数学建模第四章数学规划模型

1、第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 4.1 奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 4.2 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运 4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购 4.4 接力队选拔和选课策略接力队选拔和选课策略 4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修 4.6 钢管和易拉罐下料钢管和易拉罐下料 y 数学规划模型数学规划模型 实际问题中实际问题中 的优化模型的优化模型 mixgts xxxxfzMaxMin i T n ,.,2 , 1, 0)(. . ),.,(),()( 1 ? x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数 gi(x) 0约束条件约束条件 多元函数多元函

2、数 条件极值条件极值 决策变量个数决策变量个数n和和 约束条件个数约束条件个数m较大较大 最优解在可行域最优解在可行域 的边界上取得的边界上取得 数数 学学 规规 划划 线性规划线性规划 非线性规划非线性规划 整数规划整数规划 重点在模型的建立和结果的分析重点在模型的建立和结果的分析 企业生产计划企业生产计划 4.1 奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 空间层次空间层次 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；条件，以最大利润为目标制订产品生产计划； 车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费车间级：

3、根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 时间层次时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。 本节课题本节课题 例例1 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划 1桶 牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或 获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制订生产计划，使每天获利最

4、大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 每天：每天： 1桶 牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或 获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 50 21 xx 劳动时间劳动时间 480812 21 xx 加

5、工能力加工能力 1003 1 x 决策变量决策变量 目标函数目标函数 21 6472xxzMax每天获利每天获利 约束条件约束条件 非负约束非负约束 0, 21 xx 线性线性 规划规划 模型模型 (LP) 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天 模型分析与假设模型分析与假设 比比 例例 性性 可可 加加 性性 连续性连续性 xi对目标函数的对目标函数的 “贡献贡献”与与xi取值取值 成正比成正比 xi对约束条件的对约束条件的 “贡献贡献”与与xi取值取值 成正比成正比 xi对目标函数的对目标函数的 “贡献贡献”与与xj取值取值 无关无关 xi对

6、约束条件的对约束条件的 “贡献贡献”与与xj取值取值 无关无关 xi取值连续取值连续 A1,A2每公斤的获利是与各每公斤的获利是与各 自产量无关的常数自产量无关的常数 每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和 时间是与各自产量无关的常数时间是与各自产量无关的常数 A1,A2每公斤的获利是与相每公斤的获利是与相 互产量无关的常数互产量无关的常数 每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和 时间是与相互产量无关的常数时间是与相互产量无关的常数 加工加工A1,A2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数 线性规划模型线性规划模型 模型求解模型求解 图解法图解法 x1 x2 0 A

7、B C D l1 l2 l3 l4 l5 50 21 xx 480812 21 xx 1003 1 x 0, 21 xx 约约 束束 条条 件件 50: 211 xxl 480812: 212 xxl 1003: 13 xl 0:, 0: 2514 xlxl 21 6472xxzMax 目标目标 函数函数 Z=0 Z=2400 Z=3360 z=c (常数常数) 等值线等值线 c 在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线 最优解一

8、定在凸多边最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO 6.1 max 72x1+64x2 st 2）x1+x250 3）12x1+8x2480 4）3x1100 end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000

9、 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No 20桶牛奶生产桶牛奶生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。 结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.0000

10、00 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 原料无剩余原料无剩余 时间无剩余时间无剩余 加工能力剩余加工能力剩余40 max 72x1+64x2 st 2）x1+x250 3）12x1+8x2480 4）3x1100 end 三三 种种 资资 源源 “资源资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.0

11、00000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 最优解下最优解下“资源资源”增加增加 1单位时单位时“效益效益”的增的增 量量 原料增加原料增加1单位单位, 利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润 影子价格影子价格 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？ 35 48, 应该买！应该买！ 聘用

12、临时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！元！ RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DEC

13、REASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 最优解不变时目标函最优解不变时目标函 数系数允许变化范围数系数允许变化范围 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes x1系数范围系数范围(64,96) x2系数范围系数范围(48,72) A1获利增加到获利增加到 30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划 x1系数由系数由24 3=72 增加增加为为30 3=90， 在在允许范围内允许范围内 不变！

