九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 3正方形的性质与判定（第2课时）习题课件 （新版）北师大版

1、3正方形的性质与判定 第2课时 1.1.正方形的判定定理正方形的判定定理: : (1)(1)对角线对角线_的菱形是正方形的菱形是正方形. . (2)(2)对角线对角线_的矩形是正方形的矩形是正方形. . (3)(3)有一个角是有一个角是_的菱形是正方形的菱形是正方形. . 相等相等 垂直垂直 直角直角 2.2.中点四边形与原四边形的关系中点四边形与原四边形的关系: : (1)(1)任意四边形的中点四边形是任意四边形的中点四边形是_._. (2)(2)对角线相等的四边形的中点四边形是对角线相等的四边形的中点四边形是_._. (3)(3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是对角线互相垂直的四边形的

2、中点四边形是_._. (4)(4)对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是_._. 平行四边形平行四边形 菱形菱形 矩形矩形 正方形正方形 【思维诊断思维诊断】( (打打“”“”或或“”) ”) 1.1.邻边相等的矩形是正方形邻边相等的矩形是正方形.( ).( ) 2.2.一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.( ).( ) 3.3.一条对角线平分一组对角的矩形是正方形一条对角线平分一组对角的矩形是正方形.( ).( ) 4.4.顺次连接平行四边形四边中点得到的是正方形顺次连接平行四边形四边中点得到

3、的是正方形.( ).( ) 知识点一知识点一 正方形的判定与应用正方形的判定与应用 【示范题示范题1 1】(2013(2013南京中考南京中考) )如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,AB=BC,AB=BC, 对角线对角线BDBD平分平分ABC,PABC,P是是BDBD上一点上一点, ,过点过点P P作作PMAD,PNCD,PMAD,PNCD,垂垂 足分别为足分别为M,N.M,N. (1)(1)求证求证:ADB=CDB.:ADB=CDB. (2)(2)若若ADC=90ADC=90, ,求证求证: :四边形四边形MPNDMPND 是正方形是正方形. . 【解题探究解题探究】(1)

4、ADB(1)ADB和和CDBCDB分布在两个三角形中分布在两个三角形中, ,先证明什先证明什 么条件么条件, ,才能证明才能证明ADB=CDB?ADB=CDB? 提示提示: :根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明 ABDABDCBD,CBD,由全等三角形的性质即可得到由全等三角形的性质即可得到ADB=CDB.ADB=CDB. (2)(2)由由ADC=90ADC=90和已知条件可得四边形和已知条件可得四边形MPNDMPND是什么样的四边是什么样的四边 形形? ?再证明什么条件再证明什么条件, ,才能证明四边形才能证明四边形MPNDMPND是正方

5、形是正方形. . 提示提示: :由由ADC=90ADC=90和已知条件可得四边形和已知条件可得四边形MPNDMPND是矩形是矩形, ,再由再由 PM=PNPM=PN可得四边形可得四边形MPNDMPND是正方形是正方形. . 【尝试解答尝试解答】(1)(1)对角线对角线BDBD平分平分ABC,ABD=CBD,ABC,ABD=CBD, 在在ABDABD和和CBDCBD中中, , ABDABDCBD,CBD, ADB=CDB.ADB=CDB. (2)PMAD,PNCD,PMD=PND=90(2)PMAD,PNCD,PMD=PND=90, , ADC=90ADC=90,四边形四边形MPNDMPND是矩

6、形是矩形. . 又又ADB=CDB,PM=PN,ADB=CDB,PM=PN,四边形四边形MPNDMPND是正方形是正方形. . ABCB, ABDCBD BDBD, ， 【想一想想一想】 从对角线角度怎样判定正方形从对角线角度怎样判定正方形? ? 提示提示: :(1)(1)对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. . (2)(2)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. . (3)(3)对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形. . (4)(4)对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方

7、形. . 【微点拨微点拨】 1.1.如果已知四边形是矩形如果已知四边形是矩形, ,再证明其是菱形再证明其是菱形, ,即可判定其是正方即可判定其是正方 形形. . 2.2.如果已知四边形是菱形如果已知四边形是菱形, ,再证明其是矩形再证明其是矩形, ,即可判定其是正方即可判定其是正方 形形. . 3.3.如果已知一个一般四边形如果已知一个一般四边形, ,只要再证明其既是菱形又是矩形只要再证明其既是菱形又是矩形, , 即可判定其是正方形即可判定其是正方形. . 【方法一点通方法一点通】 判定正方形的一般思路判定正方形的一般思路 知识点二知识点二 中点四边形中点四边形 【示范题示范题2 2】如图如图

8、, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,对角线对角线AC,BDAC,BD交于交于 点点O,O,且且AC=BD,ACBD,E,F,G,HAC=BD,ACBD,E,F,G,H分别是分别是AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点的中点. . 求证求证: :四边形四边形EFGHEFGH是正方形是正方形. . 【思路点拨思路点拨】先由三角形的中位线定理求出四边相等先由三角形的中位线定理求出四边相等, ,然后由然后由 ACBDACBD判定四边形判定四边形EFGHEFGH是正方形是正方形. . 【自主解答自主解答】在在ABCABC中中,E,F,E,F分别是分别是AB,BCA

9、B,BC的中点的中点, , 故可得故可得:EF= AC,:EF= AC,同理同理FG= BD,GH= AC,HE= BD,FG= BD,GH= AC,HE= BD, AC=BD,EF=FG=GH=HE,AC=BD,EF=FG=GH=HE,四边形四边形EFGHEFGH是菱形是菱形. . 在在ABDABD中中,E,H,E,H分别是分别是AB,ADAB,AD的中点的中点, ,则则EHBD,EHBD,同理同理GHAC,GHAC, 又又ACBD,BOC=90ACBD,BOC=90,EHG=BOC=90,EHG=BOC=90, , 四边形四边形EFGHEFGH是正方形是正方形. . 1 2 1 2 1 2

10、 1 2 【想一想想一想】 在本题中在本题中, ,如果没有如果没有AC=BDAC=BD这一条件这一条件, ,那么四边形那么四边形EFGHEFGH是什么形是什么形 状的四边形状的四边形? ?请说明理由请说明理由. . 提示提示: :四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形, , E,F,G,HE,F,G,H分别是分别是AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点的中点, , 四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . ACBD,BOC=90ACBD,BOC=90, , EHG=BOC=90EHG=BOC=90, , 四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形. . 【备选例题

11、备选例题】在四边形在四边形ABCDABCD中中,E,F,G,H,E,F,G,H分别是分别是AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的的 中点中点, ,顺次连接顺次连接EF,FG,GH,HE.EF,FG,GH,HE. 试添加一个条件试添加一个条件, ,使四边形使四边形EFGHEFGH是菱形是菱形. . 【解析解析】添加条件为添加条件为AC=BD.AC=BD. 证明证明: :连接连接AC,BD,AC,BD,由由E,F,G,HE,F,G,H分别是所在边的中点分别是所在边的中点, ,知知EFAC,EFAC,且且 EF= AC,GHAC,EF= AC,GHAC,且且GH= AC,GHEF,GH= AC,GHEF,且且GH=EF,GH=EF,四边形四边形EFGHEFGH是是 平行四边形平行四边形. . 同理同理EH= BD,EH= BD,又又AC=BD,EF