数字Butterworth滤波器的课程设计

1、课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 指导教师： 工作单位： 课程设计名称：信号分析与处理课程设计课程设计题目：数字Butterworth滤波器的设计初始条件：1. Matlab7.1以上版本软件；2. 专业基础实践辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“Matlab及在电子信息课程中的应用”、“线性代数”及“信号处理类”相关书籍等；3. 先修课程：高等数学、线性代数、电路、Matlab应用实践及信号处理类基础课程等。要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1. 实践内容：根据指导老师给定的7套题目，按规定选择其中1套独立完成；2. 本专业基础实

2、践统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，完成针对具体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表等），并对实验结果进行分析和总结。具体设计要求包括： 初步了解Matlab、熟悉Matlab界面、进行简单操作等； Matlab的数值计算：创建矩阵、矩阵运算、多项式运算、线性方程组、数值统计等； 基本绘图函数：了解plot, plot3, mesh, surf等，要求掌握以上绘图函数的用法、简单图形标注、简单颜色设定等； 使用文本编辑器编辑m文件，会函数调用等； 能完成简单电

3、路的Matlab编程分析； 按要求参加专业基础实践的实验演示和答辩等。3. 课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括： 目录； 与设计题目相关的理论分析、归纳和总结； 与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析； 程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结； 课程设计的心得体会（至少500字）； 参考文献（不少于5篇）； 其它必要内容等。时间安排：1周指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录1. MATLAB相关知识12. 设计22.1题目一22.1.1数字滤波器的工作原理22.1.2 数字滤波器

4、的设计方法概述22.1.3 程序代码22.1.4 运行结果32.1.5巴特沃斯低通滤波器的低通特性分析42.2 题二52.2.1冲激响应不变法原理52.2.2 双线性变换法原理72.2.3 程序理论分析82.2.4 程序代码82.2.5 运行结果92.2.6冲激响应不变法的频率混叠失真和优缺点分析112.2.7双线性变换法存在的非线性频率失真和优缺点分析122.3 题三122.3.1设计原理分析122.3.2 程序理论分析132.3.3 程序代码132.3.4 运行结果133.设计分析144. 心得体会145.参考文献15本科生课程设计成绩评定表161. MATLAB相关知识MATLAB的应用

5、范围非常广可以用来进行以下各种工作： （1） 数值分析； （2） 数值和符号计算； （3）工程与科学绘图； （4）控制系统的设计与仿真； （5）数字图像处理技术； （6）数字信号处理技术； （7）通讯系统设计与仿真； （8）财务与金融工程。 MATLAB包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包。工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算，可视化建模仿真，文字处理及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包，控制工具包，信号处理工具包，通信工具包等都属于此类。 本次课设要用到的是matlab的信号处理工具箱，它提供了IIR滤波器设计的完全工具函数

6、，用户只要调用这些工具函数即可一次性完成设计，而不需像上面分步实现。MATLAB提供的函数有：Butter、cheby1、cheby2、ellip等。这些函数即可用于模拟滤波器也适用于数字滤波器。在使用这些函数设计数字滤波器时，数字频率采用标准化频率（归一化频率）。matlab的信号处理工具箱，它提供了有关巴特沃斯滤波器的函数buttap、buttord、buttter。利用z,p,k=buttap(n);可设计出n阶巴特沃斯低通滤波器原型。burrord函数可在给定滤波器性能的情况下，选择巴特沃斯滤波器的阶数n和截止频率c，从而可利用butter函数设计巴特沃斯滤波器的传递函数。利用n,c=

7、buttord(p,s, Rp,Rs,s);可得到满足性能的模拟巴特沃斯滤波器的最小阶数n及截止频率c，p其中为通带的截止频率,s为阻带的截止频率，p和 s的单位均为rad/s;Rs为通带区的最大衰减系数，Rp为阻带区的最小衰减系数，Rs和Rp的单位都为dB。利用b ,a=butter(n ,c ,ftype)；可设计截止频率为的n阶低通模拟巴特沃斯滤波器。其中，n为滤波器阶数，c为滤波器截止频率ftype为滤波器类型；high为高通滤波器，截止频率c ; stop为带阻滤波器，截止频率c=1 ,2,；缺省时为低通或带通滤波器；b,a分别为滤波器传递函数分子和分母的系数向量。2. 设计2.1题