14、不变！ (约束条件不变约束条件不变) 结果解释结果解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.0000

15、00 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加原料最多增加10 时间最多增加时间最多增加53 35元可买到元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买最多买10桶桶! (目标函数不变目标函数不变) 例例2 奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工 1桶桶 牛奶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2

16、或或 获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B1 2小时小时,3元元 1千克千克 获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克B2 2小时小时,3元元 1千克千克 获利获利32元元/千克千克 制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，应否投小时时间，应否投 资？现投资资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？ 50桶牛奶桶牛奶, 480小时小时 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？ 1桶桶

17、牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小时小时 8小时小时 4千克千克 A2 或或 获利获利24元元/千克千克 获利获利16元元/kg 0.8千克千克 B1 2小时小时,3元元 1千克千克 获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克 B2 2小时小时,3元元 1千克千克 获利获利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， X3千克千克 B1, x4千克千克 B2 原料原料 供应供应 劳动劳动 时间时间 加工能力加工能力 决策决策 变量变量 目标目标 函数函数 利润利润 约束约束 条件条件 非负约束非负约束 0,., 61 xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6

18、千克千克 A2加工加工B2 654321 3332441624xxxxxxzMax 50 43 6251 xxxx 48022 )(2)(4 65 6251 xx xxxx 100 51 xx 附加约束附加约束 53 80 x.x 64 750 x.x 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO 6.1 50 43 ) 2 6251 xxxx 48022 )(2)(4)3 65 6251 xx xxxx OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.0

19、00000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2 600334) 2 6521 xxxx4 4804624) 3 6521 xxx

20、x DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3

21、.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2 结果解释结果解释 每天销售每天销售168 千克千克A2 和和19.2 千克千克B1， 利润利润3460.8（元）（元） 8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶桶 牛奶加工成牛奶加工成A2， 将得到的将得到的24千克千克A1全部全部 加工成加工成B1 除加工能力外均除加工能力外均 为紧约束为紧约束 结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALU

22、E REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 增加增加1桶牛奶使利润增桶牛

23、奶使利润增 长长3.1612=37.92 50 43 )2 6251 xxxx 600334) 2 6521 xxxx4 增加增加1小时时间使利小时时间使利 润增长润增长3.26 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，小时时间， 应否投资？现投资应否投资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？ 投资投资150元增加元增加5桶牛奶，桶牛奶， 可赚回可赚回189.6元。（大于元。（大于 增加时间的利润增长）增加时间的利润增长） 结果解释结果解释 B1,B2的获利有的获利有10%的波动，对计划有无影响的波动，对计划有无影响 RANGES IN WHICH THE

24、BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY DO RANGE

25、(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes B1获利下降获利下降10%，超，超 出出X3 系数允许范围系数允许范围 B2获利上升获利上升10%，超，超 出出X4 系数允许范围系数允许范围 波动对计划有影响波动对计划有影响 生产计划应重新制订：如将生产计划应重新制订：如将x3的系数改为的系数改为39.6 计算，会发现结果有很大变化。计算，会发现结果有很大变化。 4.2 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运 生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点， 怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大； 运输

26、问题运输问题 各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制， 如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。 其他费用其他费用: :450元元/千吨千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁 A160130220170 B140130190150 C190200230/ 引水管理费引水管理费 例例1 自来水输送自来水输送 收入：收入：900元元/千

27、吨千吨 支出支出 A：50 B：60 C：50 甲：甲：30；50 乙：乙：70；70 丙：丙：10；20 丁：丁：10；40 水库供水量水库供水量(千吨千吨) 小区基本用水量小区基本用水量(千吨千吨) 小区额外用水量小区额外用水量(千吨千吨) （以天计）（以天计） 总供水量：总供水量：160 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大 问题问题 分析分析 A：50 B：60 C：50 甲：甲：30；50 乙：乙：70；70 丙：丙：10；20 丁：丁：10；40 总需求量总需求量(300) 每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍 利润利润 = 收入收入(900) 其它费用

