直线中的最值问题专题练习

1、直线中的最值问题基础卷一. 选择题：1 .设一 na ,点 P(1, 1)到直线XCOSa+sin a =2的最大距离是(A) 2 - .2( B) 2+ . 2( C)2( D) - 22. 点P为直线x-y+4=0上任意一点，0为原点，则|OP|的最小值为(C) 2 .2(D) 23 .已知两点P(cosa sin a )Q(COSB s鬥3)贝9 |PQ|的最大值为(A)2( B) 2(C) 4( D)不存在4 .过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是(A) x+2y- 5=0( B) 2x+y- 4=0(C) x+3y- 7=0(D) x 2y+3=05. 已知 P(-2, - 2

2、), Q(0, 1), R(2, m)，若|PR|+|RQ|最小，J则 m 的值为(A)4(B) 0(C)-1(D)-6.已知 A(8, 6), B(2,-2),在直线3x-y+2=0上有点P,可使|PA|+|PB|最小，则点P坐标为(A) (2, 0)(B) (-4, - 10)(C) (- 10, -4)(D) (0, 2).填空题:7. 已知点A(1,3), B(5, -2),在x轴上取点P,使|PA|- |PB|最大，则点P坐标为.8. 当2x+3y- 7=0 (- Kx2)时，4x-5y的最大、最小值分别为.9. 函数 y= x2 1 x2 -4x 8 的最小值为.10. 给定三点

3、A(0, 6), B(0, 2), C(x, 0)，当 x0 且/ BCA最大时，x=.提高卷一. 选择题：1 在直线y= 2上有一点P,它到点A( 3,1)和点B(5, - 1)的距离之和最小， 则点P的坐标为19(A) (1, 2)(B) (3, 2)(C) (-, 2)( D) (9, 2)42. 对于两条直线A: A1X+B1y+C1=0, 12： A2X+B2y+C2=0，下列说法中不正确的是(A) 若 A1B2A2B1= 0,则 |1 |2( B) 若 11/ 12，则 A1B2 A2B1=0(C)若 A1A2+B1B2=0,则 |1 丄 12(D) 若 |1 丄 12,则 A1A

4、2+B1B2=03. 已知三点A(3, 4), M(4, 2), N( 2, 2)，则过点A且与M, N等距离的直线的 方程是(A) 2x+3y 18=0(B) 2x y 2=0(C) 3x 2y+18=0 或 x+2y+2=0(D) 2x+3y 18=0 或 2x y 2=04. 在 ABC 中，IgsinA, IgsinB, IgsinC 成等差数列，则两直线 xsin2A+ysinA=a, xsin2B+ysinC=c的位置关系是(A)平行(B)重合 (C)垂直 (D)相交但不垂直5 .已知点A(3, 0), B(0, 4)，动点P(x, y)在线段AB上运动，则xy的最大值为12144

5、(A) *(B)石(C) 3(D) 4549二. 填空题：6. 从点P(3, 2)发出的光线，经过直线11： x y 2=0反射，若反射光线恰好通过点Q(5, 1)，则光线l所在的直线方程是 .7. 若x+y+仁0，则 (x -1)2 (y-1)2 8的最小值为.8. 直线l在x轴上的截距是1,又有两点A( 2, 1), B(4, 5)到l的距离相等，则l的方程为.9. 过点P(2, 1)的直线分别交x轴、y轴的正半轴于A, B两点，当|PA| |PB|取最小值时，直线l的方程为.三. 解答题：10. 某糖果公司的一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用(管 理费、房租、还贷款、

6、维修等)，它生产一千克糖果的成本是10元，而销售价是 一千克15元，试问：每天应当生产并售出多少糖果，才能使收支平衡？即它的 盈亏平衡点是多少？_1(C) y= x(D) y=综合练习卷一.选择题：1 已知A( 1,1), B(1, 1)，在直线x y 2=0上求一点P,使它与A, B的连线所 夹的角最大，则点P的坐标和最大角分别为3 ii3 (A) ( 1, 1), -(B) (1, 1), (C) (1, 1), -(D) (1,1),44442.已知直线l: y=4x和点P(6, 4),在直线I上有一点Q,使过P, Q的直线与直线 I及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小，则点Q坐标为(

7、A) (2, 8)(B) (8, 2)(C) (3, 7)( D) (7, 3)3 .已知三点P(1,2), Q(2, 1), R(3, 2),过原点0作一直线，使得P, Q, R到此直线 的距离的平方和最小，则此直线方程为(A) y=( 1+、17)x ( B) y=( 117 )x4. 过点M(4, 6)且互相垂直的两直线11, 12分别交x轴、y轴于A, B两点，若线段 AB的中点为P，O为原点，则|OP|最小时，点P的坐标为(A) (2, 3)(B) (3, 2)(C) (2, 3)(D) ( 3, 2)5. 集合A=点斜式表示的直线，B=斜截式表示的直线，C=两点式表示的直 线，D=

8、截距式表示的直线，则间的关系是(A) A=B=C=D(B) AY BY CY D (C) A=B, C=D ( D) A=BY CY D6. 已知两点A(8, 6), B( 4, 0)，在直线3x y+2=0上有一点P，使得P到A, B的 距离之差最大，则点P坐标为(A) ( 4, 10)(B) (4, 10)(C) ( 4, 10)( D) ( 10, 4)二. 填空题：7. 已知两点A( 2, 2), B(1,3)，直线l1和l2分别绕点A, B旋转，且I1/I2,则这两条平行直线间的距离的取值范围是 .8 .已知三条直线11： 4x+y 4=0, I2： mx+y=0, I3： 2x 3