8、目一1：低通巴特沃斯模拟滤波器设计。设计一个低通巴特沃斯模拟滤波器：指标如下：通带截止频率：=3400HZ, 通带最大衰减：=3dB 阻带截至频率：=4000HZ，阻带最小衰减：=40dB 2.1.1数字滤波器的工作原理 数字滤波器是具有一定传输特性的数字信号处理装置。它的输入和输出均为离散的数字信号，借助数字器件或一定的数值计算方法，对输入信号进行处理，改变输入信号的波形或频谱，达到保留信号中有用成分去除无用成分的目的。如果加上A/D、D/A转换，则可以用于处理模拟信号。2.1.2 数字滤波器的设计方法概述1） 根据实际需要确定滤波器的技术指标。2） 用一个因果稳定的离散非线性移变系统的系统

9、函数去逼近这些指标。3） 利用有限精度算法来实现这个系统函数。4） 实际的数字滤波器实现技术，包括采用通用的计算机软件或专用的数字滤波器硬件来实现，或采用通用的数字信号处理器来实现。2.1.3 程序代码 图2.1.1 题一程序2.1.4 运行结果图2.1. 题一程序2.1.5巴特沃斯低通滤波器的低通特性分析 巴特沃斯低通滤波器的特点是具有通带内最大平坦的幅度特性，而且随着频率的升高而单调地下降。它的平方幅度响应为 （2.1.1）其中，n为整数，称为滤波器的阶数，n值越大通带和阻带的近似性越好，过渡带也越陡 。为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些特殊的性质 ： 1）对所有的 n ，都有当时

10、（2.1.2）2）对所有的 n ，都有当时 ， （2.1.3）即在处有3dB的衰减；3） 是的单调递减函数 ，即不会出现幅度响应的起伏； 4） 当 时，巴特沃斯滤波器趋向于理想的低通滤波器 ； 5） 在处平方幅度响应的各级导数均存在且等于0， 因此在该点上取得最大值， 且具有最大平坦特性。2.2 题二2.模拟低通转换为数字低通滤波器已知一模拟滤波器的系数函数为 分别用冲激响应不变法和双线性变换法将转换成数字滤波器系统函数，并图示和 的幅度相应曲线。分别取采样频率1000Hz和500Hz，分析冲激响应法中存在的频率混叠失真和双线性变换法存在的非线性频率失真等。2.2.1冲激响应不变法原理 冲激响

11、应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列模仿模拟滤波器的单位冲激响应，将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使正好等于的抽样值，即满足： （2.2.1） 式中：T为抽样周期。 由于冲激响应不变法要求用模拟系统函数求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应，然后抽样得式，再取z变换得到。冲激响应不变法最适合于可以用部分分式表示的模拟系统函数。（1）若设模拟滤波器的系统函数只有一阶极点，并且分母的阶次N大于分母的阶次M（一般都满足这个要求，因为只有这样才相当于一个稳定的模拟系统）。因此可将展成部分分式 （2.2.2）式中为极点，为待定系数。对求拉普拉斯反变换得 （2.2.3）式中是连续时间的单位阶跃函

12、数。2）使用冲激响应不变法求数字滤波器的单位冲激响应,即令，并代入上式得： (2.2.4)3）对求z变换，即得数字滤波器的系统函数 （2.2.5）由于数字滤波器频率响应还与抽样间隔T成反比，如果抽样频率很高，即T很小，则数字滤波器具有不希望有的高增益，因而希望数字滤波器的频率响应不随抽样频率而变化，故做以下简单修正。令： （2.2.6）则有 （2.2.7）此外，当考虑是实函数时，则的极点必成共轭对存在，若为极点，其留数为，则必有亦为极点，且其留数为。对于这样一对共轭极点，其变换成的关系为 （2.2.8) (2.2.9) 2.2.2 双线性变换法原理 双线性变换法是从频域出发，使数字滤波器的频率

13、响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换法。直接使数字滤波器的频率响应，逼近模拟滤波器的频率响应,进而求得H(z)。 先将s平面压缩成s1平面上一个宽度为2/T的水平带状区域，然后通过将这个带状区域映射到整个z平面，实现s平面到z平面的单值映射。 图 2.3.2 双线性变换法的映射关系引入正切变换,将s平面整个轴压缩变换到s1平面轴上的到段，可以采用以下变换关系： （2.2.10）这样，变换到，变换到，则上式变换为： （2.2.11）令，解析延拓到整个s平面和s1平面,可得 （2.2.12）再将s1平面通过以下标准标准变换关系映射到z平面：（2.1.2） （2.2.13）从而得到s平面到z平面