28、其它费用( (450) 引水管理费引水管理费 利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁 A290320230280 B310320260300 C260250220/ 33323124232221 14131211 220250260300260320310 280230320290 xxxxxxx xxxxZMax 供应供应 限制限制 B, C 类似处理类似处理 50:A 14131211 xxxx100 14131211 xxxx 问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大 需求约束可以不变需求约束可以不变 求解求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

29、1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 这类问题一般

30、称为这类问题一般称为 “运输问题运输问题” (Transportation Problem) 总利润总利润 88700（元）（元） A(100) B(120) C(100) 甲甲(30;50) 乙乙(70;70) 丙丙(10;20) 丁丁(10;40) 40 100 50 30 50 30 如何如何装运，装运， 使本次飞行使本次飞行 获利最大？获利最大？ 三个货舱三个货舱最大最大载载重重( (吨吨),),最大容积最大容积( (米米3 3) ) 例例2 货机装运货机装运 重量（吨）重量（吨）空间空间( 米米3/ 吨）吨） 利润（元利润（元/ 吨）吨） 货物货物1184803100 货物货物215

31、6503800 货物货物3235803500 货物货物4123902850 三个货舱中实际载重必须与其最大三个货舱中实际载重必须与其最大载载重成比例重成比例 前仓：前仓： 10；6800 中仓：中仓： 16；8700 后仓：后仓： 8；5300 飞机平衡飞机平衡 决策决策 变量变量 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量( (吨）吨） i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓) 模型假设模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小； 货机装运货机装运 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个

32、或多个货舱中任意分布； 多种货物可以混装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立模型建立 货舱货舱 容积容积 目标目标 函数函数 ( (利润利润) 约束约束 条件条件 )(2850)(3500 )(3800)(3100 434241333231 232221131211 xxxxxx xxxxxxZMax 6800390580650480 41312111 xxxx 8700390580650480 42322212 xxxx 5300390580650480 43332313 xxxx 货机装运货机装运模型建立模型建立 货舱货舱 重量重量 10 41312111 xxx

33、x 16 42322212 xxxx 8 43332313 xxxx 10； 6800 16； 8700 8； 5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量 约束约束 条件条件 平衡平衡 要求要求 8 16 10 43332313 42322212 41312111 xxxx xxxx xxxx 货物货物 供应供应 18 131211 xxx 15 232221 xxx 23 333231 xxx 12 434241 xxx 货机装运货机装运模型建立模型建立 10； 6800 16； 8700 8； 5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱

34、的重量个货舱的重量 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.0

35、00000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 货物货物2：前仓：前仓10, ,后仓后仓5； 货物货物3: : 中仓中仓13, 后仓后仓3； 货物货物4: : 中仓中仓3。 货机装运货机装运模型求解模型求解 最大利润约最大利润约121516元元 货物货物供应点供应点 货舱货舱需求点需求点 平衡要求平衡要求 运输运输 问题问题 运输问题的扩展运输问题的扩展 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆， 那么最优的生产计划应作何改变？那么最优的生产计划应作何改变？ 例例1 汽车厂生产计划汽车厂生产计划

36、汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量 钢材（吨）钢材（吨） 1.5 3 5 600 劳动时间（小时）劳动时间（小时） 280 250 400 60000 利润（万元）利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大。制订月生产计划，使工厂的利润最大。 4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购 设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3 3

37、21 432xxxzMax 600535 . 1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxx 0, 321 xxx 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量 钢材钢材 1.5 3 5 600 时间时间 280 250 400 60000 利润利润 2 3 4 线性线性 规划规划 模型模型 (LP) 模型模型 求解求解 3） 模型中增加条件：模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。均为整数，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581 VARIABLE VALUE

38、REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226 结果为小数，结果为小数， 怎么办？怎么办？ 1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与 LP最优值最优值632.2581相差不大。相差不大。 2）试探：如取）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数

