线性代数习题解答-第三版-郑宝东习题7

1、习题七i 验证2阶实上三角阵的全体a22 Jai1 , ai2 , a22 * R|iik o是实数域R上的一个线性空间,并写出它的一个基ai10ai2故S为一线性空间，其一基底为S, Ba22 J an bn0bi0%1ai2他1kd2 “0a22丿 0ka22 j10、广01、广00、00/00,) =0, C o, J = 0，从而有Co二) G0, -) 7 -八匸s又(0,k)=k(0,)=0, kS.所以，S为 Rn 的一个子空间.23.已知i,x,x2是实线性空间2 _Rx】2 二 p(x) =a2XaiX a0|a2,ai,a R的基，试求p(x) =(x-2)(x -3)在该

2、基下的坐标.解：p(x) = (x-2)( x-3) = 6-5x x2，故 p(x)在基 i,x, x2下的坐标为(6, -5,i).4 .设U为线性空间V的子空间，并且 U与V的维数相等，证明 U =V .证：设U的维数为r，则U有一极大数线无关向量组 r2,HI,r.U V，故 1,2川1,：是V中线性无关向量组，而 V的维数也是r,故 m,HI,r为V中的一 极大线性无关向量组，即为 V之一基底，故任意 V，可表为SJdlllLr的线性组 合这样有V U, U二V 5 在Px2中，设有两组基1,x,x2 :1,1 x,(1 x)2(1)求到的过渡矩阵;q -1(2)求由经过渡阵 P =

3、 011、1、02,1 +x=1 +1x+0x2= (1,X, x2)10421得到的新基1解:2 2(1) 1 = 1 Ox Ox = (1,x, x )2 02 2 2(1+x) =1 +2x+1x =(1,x,x ) 211r2 2(1,(1+x),(1 +x) )=(1,x,x )01210b3 1 1 到的过渡阵为012.I。0 b2(2)令(：1, ：2, ： 3)=(1,X,X ) Pq-12 = (1,x,x2)01-12 = T X, 3 =2 - x x为所求的新基6 判别下面定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是?(1)在线性空间Vn中，A()*0,Vn,其中0是V中一固定

4、向量;/2xrH3x2 (2)在R3中AX2=X2 +x3x30= 0时,A (0)=】0 = 0 ,故A 不是线性变换(2)是线性变换X，丫 R3,k R ,广23因为令A= 01I。0031,则 A X = AX，弋 XR，这样,bA (X Y) = A( X Y ) = AX AY 二 A X A Y ,A (kX ) = A(kX ) = k AX =k A X ,故A为R3上线性变换.(3)是线性变换，因为由导数性质知，-pjx), P2(x)R xbK R ,Pi(x) Rxb ,(Pi(x) P2(x) =Pi(x) P2(x),(kpi(x)f-k Pi(x).7 说明xOy平

5、面上变换的几何意义，其中zi0、=A=1y丿0 0丿(2) Ax轴上.n(n i)2(i)A =3i;(2)A =Jiox、r-x解：(i)AA1令丿0人y丿y几何意义是将xOy平面上的点映成关于 y轴对称的点z0 iJ 几何意义为将xOy平面上的点投影到(3) A(0i入_i 0 丿几何意义为将xOy平面上的点映成关于直线(4) A几何意义为将xOy平面上的点顺时针旋转 90.& n阶实对称阵全体 V对于矩阵通常的线性运算构成实数域R上的一个线性空间，给定一个 n阶实可逆阵P，则变换A (B) = PBP , B V称为合同变换，试证 V中的合同变换为线性变换证：任意 Bi,民 V,k R，

6、有(PBiP)PBiP = PB,P，这样有 P BiP V ,又A (Bi B2) = P (Bi - B2)PP Bi P P B2 P二A (Bi) A (B2),A (kBJ = P (kBi)P二 kPBiP二 kA (Bi).综上可知，V中合同变换为线性变换.9 设A为R3中的线性变换，它使zi)i)5A00AJi=2AJi=i6I 3 4(i)求A 在自然基下的矩阵表示;r-p3(3、(2)求A在基 0,口2 =i,a3 -i下的矩阵表示 2丿J丿 0丿解：(i)设；i, 2 ；3为自然基,Zi zr令a；=0，口 2 =i,% =i0j则2 ；32；2,打；2；3由已知A(%)

7、 =0=名i+3%，0、A (%) = 2 =2% +%，Q丿 SA(g)= i = -2 + S +4%，、4由A为线性变换知A （ ;1）2A （ ；3）- 1 ；1 3 ；3A（；1）A （；2）= 2 ；2；3A（M）A （;2） A （ ；3） =-2 “ r 4 ；3A.A可解得广3-3-2、”3-3 -2、故（A（i）,A（82）,A3） =（&| S 员）20 -1,A =20 -11一34 3-3=4 3r 3、（2） =0= +263，口 2=1=名2 *总3，口 3 =-1=3 却一s 22, 3的过渡阵为，故；1, 2 ,3；（= 3 v 2 ；2 -3 ；3（；2）=

8、 3 ”0 ；24 ；3（；3）= -2 ；i 23 ；3-1_10在自然基；仆；2, ；3下矩阵表示为-30-237671737丄717广3-3-2、r-103、20-101-1C343210这样A在基12, ：3下矩阵表示为B 二 PAP7=2-72求A在基勺=1, 2 = 4；2, 3 = V；2；3下的矩阵解：基引，S, S到基nl?12?3的过渡矩阵为111、P =011001丿故A在基口 12,口3下矩阵表示为1-10 026、11=01-1-103011001丿-1230136=-2-1002311.求R中下列线性变换的逆变换力=2为 2x2 X3,y1=2为X2 f,(1)y2 =3xX2 5x3,I丄丄y3 =3为 2x2 3x3；y2 =2为 X2 2x3,yx -x2X322ry2=315X2J3323解（1）(221、15)r-7-49故为所求的逆变换为x315Y263-7Y20323gIkA 5 =0|IUMI川111 (*)12设 A试证向量组a,A aJ|,A f (k 1)线性无关其中Ii,l2l(,lk为一组常数因为A 是线性空间Vn中的线性变换，A 作用(*)式两端k -1次后得liA k =0,2 1-1、(2)Y2=2 12X2J -110而A k -0，故有h