专题二----四点共圆的应用

1、.专题二 -四点共圆的应用【知识点】1、如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”；2、性质：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的一个外角等于它的内对角；3、判定：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径；共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆；对于凸四边形ABCD ，若对角互补，则A 、 B、 C、 D 四点共圆；相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，其对角线AC 、 BD 交于 P，若 PAPC=PB PD ，则 A 、 B、 C、 D 四点共圆；割线定理的

2、逆定理：对于凸四边形ABCD ，两边 AB 、DC 的延长线相交于点P，若 PBPA=PC PD ，则 A 、B、C、D 四点共圆；4、四点共圆的妙用：巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长、最值等问题。【例 1 】如图，点C 为线段 AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），分别以 AC、 BC 为一腰在AB 的同侧作等腰ACD 和BCE，CA=CD ，CB=CE ，且ACD= BCE，连接 AE 交 CD 于 M ，连接 BD 交 CE 于点 N ，DAE 与 BD 交于点 P，连接 CP。D.PACB.求证： APC= BPC【变式 1 】如图，在正方形ABC

3、D 中， E 为 CD 上一动点，连接AE 交对角线 BD 于点 F，过点 F 作 FGAE 交BC 于点 G，求证： AFG 为等腰直角三角形。ADFEBGC【例 2 】如图，在正方形ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点， AEP=90 ，且EP 交正方形外角的平分线CDAD于P点 P， 交边 CD 于点 F；求证： AE=EPBEC.【变式 2 】如图，在Rt ABC 和在 Rt DBC 中，BAC= BDC=90 ，点O 、 M 分别为 BC、 AD 的中点，求证： OM ADMDABOC【例 3 】如图， ABC 和EFG 均为边长为2 的等边三角形，点D 是边 BC 、 EF 的

4、中点，直线AG 、 FC 相交于点 M ，当EFG 绕点 D 旋转时，线段EM 长的最大值是；AEA D MGBDCOFEFBC【变式 3 】如图，在 ABC 中，ABC=90 ，AB=6 ， BC=8 ， O 为 AC 的中点，.过 O 作 OE OF， OE、 OF 分别交射线AB 、 BC 于 E、 F，则 EF 的最小值为【例 4 】如图，正方形ABCD 的边长为6 ，点 O 是对角线AC、BD 的交点， 点 E 在 CD 上，且 DE=2CE ，过点 C 作 CF BE，垂足为点F,连接 OF ，则 OF 的长为【变式 4 】如图，正方形ABCD 的中心为O 点，面积为25 ；点 P

5、 为正方形内一点，且OPB=45 ，PA： PB=3:4 ，则 PB=DCPOABAOEBFC【检测练习】1 、如图，正方形 OABC 的边长为2，以 O 为圆心， EF 为直径的半圆经过点A ，连接 AE，CF 相交于点 P，将正方形OABC从 OA与 OF 重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90 ，交点 P 运动的路径长是2 、如图，在ABC 中，ACB=65 ，BD AC 于点 D ，CEAB 于点 E，则AED=，CED=。3 、如图， C 为半圆 O 上一点， AB 为直径，且AB=2a ，COA=60 ，延长 CP 交半圆于点D ，过 P 点B.ACOF.作 AP 的垂线交AD 的延长线于点H ，则 PH 的长度为ACHDEDAOBPBC5、如图，以Rt ABC 的斜边BC 为一边在 ABC 的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为点O，连接AO ，如果 AB=4 ， AO= 62 ，则 AC 的长为6、已知ABC 为等腰直角三角形，C 为直角，延长CA 到 D ，以 AD 为直径作圆，连接BD 与 O 交于点 E，连接 CE， CE 的延长线交 O 于另一点 F，则 BD ： CF=CPDEBFCDABDEOACABO7 、如图，若PA=PB ，APB=2 ACB ， AC 与 PB 交于点 D ，且