx yy zz 3. 平行向量对应坐标成比例 : 0?,a当时 ?ba?ba ?(,)(,) xyzxyz b b ba a a ? y zx xyz bb b aaa 【例2 】P 8 例2 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 111222 (, ),(,)A xy zB xy z 【例3 】已知两点及实数-1 在直线AB上求一点

7、 M , 使?.AMMB 解: 设 M 的坐标为如图所示 A B M o M A B ( , , ),x y z ?AMOMOA ?MBOB OM ?()OMOAOB OM 由已知?.AMMB ? 1 1 ? ? ? ? (OMOAOB 121212 1 1 ? ? ? ? ( , , )(,)x y zxxyy zz 由 得定比分点公式: 当=1时，点 M 为 AB的中点 , 于是 得中点公式: 121212 1 1 ? ? ? ? ( , , )(,)x y zxxyy zz 121212 111 ? ? ? ? ? , xxyyzz xyz 121212 222 ? ?, xxyyzz

8、xyz 目录上页下页返回结束 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模: 设则由勾股定理得有 x o y z M N Q R P ? ( , , ),OMx y z 设A(x 1 , y 1 , z 1 ), B ( x2, y 2 , z 2 ), 则 212121 ?(,)ABxxyy zz 222 212121 ?|()()()ABxxyyzz 222 ?OMOPOQOR 2. 两点间的距离公式 222 ?xyz 【例】P 10 例4, 5, 6 目录上页下页返回结束 o y z x 3. 方向角与方向余弦 r ? ? ? ? (1) 夹角: ?( , )AOBa b (2) 方向角:

9、向量与三坐标轴的夹角 222 ?OMrxyz ?M ?cos | | x r ?cos | | y r ?cos | | z r 0?() ?, ?, ?称为方向角 ?( , , ) | |(cos ,cos ,cos )OMx y zr ? o (cos ,cos ,cos )OM 222 1 ?coscoscos ? , ?, ?的方向余弦 (3) 方向余弦： 目录上页下页返回结束 【例4 】P 11 例8 方法2 :设 3 ? 4 ? x y z O A ? ( , , )OAx y z 则由 3 ? ?cos | x OA 1 63 2 ? ?x 4 ? ?cos | y OA 2 6

10、3 2 2 ?y 222 6?|OAxyz3 ?z 3 3 2 3?( , )A 目录上页下页返回结束 4.向量在轴上的投影 (1) 定义 :过M 作平面? u ? u O M ?M ? 交轴于?uM 设轴上的单位向量为 ue 则 ? ? ,OMe称为OM 在上的投影, 记为u? ? rju OMPr? ( )uorr 注：投影是一个数，?OMe当与同向时为正 , 反向时为负. 目录上页下页返回结束 e (2) 向量在轴上的投影 x y z O M A B C ? ( , , )OMx y z则 ? () x xOAOM ? () y yOBOM ? ()zzOCOM (3) 投影的性质 1

11、?). ( )| |cos u aOAa 2?). ()( )( ) uuu abab 3?). ()( ) uu aa O Au a ? b B 目录上页下页返回结束 【作业】 P12 Ex8-1 4, 5, 11, 12, 14, 17, 19 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 第二次课 2数量积,向量积 一、数量积 1?). ( )|cos b aa ,a b 的数量积等于两向量的长度与它们夹 1. De2.1: 角的余弦的乘积, 记为 ?a b 即: ? ?| | | cos ,a ba b ?a b ? ( , )a b 2. 由投影性质: ( )ba ( )ab ? ?|

12、 ( )ba bba 2?). ( )|cos a bb? ?| | ( )aa bab 目录上页下页返回结束 3. 性质 2 1? ?( )| |a aa 20? ?( ) a b ? ?| | cosa ba b ?ab 两两之间的数量积4. , ,ij k i i j j k k 1 1 1 00 00 00 5. 运算规律 见P 14-15 【例5 】P 15 例1 i j k 目录上页下页返回结束 6. 数量积的坐标表示法 设 111222 ?(, ),(,)ax y zbxy z 特别： 则 111222 ? ?() ()a bxiy jzkx iy jz k 12121 2 ?

