江西省五市八校2017届高三下学期第二次联考(理数)10页

1、江西省五市八校2017届高三下学期第二次联考数学（理科） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将答题卡收回.第卷（选择题60分）1、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数（ ） A.

2、B. C. D.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D.3.已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是（ ）A B. C. D.4.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是（ ） 5.在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间内的概率为（ ） A. B. C. D. 开始结束是奇数否否输出是是6.如右图所示的程序框图输出的结果是（ ）A.6B.C.5D.7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三

3、角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 8. 设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）A B C D 9.某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ）A.24 B.32 C.48 D. 8410.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于点、，交抛物线的准线于点（在、之间），若，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.411

4、.设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点（ ） A.仅有一个 B.有有限多个 C.有无限多个 D.不存在12.若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，且，则向量与向量的夹角是 14. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消

5、耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元15已知数列满足，若不等式 恒成立，则实数的取值范围是 16函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）在中，所对边长分别为，已知，且.（1）求的大小；（2）若，求的面积.18.(本小题满分12分）如图，在四面体中，平面平面，, ，.(1) 求证：；ACBDE(2)设是的中点，若直线与平面的夹角为，求四面体外接球的表面积.19. (本小题满分12分）春节来临，有农民工

6、兄弟、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.（1）求的值；（2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、能够回家过年的人数，求的分布列和期望.20. （本小题满分12分）过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .（1） 证明: 为定值;（2） 记的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试 判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数 (1)讨论函数的单凋性； (2)若存在使得

7、对任意的不等式（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围 请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数. (1) 若，求实数的取值范围;(2) 若R , 求证：.数学（理科）参考答案一、 选择题 1-5 ABADD 6-10 CBCAD 11-12 AB二、 填空题13、 14

8、、27 15、 16、三、 解答17、解：（1）， 2分 由正弦定理得4分 5分 6分 （2）由（1）及余弦定理得，得即8分又，解得9分 11分的面积12分18、解:(1)由平面平面，得平面，2分又由，得，所以4分ACBDEF故平面，所以6分（2）取的中点，连接，则,因为平面 平面8分连接,则，9分又，所以四面体的外接球的半径11分故四面体的外接球的表面积=12分（向量解法酌情给分）19、解：（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是1分联立方程3分，解得5分（2）6分7分8分9分10分的分布列为0123411分12分20、(1) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为. 因为点和在抛物线上,

9、所以,. 所以直线的方程为. 1分 因为点在直线上, 所以,即. 2分 同理, . 3分 所以是方程的两个根. 所以. 4分 又, 5分 所以为定值. 6分法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, 1分由消去得,由, 化简得. 2分所以. 3分由,得,所以. 所以直线的斜率为,直线的斜率为. 所以, 即. 4分 又, 5分 所以为定值. 6分(2) 直线的垂直平分线方程为, 7分 由于, 所以直线的垂直平分线方程为. 8分 同理直线的垂直平分线方程为. 9分 由解得, , 所以点. 10分 抛物线的焦点为 则 由于，11分 所以 所以以为直径的圆恒过点 12分另法: 以为直径的圆的方程为 11

10、分把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.所以以为直径的圆恒过点 12分21、解：（I），记 （i）当时，因为，所以，函数在上单调递增； （ii）当时，因为，所以，函数在上单调递增；（iii）当时，由，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增-（6分） （II）由（I）知当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数的最大值是，对任意的，都存在，使得不等式成立，等价于对任意的，不等式都成立， 即对任意的，不等式都成立，记，由，由得或,因为，所以，当时，且时，时，所以，所以时，恒成立；当时，因为，所以，此时单调递增，且，所以时，成立；当时，所以存在使得，因此不恒成立综上，的取值范围是 -（12分）另解（II）由（）知，当时，函数在区间上单调递增，所以时，函数的最大值是，对任意的，都存在，使得不等式成立，等价于对任意的，不等式都成立， 即对任意的，不等式都成立，记，由，且对任意的，不等式都成立的必要条件为又，由得或因为，所以， 当时，且时， 时，所以，所以时，恒成立；当时，因为，所以，此时单调递增，且，所以时，成立综上，的取值范围是 -（12分）22、(1) 由 消去得, 1分 所以直线的普通方程为. 2分 由, 3分 得. 4分 将代入上式, 得曲线的直角坐标方程为, 即.