专题五：圆锥曲线B-教师版-苏深强

1、圆锥曲线 基础知识： 1 直线与圆的方程； 2椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、：、-、渐近线 基本方法： 1. 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数-、 -等等； 2. 齐次方程法：解决求渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3. 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化 完成 要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4. 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。 5. 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向 上的距离问题、比例问题

2、、坐标问题； 基本思想： 1. 常规求值”问题需要找等式， 求范围”问题需要找不等式； 2. 是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3证明 过定点”或 定值”总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明 与此变量无关； 4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象 表示为变量的函数，再解决； 5有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关 键是积累 转化”的经验； 6大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然 产生思路。 一、求直线、圆锥曲线方程、弦长、渐近线等常规问题 例.【浙江理数】设 、分别

3、为双曲线(-0、，0)的左、右焦点.若在 双曲线右支上存在点 丄二，满足卜几卜广尺，且 到直线 二 的距离等于双曲线的实轴长， 则该双曲线的渐近线方程为() A.女= Q B.= Q C. 4乳土了7=0 D.、怎4丿=。答案】C 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 二、“是否存在”问题 例( 14分)已知定点A (-2, -4)，过点A作倾斜角为45度的直线L,交抛物 线.”(厂0)于B、C两点，且线段BC长为、。 (I)求抛物线的方程； (II )在(I)中的抛物线上是否存在点 D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由。 (答：。

4、存在点 D (2, 2)或(8, -4) 例.【北京理数】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A (-1,1 )关于原点O对称，P是 1 动点，且直线 AP与BP的斜率之积等于 (I求动点P的轨迹方程； (n设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点 P使得 PAB与 PMN的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。 、过定点、定值问题 例、(14分)已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上， 的三个顶 点都在抛物线上，且 的重心为抛物线的焦点，若 BC所在直线L的方程为 4x+y-20=0. (I求抛物线S的方程； (n若0是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两

5、动点，且满足 o试说明动 直线PQ是否过一个定点。 (答：*，定点为 M (16, 0) 才 H 例.(14分已知椭圆C:( 0)，过焦点垂直于长轴的弦长为1,且 焦点与短轴两端点构成等边三角形。 (I求椭圆的方程； (n过点Q ( 1，0)的直线L交椭圆于A、B两点，交直线x = 4于点E，设 庶I烤， o求证：为定值，并计算出该定值。 点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转 化，比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。 例( 14分)过抛物线(0)的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于 A、B两点，如果|(O为原点)的面积是S,求证：-为定值。(答： -) 点

6、评：证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结 果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为 零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。 四最值问题 例（ 14分）定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 上移动，记线段AB 的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点 M的纵坐标。（答：最短距 离为，M的纵坐标为） 点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法 （转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。 五、求参数范围问

7、题。 常用思路：寻找不等式。将各限制条件都列出，再求交集。不要遗漏限制条件。 常用建立不等式的途径： （1直线与曲线有交点时判别式大于等于零； 2圆锥曲线中变量X、丫的取值范围； 3点与曲线的位置关系，如弦的中点在曲线内 部； 4已知题设中有的范围； 5正弦函数、余弦函数的有界性； 6均值不等式； 7焦半径的取值范围； 8函数的值域； 9三角形图形中两边之和大于第三边。 例：1若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆恒有公共点，则t的取值 范围为.（答：|,?） 兰+厶 2.【福建文数】若点 O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任 意一点，则的最大值为（） A. 2B. 3C. 6

8、D. 8【答案】C （利用圆锥曲线中变量 X Y 的取值范围；） 邑亠必三1 3. 若M是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左、右焦点，贝U IT阴的最大值为；（答：9）（利用均值不等式） 4若点P是抛物线.上的一个动点，则点P到点（0, 2）的距离与点P到准线 Vn 的距离之和的最小值为 ；（答：* ）（利用三角形两边之和大于第三边 ） 六、规范解题 解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一 小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法 结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤： 一设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在

9、与不存在；设为 y=kx+b与x=mmy+n 的区别） 二设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它 ，即“设而不求”） 三则联立方程组； 四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 五根据条件重转化；常有以下类型： “以弦AB为直径的圆过点0” 0 OA J_ OB （提醒：需讨论K是否存在） “点在圆内、圆上、圆外问题” j “直角、锐角、钝角问题” 0 斗巧 *MZ0； “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）; “共线问题” （如: r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A、O B三点共线直线OA与 0B斜率相等）； “点、线

10、对称问题” 坐标与斜率关系； “弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 六则化简与计算； 七则细节问题不忽略； 判别式是否已经考虑； 抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 七、站在系统的高度探究问题的本原 “直线与圆锥曲线的位置关系”中文科主要考察“直线与抛物线”，这里就仅举直线与抛物线 的位置关系为例。 请证明以下命题： - 案例一：抛物线丿，二总（0），过焦点F （，0）作一条弦AB交抛物线于A、B 两点，其中A（, ）、B（，）。如图 （一）有关定值问题: （5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦 AB, CD,则 （二）与数列有关的问题 （1）AB为

11、焦点弦，T为准线上任意一点，则 TA TF、 TB的斜率成等差数列； （2）AB为焦点弦，过点 A、B的切线相交于点 M 则期、跑、网成等比数列； （三）有关圆的问题 （1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； （2）以为直径的圆与抛物线的弦 AB相切； （3）以AF为直径的圆与y轴相切; （4）以BF为直径的圆与y轴相切； （5） 其中性质（1） 抛物线的准线与x轴的交点 E在以AB为直径的圆外。 （四）有关共线问题 （1） A O三点共线; （2） B、O三点共线; （五）有关平分问题： EF平分庖严厂二- （六）有关面积问题 1 (1) :-1 ii - L ; r-v AB (3) 1 4 Fif, （七）有关定点问题 符合以上任一条性质的弦 AB过一定点F