13、? ?x x i ix yijx zi k 12121 2 ? ? ?yx j iyy j jyz j k 12121 2 ? ? ?zx k iz yk jzz k k 12121 2 ?x xyyzz 222 123 ? ?a axxx 2 ?|a 目录上页下页返回结束 112233 ? ?a bx yx yx y 5. 向量夹角余弦的坐标表达式,i j ?| | |cosa b ? ? ?cos | | a b a b 12121 2 ? ? | | x xyyzz a b 【例6 】P 16 例2 目录上页下页返回结束 【例7 】试在所确定的平面内找一个与垂直的 a,a b 解：由于

14、ab ab , 故 与确定一个平面 设 单位向量 , 其中 c2 1113 1?( , ,),( , ).ab ?cab2 111 3 1?( , ,)( , ) 23? ?(,) ?ca 2 21310? ? ? ? ?()()() 620? 取=1，则=3 58 2?( , )c 故所求的单位向量 1 58 2 93 ?( , ) | | c c c 目录上页下页返回结束 二、向量积 ,a b的向量积是满足下列条件的一个向量，1. De2.2: 2. 性质: ?ab记为 ,a b1?( )a b 与都垂直； 2?( )| | | |sin( , )a ba ba b 3?( ), ,a b

15、 ab 构成右手系 1 ( ) a b 2( )aorb0?a b有一个为零向量 0?ab ab ?ab 目录上页下页返回结束 ?| | | sina ba b 两两之间的数量积 3. , ,ij k i i j j k k ? 4. 运算规律 i j k k? j ?ki j?i 1? ?( )()a bba 2 ?( )()()()ababa b 3?( )()abca ba c 0 0 0 目录上页下页返回结束 5. 向量积的坐标表示法 设 则 1 22 12 11 21221 ?()()()yzyz ix zx zjx yx y k 111222 ?(, ),(,)ax y zbxy

16、z 12121 2 ?()()()x x iix y ijx z ik 12121 2 ?()()()yxjiyy jjyzjk 12121 2 ?()()()zxkiz y kjzz kk 111222 ?() ()a bxiy jzkx iy jz k 0k ? j j i?k0 ?i 0 目录上页下页返回结束 1 22 12 11 21221 ?()()()yzyz ix zx zjx yx y k 111111 222222 ? yzxzxy ijk yzxzxy 111 222 ? ijk xyz xyz 目录上页下页返回结束 解：可取 【例8 】求与都垂直的单位向量 , 其中 ,a

17、 bc 1 012 3 1?( , ,),( , , ).ab 故所求的单位向量 1 11 1 3 ?( , ) | | c c c ?ca b 101 231 ? ijk 011110 312123 ? ?ijk 333?ijk 【例9 】P 19 例5 【作业】 P22 Ex8-2 1, 3, 6, 7, 8 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 第三次课 3平面及其方程 一、点法式平面方程 给出平面上一点P 0 (x0, y 0 , z 0 )及垂直于 1. 引例1: 平面的一个向量( , , )n A B C 的法向量),求平面的方程.(称为 0 P P? n 解：设P (x,

18、y, z)为上任意一点，则 0000 ?(,)PPxxyy zz由题意有 0 ?PPn 0 0? ?PP n 000 0?( , , ) (,)A B Cxxyy zz 000 0?()()()A xxB yyC zz 目录上页下页返回结束 已知点 (x0, y 0 , z 0 ) , ( A,B,C),则 2. 点法式平面方程 000 0?()()()A xxB yyC zz 【例】P 38 例1 【例10 】P 38 例2 点法式方程： 目录上页下页返回结束 平面一般方程: 二. 平面的一般方程 将点法式方程进行化简并合并同类项 ,得 0?Ax By Cz D 说明: D = 0 ,过原点

19、； A = 0 ,平行于x轴； B = 0 ,平行于y轴； C = 0 ,平行于z轴； 对于 0?Ax By D 法向量z轴,z轴上的所有向量. n x z ? 0 y 【例11 】P 40 例3 目录上页下页返回结束 三. 截距式平面方程 设与x, y, z 轴的截距分别为a, b, c,即:1. 引例2: P(a,0,0), Q(0, b,0), R(0,0, c), x z 0y P(a,0,0) R(0,0, c) Q(0, b,0) 解:设: 1? y zx abc 将P, Q, R 代入得 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? AaD BbD CcD ? ?, D A a 求平面

20、的方程. 截距式平面方程: 0?Ax By Cz D ? ?, D B b ? ? D C c 目录上页下页返回结束 【例11 】求过点 解： 2 1 1? ?( , ,)aP 1 (1,0,-1), P 2 (-2,1,3)且与向量 平行的平面方程. 12 2 1 31 01? ?(, , )( , ,)PP 3 1 4? ?(, , ) 1 P 2 P ? a n a 12 ?nPPa 314 211 ? ? ? ijk 511?ijk 51110110?()()()xyz 又过点P 1 (1,0,1)，所以： 51140?xy z 即： 目录上页下页返回结束 三. 两平面的夹角： (两平