39、等，计算函数 值值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？ IP可用可用LINDO直接求解直接求解 整数规划整数规划( (Integer Programming, ,简记简记IP) ) “gin 3”表示表示“前前3个变量个变量 为整数为整数”，等价于：，等价于： gin x1 gin x2 gin x3 IP 的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632 max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3600 280 x1+250 x2+400

40、x360000 end gin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 321 432xxxzMax 600535 . 1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxx 为非负整数 321 ,xxx 模型求解模型求解 IP 结果输出结果输出 其中其中3个个子模型应子模型应去掉，然后去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值，

41、 再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解： 80, 0, 0 321 xxx 0,80, 0 321 xxx 80,80, 0 321 xxx 0, 0,80 321 xxx 0,80,80 321 xxx 80, 0,80 321 xxx 80,80,80 321 xxx 0, 321 xxx 方法方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 321 432xxxzMax 600535 . 1. 321 xxxts 60000400250280 321 xx

42、x x1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值，最优值z=610 LINDO中对中对0- 1变量的限定：变量的限定： int y1 int y2 int y3 方法方法2：引入引入0-1变量，化为整数规划变量，化为整数规划 M为大的正数，为大的正数， 可取可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.00000

43、0 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 1 , 0,80, 11111 yyxMyx 1 , 0,80, 22222 yyxMyx 1 , 0,80, 33333 yyxMyx 最优解同前最优解同前 NLP虽然可用现成的数学软件求解虽然可用现成的数学软件求解( (如如LINGO, , MATLAB) )，但是其结果常依赖于初值的选择。，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法方法3

44、：化为非线性规划化为非线性规划 非线性规划（非线性规划（Non- Linear Programming，简记，简记NLP） 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 0)80( 11 xx 0)80( 22 xx 0)80( 33 xx 应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油的采购和加工 ？ 例例2 原油采购与加工原油采购与加工 市

45、场上可买到不超过市场上可买到不超过1500吨的原油吨的原油A： 购买量不超过购买量不超过500吨时的单价为吨时的单价为10000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000吨时，超过吨时，超过500吨的吨的 部分部分8000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过1000吨时，超过吨时，超过1000吨的部分吨的部分6000元元/ /吨。吨。 售价售价4800元元/吨吨 售价售价5600元元/吨吨 库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 汽油甲汽油甲 (A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A 60%) 决策决策 变量变量 目标目标 函数函数 问题

46、问题 分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入 - - 购买原油购买原油A的支出的支出 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂 )()(6 . 5)( 8 . 4 22122111 xcxxxxzMax 甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 购买购买x x11 x12 x21 x22 4.8千元千元/吨吨 5.6千元千元/吨吨 原油原油A的购买量的购买量, ,原油原油A, B生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量 c(x) 购买原油购买原油A的支出的支出 利润利润(千元千元) c(x)如何表述？如何表述？ 原油供应原油供应 约束约束 条件

47、条件 xxx500 1211 1000 2221 xx 1500 x 500)1(1000 30006 1000)(500 1000 8 500)(0 10 )( xx xx xx xc x 500吨单价为吨单价为10千千元元/ /吨；吨； 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨；吨； 1000吨吨 x 1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千千元元/ /吨。吨。 目标目标 函数函数 购买购买x A B x11 x12 x21 x22 库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规

48、划； 对于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软，一般的非线性规划软 件也难以输入和求解；件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。想办法将模型化简，用现成的软件求解。 汽油含原油汽油含原油A 的比例限制的比例限制 5 . 0 2111 11 xx x 6 . 0 2212 12 xx x 2111 xx 2212 32xx 约束约束 条件条件 甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11 x12 x21 x22 x1 , x2 , x3 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨数的吨数 目标目标 函数函数 只有当

49、以只有当以10千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x1=500( (吨吨) )时，才能以时，才能以8 千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x2 方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 4 32122122111 xxxxxxxzMax 0)500( 32 xx500,0 321 xxx 非线性规划模型非线性规划模型，可以用，可以用LINGO求解求解 模型求解模型求解 x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨吨 增加约束增加约束 0)500( 21 xx x= x1+x2+x3, c(x

