电工技能培训专题-电路-一阶电路和二阶电路的时域分析

1、JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 1 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April

2、 21, 2021 2 o 熟练掌握一阶电路的时域分析法； o 深入理解电路的初始值、时间常数、零状态响应、零输入 响应、全响应、自由分量和强制分量等物理概念，并熟悉 掌握其分析方法，重点掌握三要素法； o 正确掌握一阶电路过渡过程的变化规律，掌握一阶电路的 冲激响应； o 了解二阶电路的时域分析法及二阶电路的过阻尼、欠阻尼 及临界阻尼的放电过程，掌握二阶电路的阶跃响应及零状 态响应，一般了解二阶电路的冲激响应。 o 会用系统法列写简单的状态方程。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circui

3、t Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 3 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分 析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线 性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态 分量的求解。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wed

4、nesday, April 21, 2021 4 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。 当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状 态转到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定时 间，或者说需要一个过程，在工程上称过渡过程。 S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + +- - uR i 接通电源，C 被充电，C 两端 的电压逐渐增长到稳态值Us ， 即要经历一段时间。电路中的 过渡过程虽然短暂，在实践中 却很重要。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiaga

5、ng Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 5 1. 动态电路的基本概念 含有动态元件(L、C)的电路称为动态电路。描述动态电路的方 程是微分方程。 全部由线性非时变元件构成的动态电路，其描述方程是线性常 系数微分方程。 只含一个动态元件(L或C)的电路，其描述方程是一阶线性常系 数微分方程，称一阶电路。 一阶电路有3种分析方法： 1) 经典法 列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在时间域中 进行的分析方法。 JiangSu Univer

6、sity Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 6 2)典型电路分析法 记住一些典型电路(RC串联、 RL串联、 RC并联、 RL并联 等) 的分析结果，在分析非典 型电路时可以设法套用。 3) 三要素法 只要知道一阶电路的三个要 素，代入一个公式就可以直 接得到结果，这是分析一阶 电路的最有效方法。 任意NS uCC + - i S (t=0) S US + -

7、(t=0)+ - uC R C i 典型电路 重点掌握3 ， 1、2 两种方法可掌握其中之一。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 7 2. 换路及换路定则 1) 换路 电路结构或元件参数的改变称为换 路。换路是在t=0 (或 t = t0) 时刻进行的。 含有动态元件的电路换路时存在过 渡过程，过渡过程产生的原因是由 于储能

8、元件L、C ，在换路时能量发 生变化，而能量的储存和释放需要 一定的时间来完成。 S 24V + + - - (t= =0) + + L iL 4W W 1 4W W 2 2W W 3W W 6H 6W W - - uL 12V + + - - i 8W W 4W W t=0=0 S 纯电阻电路在换路时没有过渡期。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, Ap

9、ril 21, 2021 8 2） 换路定则换路定则 在换路前后： q(t) = = q(t0) + + t t0 iC (x x) dx x q(0+ +) = = q(0- -) + + 0+ + 0- - iC(x x) dx x 以t = t0 = 0作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为t = 0_， 换路后最初时刻记为t = 0+。 线性电容C的电荷 0_到0+瞬间， iC(t)为有限值时， 积分为0。 q(0+) = q(0_) ,C上的电荷不能跃变！ 由q(t) = C uC(t)可知，当换路前后C不变时 uC(0+) = uC(0-) C两端的电压也不能跃变！ JiangSu

10、 University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 9 同理可得： q(0+) = q(0-)uC(0+) = uC(0-) 换路定则表明 (1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷） 在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。 (2)换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链） 在换路前后保持不变。这是磁链守恒定律的体现。 (0+

11、) = (0-) L中的磁链不能跃变！ 由(t) = LiL(t) 可知，当换路前后L不变时 iL(0+) = iL(0-) L中的电流也不能跃变！ JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 10 3. 初始值的计算 例：求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + +

12、 - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 11 解： 换路前的“旧电路” 1. 由换路前的“旧电路” 计算uC(0_)和iL(0_) 。 iC(0_)=0，C视为开路。 uL(0_)=0，L视为短路。 iL(0-) = 12A iL(0+) = u

13、C(0+) = R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i 由等效电路算出 uC(0-) = 24V JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 12 2.画出t=0+等效电路： 电感用电流源替代，电容用 电压源替代。 iC(0+

14、) = 48-24 3 = 8A uL(0+) = 48-212= 24V R1 + + - - U0 S R2 iL iC 12A + + - - uL + + - - R3 3W W 2W W 2W W 48V 24V i i(0+) = iL(0+) + iC(0+) = 12 + 8 = 20A t=0+时刻的等效电路 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesd

15、ay, April 21, 2021 13 零输入响应：在无外施激励的情 况下，由动态元件的初始储能(0) 引起的响应。 1. RC 电路 S R + + - - uC (t=0) i + + - - uR U0 S R + - uC (t0+) i + - uR U0 换路后的“新电路” i = duc dt - C = Ri duc dt = - RC 由KVL得： duc dt RC+ uC = 0 uR 分析 RC 电路的零输入响应，实际上 是分析其放电过程。 一阶齐次微分方程 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjia

16、gang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 14 = RC 称RC电路的时间常数。 若R取，C取F，则为s。 的大小，反映uC的变化快慢： 越大， uC衰减越慢。 S R + + - - uC (t0+) i + + - - uR U0 p = RC 1 通解： uC = A e 1 RC t 由初始条件 uC(0+) = uC(0) = U0 得： uC = U0 e= U0 e t - t1 RC -t ，t 0 t o uC t 2t

17、3t U0 的图解 特征方程：特征根：RCp+1=0 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 15 t=0，uC =U0 t=，uC =U0 e-10.638U0 o 在理论上，要经过无限长时间， uC才能衰减到0。 o 在工程上，认为经过3 5时 间，过渡过程即告结束。 t o uC t 2t3t U0 0.368U0 0.05

18、U0 uC=U0 e t - t t=3 ，uC =U0 e-30.05U0 t=5 ，uC =U0 e-50.007U0 uR = uC = U0 e t - t S R + + - - uC (t0+ +) i + + - - uR U0 , uR i = duc dt - C = R U0 - t e WR = 0 i2 (t) R dt = 2 1 CU02 C储存的能量全被R 吸收，并转 换成热能消耗掉。 R U0 i JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course L

19、ectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 16 例：试求t0时的i(t)。 换路后，Req= R1/R2 = 2。 所以 = ReqC = 2 s，引用典型电路结果： uC(0) = 2+4+4 104 = 4 V 由换路定则： uC(0) = uC(0+) = 4 V R2 + - uC 4W 4W C 1F i t0S R1 uC = uC(0+) e t - t = 4 e-0.5t V i = - 2 1 Req uC = -e-0.5t A 解： (t0) (t0) 2W S R2 +

20、 - (t=0) + - uC 4W R1 4W C 1F 1 2 R 10V i JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 17 2. RL电路 由KVL uL + uR = 0 S R + - (t=0) R0 L 12 uL + - i U0 R (t0) LuL + - i S 2 + - uR di L dt + Ri =

21、 0 di dt L + i = 0 R i(0+)= i(0-)= R0 U0 i(t) = i(0+) e = R0 U0 = R L 为RL电路的时间常数。 - t e - t 得 i(t) 解之 代入初始条件 基本形式：i(t)=I0 e - t (t 0) JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 18 电阻和电感上的电

22、压分别为： R (t0) LuL + - i S 2 + - uR RI0 uR t o i, uR , uL i I0 uL -RI0 uR = Ri = R I0 e uL = - uR= - R I0 e di dt L 或者：uL = -R I0 e i(t) = I0 e - t t - t t - t t - t ，(t 0) ，(t 0) ，(t 0) JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Inform

23、ation School Wednesday, April 21, 2021 19 3.例题分析 P144 例7-2 试求： ；i(0+)和i(0-) ； i(t)和uV (t) ；uV (0+)。 V S+ - R L + - U RV uV i 0.189W 0.398H 5kW 35V 某300kW汽轮发电机励 磁回路的电路模型 t = R+RV L = 0.189+5103 0.398 = 79.6 (ms) i(0-) R U = 0.189 35 =185.2 A i(t) = 185.2 e-12560t A uV(t) = -RV i(t) = -926 e-12560t kV

24、 uV(0+) = 926 kV ! t0+ 实践中，要切断 L 的 电流，必须考虑磁场 能量的释放问题。 解： i(0+)= i(0+)= 185.2 A 电压表的量程才50V。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 20 零状态响应：在动态元件初 值为 0 的状态下，由外施激 励引起的响应。 1. RC电路 由KVL： uR

25、 + uC = US S US + + - - (t=0) + + - - uC R C + +- - uR i uR = Ri duc dt = RC duc dt RC + uC = US 常系数非齐次线性方程 对应的齐次方程： 其解为：uC = uC + uC 通解： uC = A e 1 RC - t 特解：uC = US 所以： uC = US + A e duc dt RC + uC= 0 1 RC -t JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lecture