21、面法向量的夹角)锐角 11111 0?: AxB y C zD 1. De2.3: ? 1 ? 1 n 2 n 1 ? 2 ? ? 1 2 ? ? 1 ? 2222 ? (,)nA B C 22222 0?: AxB y C zD 1111 ? (,)nA B C 12 12 ? ? ? ? | cos | | n n nn 121212 222222 111222 ? ? ? |AABBCC ABCABC 目录上页下页返回结束 2. 性质 1212 1? ?( )nn 12 0?n n 121212 0?AABBCC 121212 2? ?( )ornn 111 222 ? ABC ABC

22、【例】P 41 例5 【例12 】P 41 例6 目录上页下页返回结束 四. 点到平面的距离 0?:,AxBy CzD 0000 ?(,)P xy z 求P 0 到的距离P 0 N. 引例3: 1 P 0 P ? n N 任取 1 ?( , , )P x y z则由数量积的性质 0101 ? ?|()nPP nnPP 0 ?|n PN 01000 ?(,)PPxxyy zz ? ( , , )nA B C 目录上页下页返回结束 01 0 ? ? | PP n PN n 01000 ?(,),PPxxyy zz? ( , , )nA B C 000 222 ? ? ? ()()()A xxB y

23、yC zz ABC 000 222 ? ? ? ()AxBy CzAxByCz ABC 000 222 ? ? ? ()DAxByCz ABC 000 0 222 ? ? ? | AxByCzD PN ABC 内容小结 1. 平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 222 0?()ABC0?AxBy CzD 000 0?()()()A xxB yyC zz 1? xyz abc 0?()abc 目录上页下页返回结束 2. 点到平面的距离 000 0 222 ? ? ? | AxByCzD PN ABC 3. 平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 12 0?n n 111

24、1 ? (,)nA B C 11111 0?:,A xB y C zD 22222 0?:,AxB y C zD 2222 ? (,)nA B C 121212 0?AABBCC 12 0?nn 111 222 ? ABC ABC 12 12 ? ? ?cos n n nn 目录上页下页返回结束 【作业】 P42 Ex8-5 1, 2, 3, 4(单数), 5 ，7，9 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 第四次课 4空间直线及其方程 一、直线的一般方程 (两平面的交线) 1111 2222 0 0 ? ? ? ? : AxB y C zD L A xB y C zD 1 ? 2 ?

25、二、直线的对称式方程与参数方程 引例: 求过点 M 0 (x0, y 0 , z 0 ), 且与向量 在L上任取一点 M(x, y, z) 0 M s M 0000 ?(,)M Mxxyy zz ? ( , , )smn p 平行的直线方程 L 目录上页下页返回结束 1. 对称式方程: 0000 ?(,)M Mxxyy zz 0 M Ms 由 , 则对应元素成比例 即： 000 ? ? xxyyzz mnp ? ( , , )smn p (1) 当分母有一个为0 时, 分子也为0 ; 对称式方程 (2) 当分母有两个为0 时, 另一个分子任意 例如： 000 0 ? ? xxyyzz np 0

26、 ?xx 00 ? ? yyzz np 例如： 000 00 ? ? xxyyzz p 0 ?xx 0 ?yy ?zR 目录上页下页返回结束 2. 参数方程: 令 000 ? ? xxyyzz t mnp 参数方程 0 ?xmt x (1) 方向 0 ?ynty 则 0 ?zpt z 3. 说明: 称为方向向量. ? (, , )sm n p (2) m , n, p 称为直线 L 的一组方向数. L方向余弦 (3) 的方向余弦 s?cos ,cos ,cos 称为直线 目录上页下页返回结束 11 3?( , )n 直线方程 L 为 【例13 】求过点P 0 (-1,0,2)且垂直于平面: x

27、- y+3 z+1=0 的直线方程 L . 0 P ? L n解:设的法向量 由? ? ?LLn 从而可取11 3 ?( , )sn 102 113 ? ? ? . xyz 目录上页下页返回结束 【例14 】将直线 L :化为对称式方程 . 1 240?:,xyz 240 10 ? ? ? ? xyz xyz 1 n 2 n 2 ? 1 ? s 解:设 2 10?:,xyz 2 11 1?( , )n 1 2 11?( , ,)n 由1,1的交线均垂直于故可取直线L的 12 ,n n 211 111 ? ? ijk s 33? ?jk 3 0 1 1? ? ( , , ) 目录上页下页返回结束