9、my 4=0不能构成三角形， 则m的值为.9. 已知定点A(0, 3),动点B在直线11： y=1上，动点C在直线I2: y= 1上，且/ BAC=90,则厶ABC面积的最小值为 .10. 有两直线 ax2y 2a+4=0 和 2x (1 a2)y2 2a2=0,当 a 在区间(0, 2)内变化时，直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值为 .三. 解答题：11. 在呼伦贝尔大草原的公路旁，某镇北偏西 60且距离该镇30km处的A村和 在该镇东北50km的B村，随着改革开放要在公路旁修一车站 C,从C站向A村 和B村修公路，问C站修在公路的什么地方可使费用最省？12 .如图，在平面直角坐标系中，

10、在y轴的正半轴(坐标原 点除外)上给定两点A, B,试在x轴的正半轴(坐标原点除| y外)上求一点C,使/ ACB取得最大值。A基珊卷参考答案I B 2.C 3.R 4.A 5.D 6.D 7. (13. 0)83 -19 9.10.-2厲提示：1- P(l, 1)到已知直线的距离为d = laina + coea - ： 从而d = lJ空Bin(a +于- 21卜据 兀茎口百it求t 于的范围*进而可求sin(a + 1于)的范圉.2.设P点坐标为(a, a + 4),则I OP I yv+(a+4? t利用配方求其J&小值.3利用两点间距离公式及三角函数的有关知识 解.4,所求直线过点(

11、1,2),且与过原点和点(】，2)的连 垂直.5-由于R(2.m)点在直线x = 2t故在工=2上求 点,使它到F* Q两点距离之和最小，而F,Q两 均在x = 2的同侧，故先求P关于x = 2的对称 F6 - 2)，则PQ的方程为r + l =诂兰孑热即 一+轧联立宀V1* = 26. 先埒断Arti两点于直裁的同 制，玖施同上聽7. 射feM两点位于轴的畀牺腐先求)3,-2) 关于*轴的对祢点#(罠2)個的方程为y-3 =t - 3* - ：(x-L),彷 y.D 得* 13 .从而 P8. 換元堤可求由已知杀杵得，号则紙.5y = 4j -5x= yx-y(-ltc2LftlaJ号普住-

12、 1上如闖散一9. 构册開曲何理蓦舍式转佬解决.y = yTl */ *7 +8 ( -0)1 + (0- 1 + /(z + 2pr(0-2?,令 A(0J).4ld用上式 表明在辅t：找一点尸(x.O),便丨円I * I円|环 小,fn AtB用点均在土A艾于*讪的时称点4*(0, -n.w 柑的方稈为厂1 = 氏 “卸 y+fil = /2i+(2+iji = /13BP为所求韋小值，10. 嗣用三轴确啟及均值不磚式卓潺-T/曲圖3 7. -|V28-inA sink OtSinC 0,且 = sinAsinCf从而15V2-15V6-9 -片故车站应燃在距谏顿的 正西方釣7站处.影=2

13、*抜两直线堇合. amJ c12.见解题点拨.【解题点拨】-2k)r 从而 PA -PB=V +1V 4 + 4A有 Sa = 10 x5. 依题St有工*03心,且1 =专*于誉厶/咅*6. 由光学知识知，光线Z所在的直线经过Q点关二 的对称点0,设卩(科人则0(3.珍方程为3,即为所求.7, 利用二次函数配方可求.乱肖直歧斜率存在时，用点斜式设出直纯方程左 利用点到直线的距离公式即可求出i的值卅 线斜率不存在时，很容易得到直线#1也满月 件.9.设！的斜率为Ki 257i).柞 A 点关于的对称点塞(-苗禹，-连结A切交汀 工轴是线段朋的垂直平分线门CA d” I C41 + 心i = I

14、 C4* I + I C0I = A 眩由两点式用冷二盘疇89 7-6-(1)】设P(flTa-2)tfiZSM为HF到廿所赢的飢从W _ 3 a - 3附-切 _ . a寸！-比一j_ _3 *肿 i * w _ 3 * 召- 3t -* 1 a - 1(些1 *_Q 亠 1)二 2( a-3)jjaJ - 1 + (a - 3)2(o 3) + 6( a *3) +6用均 l)t iSLPQx 于点 A, 则可知血4灼高为4兀底边Q4的隹即为点” 的横坐标，直議巴才程为y-4警琴(x- 6)* 令 y = 0 得斑=Xq , /.x 笃 x筑a 一 ! 临_ !4卿= * -fl-l =

15、t0T H af0 = I + L 从爺 工o _ I=10 (r + 7 +3040,当且仅半 I = i 时，jq - 2,= 8,3.设所求直黑劣厂抵(谢率存在时人P,认R 封誠直蛊的距髙的平方呑为血则d = 14/ 加严口 (14-J) V-20i + 9- = 0.V + 123-5/17 一 23 + 5/17 n ，.一 2W 肩茎J 且 戛二护卫，*t 所事直議为y = e 1 ；。黑+4先利用两条直縑垂直.軒率朿锻为-1.可求特P 点瓠迹方程为2工*3丁-13 = 0,则P点到原氏杓 產小距贏即为原点到直戟2,诲于Zfl4Cx9(P, .n s6 u 0* 由 kB * 1 nA = 8.=(a2 + 4) (Q* 垮)=tiP* 16a + 4b + 64)从2 + 64) = 2 + 4a2 + 6232 +2/Z?P=64,A S最小值为g.10 设直蟻 ax-2y-2a+4