14、的单值映射关系为： （2.2.14） （2.2.15）则数字频率表达式为： （2.2.16）2.2.3 程序理论分析impinvar-用冲激响应不变法使模拟滤波器转换为数字滤波器。用法：bz,az=impinvar(b,a,fs)函数在保持冲激响应不变的前提下，将模拟滤波器的传递函数的分子分母b和a转换为数字滤波器的传递函数的分子分母bz和az。fs为对模拟滤波器的采样频率，缺省为1Hz。bilinear-用双线性变化法使模拟滤波器转换为数字滤波器f,e=bilinear(b,a,fs) 将模拟滤波器的传递函数的分子分母b和a转换为数字滤波器的传递函数的分子分母f和e。fs为对模拟滤波器的采样

15、频率。2.2.4 程序代码 图2.2.1 题目二程序代码2.2.5 运行结果 图2.2.2 题目二运行结果 图2.2.3题目二运行结果 图2.2.4题目二运行结果2.2.6冲激响应不变法的频率混叠失真和优缺点分析数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应间的关系为： （2.2.17） 上式表明，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器的周期延拓，根据奈奎斯特抽样定理，只有当模拟滤波器的频率响应是严格限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内，重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。但是，任何一个实际的模拟滤波器响应都不是严格限带的，变换后都会产生周期延拓分量的频谱交叠，

16、即产生频率响应的混叠失真，因此模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上衰减越大、越快，变换后频率响应混叠失真就越小。优点: (1)h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应，即时域逼近良好 (2)线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器缺点：(1)对时域的采样会造成频域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大 (2)不能用来设计高通和带阻滤波器。只适用于限带的低通、带通滤波器2.2.7双线性变换法存在的非线性频率失真和优缺点分析 如仿真波形图可知，在零频率附近，的频率变换关系接近线性关系外，当增加时，变换关系就是非线性的了，也就是说，与之间存在严重的非线

17、性关系。这就是双线性变换法存在的非线性频率失真。优点：(1)避免了频率响应的混迭失真现象 (2)在特定数字滤波器和特定模拟滤波器处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截止频率的位置。 (3)它是一种简单的代数关系，设计十分方便。缺点：（1)除了零频率附近，与之间严重非线性，即线性相位模拟滤波器变为非线性相位数字滤波器 (2)要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变 (3)对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。2.3 题三3. 设计一个10阶的Butterwort

18、h滤波器，通带为100250Hz，采样频率为1000Hz，绘出滤波器的单位脉冲响应。2.3.1设计原理分析由题目可知，要求设计一个10阶的带通的巴特沃斯滤波器，理论上所用的方法可以是先设计出模拟低通滤波器，再转变成数字带通滤波器。然而，这里我们可以直接利用butter函数直接设计IIR数字带通滤波器。 用于设计高通、带通或带阻滤波器，并由参数ftype确定滤波器的形式。当ftype（2）=band (默认值) 时，为带通滤波器，此时n =l ，h，则返回的b，a 所构成的滤波器是阶次为2N的带通滤波器，带通范围为：。2.3.2 程序理论分析b,a=butter(n,h);设计截止频率为h的n阶

19、低通模拟巴特沃斯滤波器。y,t=impz(b,a,101);b,a分别为滤波器传递函数分子和分母的系数向量，N表示冲激响应输出的序列个数2.3.3 程序代码图 2.3.1 题三程序2.3.4 运行结果 图2.3.2 运行结果3.设计分析 数字滤波器分为IIR数字滤波器和FIR数字滤波器。IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常采用的第一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法来进行。这一类方法相对容易一些，这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表可供查阅，并且还有一些典型的滤波器类型可供设计者使用。另一类设计方法是直接在

20、频域或者时域中进行设计，由于要解联立方程，设计时则需要计算计做辅助设计。而FIR滤波器不能采用先设计模拟滤波器然后在转换为数字滤波器的方法，经常使用的设计方法窗函数法和频率取样法，还有一种比较有效的方法是切比雪夫等波纹逼近法，需要通过计算机辅助设计来完成。 本次课设要设计的是数字Butterworth滤波器，而设计的内容分为三步：先设计一个低通巴特沃斯模拟滤波器，然后将模拟低通转换为数字低通滤波器，最后完成设计一个10阶的Butterworth带通滤波器。通过这次课程设计就是要我们掌握IIR滤波器第一类设计方法的步骤。 4. 心得体会 通过这次课程设计，我对数字信号处理这一课程有了进一步认识和了解。对于巴特沃斯滤波器的设计原理和方法有了更深刻的理解。在课程设计的过程中，我学到了很多东西，比如设计滤波器的一些基本函数的用法，各种模拟滤波器的特性，设计滤波器的一些基本方法。但更为重要的是，我对于解决一个问题的思路更加清晰，找到了属于自己的方法。在这次设计的过程中，