26、d By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 21 代入初值：uC(0+) = uC(0_) = 0 求得：A= -US 所以零状态响应为 uC = US (1-e )， uC 稳态分量 uC 瞬态分量 duc dt i = C= R US e - t i S US + + - - (t0+ +) + + - - uC R C + +- - uR i duc dt RC + uC = US uC = US + A e 1 RC -t t = RCuC=uC + uC US t o uC , i R US -US

27、 uC = US - US e - t - t JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 22 2 1 电源提供的能量： W = = 0 US i (t) dt = = CUS 2 WR = = 0 i2 (t) R dt = =CUS 2 t t = =RC S US + - (t0+) + - uC R C +- uR i 结果

28、表明：电源提供的能量只有一 半转换为电场能量存储于C 中，另 一半在充电过程中被 R 消耗掉。 不论RC的值是多少，充电效率总 是50%。 电阻吸收的能量： JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 23 (1) 激励是恒定直流 换路前： iL(0+) = iL(0_) = 0 换路后： iR + iL = IS S R L + +

29、 - - IS uL t= =0 iRiL (t0+ +) iR = uL R = L R diL dt L R diL dt + + iL = = IS L R t =t =解得：iL = = IS (1- - e ) t t - - t 代入 式中： JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 24 (2)激励是正弦电压 设 us

30、=Umcos(t+u) 则 L diL dt + RiL = Umcos( t+u) 通解： iL = A et - t 特解的形式： iL= Imcos(t + ) 把 iL 代入微分方程： Im、 为待定系数。 RImcos( t + )- LImsin( t+ )=Umcos( t+ u) Im|Z|cos(w wt+ +q q + +j j)= =Umcos(w wt+ +y yu) L R t =t = t0+ + us + + - - + + - - uL R L i + +- - uR JiangSu University Of Science and Technology. Z

31、hangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 25 比较得： q q = =y yu- -j j ， |Z| Um 特解：iL = = Imcos(w wt + +q q ) = = cos(w wt + + y yu- -j j) 上述常系数非齐次线性微分方程的全解为： |Z| Um iL = =cos(w wt+ +y yu- -j j) + + A e - - t t t 由iL(0+) =iL(0_) = 0定出： A

32、= = - - |Z| Um cos( (y yu- -j j) ) Im= = Um |Z| Im|Z|cos(w wt+ +q q + +j j)= =Umcos(w wt+ +y yu) 式中 R2 |Z| = =+ + (w wL)2 tgj j = = R w wL JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 26 (1)若

33、 S闭合时yu-j =90o， t o i i = = i 稳态分量iL是与外施 激励同频率的正弦量 瞬态分量iL随时间 的增长衰减为零。 |Z| Um iL = =cos(w wt+ +y yu- -j j) - - cos(y yu- -j j) e |Z| Um - - t t t 则 iL =0。说明电路不发生 过渡过程而立即进入稳态。 R上的电压 uR = R iL L上的电压 uL= L diL dt JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured

34、By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 27 RL串联电路与正弦电压接通后，在一定初值条件下，电 路的过渡过程与S动作时刻有关。 iL iL t o iL |Z| Um |Z| Um - - 此时闭合 S，约过半个周期， iL的最大瞬时值(绝对值) 将接 近稳态振幅的两倍。 当很大时， iL衰减极其缓慢。 稳态振幅 过渡中的最大瞬时值 (2)若S闭合时yu=j ，则： iL = = |Z| Um cosw wt e - - t t t |Z| Um - - JiangSu University Of Scie

35、nce and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 28 全响应 稳态解 瞬态解 1. 全响应：外施激励和动态元件 初值都不为零时的响应。 S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + +- - uR i + + - - U0 uC(0+ +) = = uC(0- -) = = U0 uC = = US + ( + (U0 - - US) ) e duc dt R

36、C + + uC = = US - - t t t (1)一阶电路的全响应可以看 成是稳态分量(强制分量) 与瞬 态分量(自由分量) 之和。 =+ 2. 全响应的两种分解方式 强制分量自由分量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 29 零输入响应 (2)把上式改写成下列形式： 零状态响应 全 响 应 此种分解方式便于叠加计算，

37、体现了线性电路的叠加性质。 uC = = US + ( + (U0 - - US) ) e - - t t t S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + +- - uR i + + - - U0 uC = = U0 e - - t t t + + US ( (1 - - e ) ) - - t t t = =+ + JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information Sch