28、 1 n 2 n 2 ? 1 ? s 不妨取0 1 1? ( , , )s 在L上任取一点,不妨取 z = 0 则 24 1 ? ? ? ? ? xy xy 1 2 ? ? ? ? ? x y L上一点 M 0 (1, 2, 0) L的对称式方程为 120 011 ? ? xyz 0 M 【例14 】将直线 L :化为对称式方程 . 240 10 ? ? ? ? xyz xyz 目录上页下页返回结束 【例15 】求过点P 0 (-1, 4, 3) 且与L 1 : 240 30 ? ? ? ? xyz xy 都垂直的直线方程 L . 24?xt 1? ? ?yt 32? ? ?zt L2: 解:

29、 1 241 130 ? ijk sL1的方向向量 310? ?ijk L2的方向向量 2 42?sijk 1 s2 s s L的方向向量 12 ?sss1246?ijk L的直线方程 143 12461 ? ? ? xyz 目录上页下页返回结束 三、两直线的夹角 1. 计算公式: 11111 ?:(,);Lsm n p 22222 ?:(,)Lsm n p 设 12 0 2 ? ?(,),L L 12 ? ( ,)s s 12 12 ? ? ? ? | cos | | ss ss 121212 222222 111222 ? ? ? |mmnnp p mnpmnp 【例16 】P 47 例4

30、 【例17 】P 47 例5 (两直线方向向量的夹角 ) 【例】P 45 例2 目录上页下页返回结束 2. 性质: 12 1?( ) LL 12 ?ss 12 0?ss 121212 0?mmnnpp 1212 2?( ) LL orLL 12 ss 111 222 ? mnp mnp 目录上页下页返回结束 四、直线与平面的夹角 ? ? ? | | | | s n sn 直线与它在平面上投影直线的夹角 n s L ? ? 0 2 ? ?() L的方向向量: 的法向量: ? (, , )sm n p ? ( ,)nA B C ?( ,)L 设 ?sin|cos( , )|n s 222222 ?

31、 ? ? Am Bn C p mnpABC 目录上页下页返回结束 11 2? ( , , )ns 取 1 41 112 ? ? ?:L y zx n 0 P L ? N 的距离. 过P 0 作L, 交L于N, 解: 【例18 】求过点P 0 (1, 1, 1) 到直线 11210 ?:()()()xyz 1 41 112 ? ? ? y zx t 令 则1124? ? ?,xtytzt 代入到中得 t = -1, N(0,0,2)002 ?,xyz P 0 到L的距离 0 3?|PN 将t = -1 代入得 【例19 】P 47 例6 目录上页下页返回结束 五、平面束方程 设 11111 0

32、?:,A xB y C zD 22222 0 ?:,A xB y C zD 且 12 2 ? 1 ? ,作 11112222 0?()AxB y C zDAxB y C zD 则称为过 L 的平面束方程， 该方程为过 L 但除 2 的所有平面方程. 【例20 】P 48 例7 1. 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小结 1111 2222 0 0 ? ? ? ? AxB y C zD A xB y C zD 000 ? ? xxyyzz mnp 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? xxmt yynt zzpt 222 0?()mnp 目录上页下页返回结束 直线 2. 线与线的关系

33、 直线 夹角公式: 111 1 111 ? ?, xxyyzz L mnp ： 1111 ,? ()sm n p 222 2 222 ? ?, xxyyzz L mnp ：2222 ,? ()sm np 12 ?LL 12 LL 12 0?s s 121212 0?mmnnpp 12 0?ss 111 222 ? mnp mnp 12 12 ? ? ? ? | cos | | ss ss 目录上页下页返回结束 平面 ? : L? L / ? 夹角公式： 3. 面与线间的关系 0? ,AxBy CzD ? ( , ,)sm n p ? ( ,)nA B C ? ?:, xxyyzz L mnp

34、直线 0?sn 0?sn ? mnp ABC 0?mA nBpC ? ? ? ? | sin | | | s n sn 0?sn 0? ?s n 目录上页下页返回结束 【作业】 P49 Ex8-6 1, 2, 3, 5 ，7, 8，11，13，15 目录上页下页返回结束 课堂练习 目录上页下页返回结束 第五次课 5曲面及其方程 一、曲面方程的定义 二、一些特殊的曲面方程 三、二次曲面 目录上页下页返回结束 一、曲面方程的定义 设动点 P( x, y, z) 组成的曲面 S 与三元方程 (2) 不在S上的任意点都不满足 (*)， F (x, y, z)=0 ( *) , 有如下关系: (1) S

