第7章第2节空间几何体的表面积与体积

1、20102014年高考真题备选题库第7章 立体几何第2节 空间几何体的表面积与体积1(2014广东，5分)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4 ，满足l1l2，l2l3，l3l4 则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与 l4既不垂直也不平行 Dl1与l4 的位置关系不确定解析：选D由l1l2，l2l3，l3l4可知l1与l4可能垂直，可能平行，也可能既不垂直又不平行故选D.2(2014浙江，5分)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n则mD若mn，n，则m解析：选C选项A，B，D中m均可能与平面平行、垂直、斜交或在

2、平面内，故选C.3(2014浙江，5分)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是()A. B.C. D.解：选D由题意，在RtABC中，sinACB，则cosACB.作PHBC，垂足为H，连接AH，如图所示设PHx，则CHx，在ACH中，由余弦定理得AH，tanPAH，故当时，tan 取得最大值，最大值为.4.(2014辽宁，5分)已知m，n表示两条不同直线，表

3、示平面，下列说法正确的是( )A若m，n则mnB若m ，n ，则mnC若 m， mn，则nD若 m，mn ，则n解析：选B选项A中，平行于同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故选项A是错误的；选项B中，由线面垂直的性质可知：直线垂直于平面，则直线垂直于平面内的任意一条直线，故选项B正确；选项C中，n可能在平面内，故选项C错误；选项D中，两直线垂直，其中一条直线与一个平面平行，则另一条直线和这个平面可以平行、相交、也可以在平面内，故选项D错误所以选B. 5（2013辽宁，5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()

4、A. B2C. D3解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .答案：C6（2013天津，5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为， 则正方体的棱长为_解析：本题主要考查球的体积、正方体与其外接球的关系，意在考查考生的空间想象能力设正方体的棱长为x，其外接球的半径为R，则由球的体积为，得R3，解得R.由2Rx，得x.答案：7（2013新课标全国，5分）已知H是球O的直径AB上一点，AHHB

5、12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_解析：本题主要考查球及其组合体的基本知识如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AHHB12，所以OHR.由勾股定理，有R2r2OH2，又由题意得r2，则r1，故R212，即R2.由球的表面积公式，得S4R2.答案：8（2013江苏，5分）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.解析：本题考查多面体的体积，意在考查学生的化归能力及运算能力设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则

6、V1ShShV2，即V1V2124.答案：1249（2013新课标全国,12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积解：本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所

7、以OCOA1.又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.10(2013安徽,12分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，已知PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积解：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以A

8、CBD，BODO.由PBPD知，POBD.再由POACO知，BD面APC，又PC平面PAC，因此BDPC.(2)因为E是PA的中点，所以VPBCEVCPEBVCPABVBAPC.由PBPDABAD2知，ABDPBD.因为BAD60，所以POAO，AC2，BO1.又PA，PO2AO2PA2，即POAC，故SAPCPOAC3.由(1)知，BO平面APC，因此VPBCEVBAPCBOSAPC.11(2013福建,12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60. (1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸

9、，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积解：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想法一：(1)在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD，从而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4.正视图如图所示：(2)证明：取PB中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是PA中点，MNAB

10、，MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，所以VDPBC8.法二：(1)同法一(2)证明：取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.DEMEE，平面DME平面PBC.DM平面DME，DM平面PBC.(3)同法一12(2013湖北,13分)如图，某地质队自

11、水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2，C1C2d3，且d1d2d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估S中h来估算已知V(d1d2d3)S，试

12、判断V估与V的大小关系，并加以证明解：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力(1)证明：依题意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且d1d2d3.因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFNME，可得AA2ME，即A1A2DE.同理可证A1A2FG，所以DEFG.又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点

13、，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线因此DE(A1A2B1B2)(d1d2)，FG(A1A2C1C2)(d1d3)，而d1d2d3，故DEFG，所以中截面DEFG是梯形(2)V估V.证明如下：由A1A2平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2MN.而EMA1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线，可得MNBCa，即为梯形DEFG的高，因此S中S梯形DEFG(2d1d2d3)，即V估S中h(2d1d2d3)又Sah，所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1d20，d3d1

14、0，故V估V.13(2012新课标全国，5分)平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A.B4C4 D6解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R，所以球的体积VR34.答案：B14.（2012山东，4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_解析：三棱锥ADED1的体积等于三棱锥EDD1A的体积，即VADED1VEDD1A111.答案：15（2012辽宁，5分）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则OAB的面积为_解析：把球O的内接四

15、棱锥还原为长方体，则球O的直径为长方体的体对角线，则(2R)2(2)2(2)2(2)2，可得R212.OAB中，设AB边上的高为h，则h2R2()29，则h3，所以SOAB233.答案：316.（2012新课标全国，12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解：(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V