50、) = 10 x1+8x2+6x3 方法方法1：LINGO求解求解Model: Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3; x11+x12 x + 500; x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0; x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500; x2 500; x3 0; x11 0; x12 0; x21 0; x22 0; x1 0; x2 0; x3 0; end Objective value: 4800.000 V

51、ariable Value Reduced Cost X11 500.0000 0.0000000E+00 X21 500.0000 0.0000000E+00 X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得到的是局部最优解，还得到的是局部最优解，还 能得到更好的解吗？能得到更好的解吗？

52、用库存的用库存的500吨原油吨原油A、500吨原油吨原油B 生产汽油甲，不购买新的原油生产汽油甲，不购买新的原油A， 利润为利润为4,800千千元。元。 y1, y2 , y3=1 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A 增增 加加 约约 束束 方法方法2 0-1线性规划模型线性规划模型，可，可 用用LINDO求解求解 112 500500yxy 223 500500yxy 33 500yx y1, ,y2, ,y3 =0或或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.

53、000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000 购买购买1000吨原油吨原油A，与，与 库存的库存的500吨原油吨原油A和和 1000吨原油吨原油B一起

54、，生一起，生 产汽油乙，利润为产汽油乙，利润为5,000 千元千元 。 x1 , x2 , x3 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨数的吨数 y=0 x=0 x0 y=1 优于方法优于方法1的结果的结果 b1 b2 b3 b4 方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2， z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2). c(x) x 12000 9000 5000 050010001500 b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b

55、3 x b4，x= z3b3+z4b4， z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 30006 1000)(500 1000 8 500)(0 10 )( xx xx xx xc 直接处理处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x) IP模型，模型，LINDO求求 解，得到的结果与解，得到的结果与 方法方法2相同相同. . 处理分段线性函数，方法处理分段线性函数，方法3更具一般性更具一般性 44332211 bzbzbzbzx )()()()()( 44332211 bczbczbczbczxc bk x bk+1yk=1, ,

56、否则否则, ,yk=0 3432321211 ,yzyyzyyzyz )4 , 3 , 2 , 1(0, 1 4321 kzzzzz k 10, 1 321321 或yyyyyy 方法方法3 bk x bk+1 , ,x= zkbk+z k+1 bk+1 zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ). c(x) x 12000 9000 5000 050010001500 b1 b2 b3 b4 对于对于k=1,2,3 分派问题分派问题 4.4 接力队选拔和选课策略接力队选拔和选课策略 若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，若干

57、项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同， 完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分 派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。 若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的 成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满 足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。 丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进；戊的自由泳成绩

58、进 步到步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整组成接力队的方案是否应该调整？ 如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队米混合泳接力队? ? 例例1 混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊 蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4 仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111” 蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8 自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4 5名候选人的名候选人的百米成绩百米成绩 穷举法穷举法：组成接力队的方案共有组成接力队的方案共有5!=120种种。 目标目标 函数函数 若选

59、择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xij=1, , 否则记否则记xij=0 0-1规划模型规划模型 cij( (秒秒) )队员队员i 第第j 种泳姿的百米成绩种泳姿的百米成绩 约束约束 条件条件 每人最多入选泳姿之一每人最多入选泳姿之一 ciji=1i=2i=3i=4i=5 j=166.857.2787067.4 j=275.66667.874.271 j=38766.484.669.683.8 j=458.65359.457.262.4 4 1 5 1ji ijij xcZMin 每种泳姿有且只有每种泳姿有且只有1 1人人 5,.,1, 1 4 1 ix j ij 4

60、,.,1, 1 5 1 jx i ij 模型求解模型求解 最优解：最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它变量为其它变量为0; 成绩为成绩为253.2( (秒秒) )=413”2 MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54 SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 =1 x41+x42+x43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1 END INT 20 输入输入LINDO求解求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