35、上的任意一点P都满足方程(*); 则称(*)为S的方程 . S z y x o 目录上页下页返回结束 二、一些特殊的曲面方程 1. 球面: 与定点 M0 (x0, y 0 , z 0 ) 保持距离为R的点 22 0 ?|PMR 的轨迹称为球. 设轨迹上的点P (x, y, z), 则 0 M z x y o M 2222 200 ?()()()xxyyzzR 2. 旋转曲面 定义:一条平面曲线绕其 平面上一条定直线旋转一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴. 例如 : 目录上页下页返回结束 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 ),(zyxM 则有 则有 该点转到 o z

36、 y x C (1) yoz 面内曲线C: f (y, z) = 0 ( y0) 绕 z 轴旋转 一周后所得的曲面方程 . 1 0?( , ,)MY Z 1 0?( , ,),MY ZC 0?( ,)f Y Z ( , , ),M x y z 22 ?,zZxyY 22 0?(, )fxyz 目录上页下页返回结束 (3) xoy 面内曲线C: f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转一周后 所得的曲面方程 : 22 0?( ,)f xyz (4) xoy 面内曲线C: f (x, y) = 0 绕 y 轴旋转一周后 所得的曲面方程 : 22 0?(, )fxzy (2) yoz 面内曲线C:

37、f (y, z) = 0 绕 y 轴旋转一周后 所得的曲面方程 : 22 0?( ,)f yxz 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 3. 柱面 平行于定直线, 并沿着曲线C 移动的直线 L 形成的轨迹叫柱面 . 10?( )( , ):f x y平行于 z 轴 . C x y z o 圆柱面： 222 ?xyR 抛物柱面： 2 ?xy 20?( )( , ):f y z平行于 x 轴 . 30?( )( , ):f x z平行于 y 轴 . x y z o C l 三、二次曲面 三元二次方程 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0

38、) 222 ?AxByCzDxy Eyx Fzx 0?GxHy IzJ 目录上页下页返回结束 1. 椭球面 (1) 范围： (2) 与坐标面的交线：椭圆 z 22 22 1 0 ? ? ? ? ? ? xz ac y 22 22 1 0 ? ? ? ? ? ? , xy ab z 22 22 1 0 ? ? ? ? ? ? , yz bc x 222 222 1?( , ,) xyz a b c abc 为正数 ?|,| |, | |xaybzc 目录上页下页返回结束 2. 圆锥面,椭圆锥面 z x y o x y z 22 1?( ) zxy y = z 绕着 z 轴旋转一周而得的曲面 22

39、 2 22 2?( ) xy z ab (a, b 为正数) 在平面z = t 上的截痕为圆. 在平面z = t 上的截痕为椭圆. 直纹面 目录上页下页返回结束 (1). 单叶双曲面 222 222 1? xyz abc (a, b, c为正数) 直纹面 3. 双曲面 目录上页下页返回结束 (2). 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 : 双曲线 z x y o 1 单叶双曲面 -1 双叶双曲面 222 222 1? ? xyz abc (a, b, c为正数) 222 222 ? xyz abc 在平面y = y 1 上的截痕为 在平面x = x1上的截痕为 在平面z

40、 = z 1 (|z 1 | c) 上的截痕为 目录上页下页返回结束 4. 抛物面 (1) 椭圆抛物面 (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） z y x 特别,当a = b 时为绕 z 轴的旋转抛物面. z yx 22 22 ? xy z ab 22 22 ? xy z ab 目录上页下页返回结束 【作业】 P31Ex8-3 1, 2, 5 ，6, 8(1,3) 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 5空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 ,其一般方程为方程组 2 S L 1 S 0

41、0 ? ? ? ? ( , , ) ( , , ) F x y z G x y z 0?( , , )G x y z0?( , , )F x y z 目录上页下页返回结束 C : 表示圆柱面与平面的交线 x z y1 o C 2 22 1 1 236 ? ? ? ? ( ) xy xz 【例21 】画出下列曲线 目录上页下页返回结束 表示上半球面与圆柱面的交线 C. y x z a 222 22 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ( ) zaxy xyax 目录上页下页返回结束 o z y x o 1 2 x z y o 2 1 3 2 ? ? ? ? ( ) x y 22 4 4 0 ? ? ? ? ? ? ( ) zxy yx 目录上页下页返回结束 P37 题1(1)P37 题1(2) z x y o a a z x y o o a oa 222 222 5 ? ?