38、ool Wednesday, April 21, 2021 30 3. 三要素法 (1) 在恒定激励下f(t) = = f() + + f(0+ +) - - f() - - t t t e 由初始值、稳态值和时间常数三个要素决定。 全响应 = 稳态分量 + 瞬态分量 uC = = US + ( + (U0 - - US) ) e - - t t t (2) 在正弦电源激励下f(t) = = f(t) + + f(0+ +) - -f(0+ +) - -t t t e f(t)是换路后的稳态响应(特解) ，是与激励同频率的正弦量； f(0+)是稳态响应f(t)的初始值。 f(0+)和 的含义与

39、恒定激励下相同。 说明一阶电路的响应 求f(t)的方法是待定系数法或相量法。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 31 4. 解题指导 换路前：iL(0)= -IS= -2A 求换路后的戴维宁电路 S Us + + - - (t= =0) iL R L i Is a b 10V 4H 2W W 2A ? Uoc + + - -

40、 (t0+ +) iL Req L a b =10-22=6 VUoc=Us-Ris Req = R = 2求iL的三个要素： iL(0+ +)= =iL(0- -) = = - -2A iL() = = Uoc / Req= = 6/ /2 = = 3 (A) t t = = L / Req= = 4 / 2 = = 2 (s) f(t) = = f() + + f(0+ +)- - f() e - - t t t iL(t)3- -23 2 iL(t)= =3- -5e- -0.5t A i(t)= = IS + + iL(t) = = 5 - - 5 e- -0.5t A 例1 Jian

41、gSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 32 例2：电路如图，求uL。 S iL + + - - 2A uL 4W W 2W W 4W W 1 2 - - + + 8V i1 + +- - 2i1 0.1H 解：iL(0+) = iL(0_)= - 4A 求换路后的戴维宁电路。 Uoc= 4i1+ 2i1=12V Req= = = =10

42、W W U i = = (4+ +4)i1+ + 2i1 i1 S iL + + - - 2A uL 4W W 2W W 4W W 1 2 - - + + 8V i1 + +- - 2i1 0.1H (t0) Req U i iL Uoc + + - - (t0+ +) Req L + + - - uL 0.1H JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, Apr

43、il 21, 2021 33 uL() = = 0 t t = = Req L = = = = 0.01s 10 0.1 得 uL= =52e- -100t V 代入三要素公式 u(t) = = u()+ + u(0+ +)- -u() - - t t t e 也可以先求iL： uL=L dt diL = 0.01s iL(0_)= - 4A = iL(0+) iL()= Uoc / Req= 1.2A iL =1.2-5.2e-100t A 再由求出uL。 uL(0+ +) = =Uoc- - Req iL(0+ +)= =12 - -10(- -4)= =52V JiangSu Unive

44、rsity Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 34 二阶电路的动态分析，原则上与一阶电路相似，那就是 列方程、解方程。 由于二阶线性微分方程有两个特征根，对于不同的二阶 电路，它们可能是实数、虚数或共轭复数。因此动态过 程将呈现不同的变化规律。 分析时由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减 放电，还是振荡放电，还是临界放电状态。 JiangSu Univer

45、sity Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 35 C + + - - uC + + - - S (t= =0) + + - - uL R L + +- - uR i U0 I0 典型电路分析(RLC串联) 1. 列写方程 i = = duC dt - - C Ri = -= -RCuL = = L di dt = -= - LC d2uC dt2 由KVL：-u

46、C + Ri + uL = 0 LC d2uC dt2 duC dt + + RC+ + uC = = 0 代入上式得二阶齐次微分方程 duC dt 若以电容电压为变量则有 uC(0+)=U0 ，i(0+) = 0 初始条件为 或 duC dt = t=0+ (t0+ +) C i(0+) = 0 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2

47、021 36 2. 解方程 特征方程的根 特征方程 LCp2+RCp+1=0 p1= 2L R + 2L R 2 - LC 1 p2= 2L R 2L R 2 - LC 1 (1)特征根只与电路参数和结构 有关，与激励和初始值无关。 (2)当R、L、C的参数不同时， 特征根有不同的形式。 (1) R2 3.分析三种情况 p1、p2 是两个不相等的负实根。 L C uC = A1e p1t+ A2e p2t 解的形式为 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lecture

48、d By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 37 A1= p2 -p1 p2U0 A2= p2-p1 p1U0 由初始条件求得 所以uC = p2 -p1 U0 (p2e p1t-p1e p2t ) p1 p2 = LC 1 考虑到 duC dt i = = - - C uL= = di dt L = -= - (p2 - -p1) U0 (p1e p1t- -p2e p2t ) = = - - L(p2 - -p1) U0 (e p1t- -e p2t ) JiangSu University Of Sci

49、ence and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 38 tm 2tm uCuL i o t uC ,uL, U0 i | p2 | | p1| uC 第1项较大，且衰减较慢。 故占主导地位。 总有uC0、i0 ，说明C一直 在释放电能。称非振荡放电或 过阻尼放电。 分析分析 tm= = p1- - p2 ln( (p2p1) ) i从0开始，到0结束，有极值。 令 (di/dt) = 0

50、得i达到 imax的时刻为： JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 39 C + + - - uC + + - - + + - - uL R L + +- - uR i U0 tm 2tm uCuL i o t uC ,uL, U0 i | p2 | | p1| 0tm：C 的电场能转化为L 的磁场能和R的热能。 tm：uL变负

51、，C 的电场能 和L的磁场能都转化为R的热能。 能量释放完毕，过渡过程结束。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 40 (2) 令 2L R d d = = LC 1 w w2 = =- - 2 2L R 则 p1= =- -d d + +jw w ， p2= =- -d d - -jw w R临界电阻,为过阻尼电路。 R 0

52、+和t t0+和t 0+和t t0 后电路的全部性状。 uC 、iL 就是该电路的一组状态变量。其余各量都能用 uC、iL表示。 C + + - - uC + + uR - - + + - - RL + + uL - - iL uS S JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 69 状态变量不是唯一的 G状态变量是一组独立的 动态

53、变量。 A对线性电路而言，选uC、 iL作为状态变量很合适。 对非线性电路，有时会选 qC、L作为状态变量。 将iL= (uR /R )代入上述方程 duC dt = 0 += 0 + RC 1 uR + 0 duR dt = -= - L R uC - - L R uR + L R uS C + + - - uC + + uR - - + + - - RL + + uL - - iL uS SduC dt = 0 += 0 + C 1 iL + + 0 diL dt = -= - L 1 uC - - L R iL + L 1 uS uC、uR也是该电路的一组状态变量。 JiangSu Un

54、iversity Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 70 用状态变量表达的一组独立 的一阶微分方程称为状态变 量方程，简称状态方程。 写成矩阵形式： duC diL dt dt = = 0 C 1 - - L 1 - - L R uC iL + + 0 0 0 L 1 iS uS 令 x1 = uC x2 = iL 系数矩阵系数矩阵A系数矩阵系数矩阵B x1 =

55、 . dt duC x2 = . dt diL duC dt = 0 += 0 + C 1 iL + + 0 diL dt = -= - L 1 uC - - L R iL + L 1 uS JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 71 则 状态方程具有更简洁的形式： 若 . x def x = = x1 x2 T， v = =

56、iS uS T . x = = A x + B v . x1 . x2 T ， 标准形式 . x 和 x 为n阶列向量；则 = A+ B x1 . x2 . x1 x2 iS uS x 称为状态向量，v 称为输入向量。 F若电路具有n个状态变量， m个激励源。 矩阵A为nn阶方阵； v 为 m 阶列向量；矩阵B为nm阶矩阵。 状态方程的编写方法：直观法和系统法。 较简单的电路用直观法，复杂的电路用系统法。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By X

57、uebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 72 3. 状态方程的编写 C在线性电路中，选独立的 电容电压和独立的电感电 流作为状态变量编写状态 方程和求解最方便。 直观法的编写步骤 在状态方程中，要包含对状态变量的一次导数： (1)对只含一个C的结点列KCL方程； (2)对只含一个L的回路列KVL 方程； (3)列其它方程(若有必要)，消去非状态变量。 C + + - - R2 L 2 i1 uS R1 + +- - uC L1 i2 iS i2+ +iS 0 JiangSu University Of Science

58、 and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 73 列出以uC、 i1和i2为状态 变量的方程。解： 1 2 C dt duC = - i1- i2 G GL1 dt di1 = uC - R1(i1+i2) + uS = uC - R1(i1+i2) + uS -R2(i2+iS) iR1 iR2 对只含一个C的结 对只含一个L的回路列KVL方程 点列KCL方程 L2 dt di2 A A

59、J方程中不含非状 态变量，不用列 其它方程。 iR1iR2 C + - R2 L 2 i1 uS R1 +- uC L1 i2 iS i2+iS i1+i2 0 非状态变量已预 先做了处理 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Wednesday, April 21, 2021 74 2. 系统法的编写步骤 (1)选特有树； o 将所有的电容支路与电压源支路取为树支； 将所有的电感支路与电流源支路取为连支。 (2)对单树支割集列KCL方程； (3)对单连支回路列KVL方程； (4)对KVL方