电子科技大学矩阵理论课件!

1、返回 3 3 特征值与特征向量特征值与特征向量 n n n AC,C xC , ? ? ? ? 令如果存在和非零向 量使 定义 1 Axx,A xA ? ? ? 则叫做 的特征值， 叫做 的属于特征值的 特征向量. 一、特征值和特征向量的概念 返回 的所有特征值的全体，叫做 的 AA谱, 记为 (A) .? 1 1 r nn r | EA| ()()?L 1 项式，其中叫做 r ii i nn , n ? ? ? 代数重数. 如果） ii rank(EAn m,? 叫做特征多 的 i ? 叫做的 ii m?几何重数. 返回返回 定理定理 1 1 12 n n ACr,? ? ? 若若有有 个不

2、同的特征值个不同的特征值 12 重数分别为则必 r n , n ,n ,L 1 11rr PAPJdiag( J (),J ()? ? ?L 矩阵叫做的标准形。 JAJordan 其代数其代数 r ,?L 存在可逆矩阵使得 n n PC, ? ? 定义 2 可对角化矩阵可对角化矩阵 . 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵 nn AC, ? ?若若 使得使得 nn PC, ? ? 1 12n PAPdiag(,)? ? ?L 则矩阵叫做 A 返回返回 JordanJordan 矩阵的结构与几个结论矩阵的结构与几个结论 : : (1)Jordan 块的个数 r是线性无关特征向量的个数; (2) 矩阵

3、可对角化,当且仅当r=n; (3) 相应于一个已知特征值的Jordan 块的个数是该 特征值的几何重数, 它是相应的特征子空间的维数, 相应于一个已知特征值的所有Jordan 块的阶数之 和是该特征值的代数重数. (4) 特征值的几何重数代数重数. (5) 矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关. 返回 定理 2 令 n n AC, ? ?则下列命题等价： (1) 是可对角化矩阵 A; (2) 存在由 的特征值向量构成的一组基底。 n CA (3) A的Jordan 标准形中的 Jordan 块都是一阶的。 (4)1 2 ii mn (i,n)?L 二、特征值和特征向量的几何性质 1. 线性变换

4、 (V-n维线性空间 ) T T VV V,V? ? ? ? ? (V中任一元素 有中唯一确定的 元素与之对应), ? ? 则称 T为V的变换. 返回 设 是线性空间的一个线性变换，如果存在 n TV (C) 则叫做 的特 T? 特征向量。 1 定义 和非零向量使得 n CV (C ),T,? 征值，叫做 的属于特征值的 T? 3. 线性变换的特征值 2. 线性变换 T为V的变换且满足 n P 1 2 ,V,T() T( ) T( ) k PT(k ) kT( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 则称 T为V的线性变换. 例:在线性空间中 ,求微分是一线性变换, 即 n

5、 Df(t)f (t), f(t)P .? 返回 2. 线性变换与矩阵线性变换与矩阵 V-n 维线性空间, 11n ,?L 为基,T-V 上的线性变换 1122 111 nnn iiiinini iii Ta,Ta,Ta? ? ? ? L 则有 ? ? 1212nn T,T,T,T? ?LL 矩阵A称为线性变换T在基下的矩阵. 11n ,?L ? 11121 21222 1212 12 n n nn nnnn aaa aaa ,A aaa ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L L LL MMM L 返回 12 11 n , TA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L 故 ? 12

6、1 n T n iin i x,T,xx ,x ,xC? ? ? ? L 即得Axx? 3. 线性变换与矩阵特征值关系 ? 1 1212 n ii i nn TxT T,T,Tx,Ax ? ? ? ? ? ? ? LL 返回返回 三、广义特征值问题三、广义特征值问题 设设 、如果存在如果存在和非零向量和非零向量使得使得 n nn A BC,CxC ,? ? ? (1-3)AxBx? 广义特征向量广义特征向量。 则称 为矩阵 与 确定的 A B?称为与 对应的 x? 广义特征值，广义特征值， (1) 如果B 可逆时，式(1-3)可化为 1 (1-4)B Axx? ? ? 返回 (2) 当A、B都

7、是Hermite矩阵，即 、 HH AABB? 且 B 正定时，有 且正定 H BB? 存在可逆矩阵P H BP P? 则(1-3)式化为 H AxP Px? xyPPxy? ?1 , 则记 11) ( ? ?APPQ H 11 ()HPAP yy? ? ? Qyy? QQH? 1 广义特征值都是实数 n ,?L n yy, 1 ? 存在标准正交基 H ijij y y? ii Pxy ? HHHHH ijijijij y y(Px ) (Px )xP PxxBx? H ijij xBx.? 返回 12 12 12 12 101 2 2 3 4 设矩阵，且 正定，与 共扼 向量系具有以下性质，

8、 （ ） （ ）线性无关 （ ） 与 满足方程 （ ）若令 HH n i n iiiii n HH n n nAA , BBBB x , x ,x x(i,n) ; x , x ,x; xAxBx ; X(x , x ,x ) , X BXE, X AXdiag(,) ? ? ? ? ? ? ? L L L L L 6 定理 返回 3 欧氏空间和酉空间 定义 1 ? n V R, ,V, , ? ? ? ? ? 在线性空间( )上， 若映射()满足 (1)() ()0()00,;,? ? ? 正定性 (2)() ()()k ,k,? ? ? 齐次性 (3)():()=(),? ? ? 交换律

9、(4)(): ()()()?,? ? ? ? 分配律 ()( ) n ,V R,V n ? ? 则映射是上的内积 定义了内积的为 维欧几里得空间, 简称欧氏空间. nn nT ,R ,A R, ( , )A? ? ? ? ? 设则 上的内积吗？是 n R 例 返回 11 1: ()()? TTn nn a ,a,b ,bR ,?LL 例若规定 1 () ? ? ? n ii i ,ab? ? n ,R. 则上式定义了一个内积是内积空间 2: ? C a,ba,bR f(x),g(x)a,b 例表示在所有实连续函数的全体, 其构成上的 线性空间,规定 ( ( )( )? ? b a f x ,g

10、 xf(x)g(x)dx :C a,b 证明是欧氏空间. b a f(x),g(x),f(x)g(x )dx? ? 是唯一确定实数是唯一确定实数 返回 ?1 bb aa f ,gf(x)g(x )dxg(x )f(x)dxg, f? ? ? ?2 bb aa kf,gkf(x)g(x)dxkf(x)g(x )dxk f ,g? ? ? ? ? ? 3 b a bb aa fg,hf(x)g(x ) h(x)dx f(x)h(x )dxg(x )h(x)dxf ,hg,h ? ? ? ? ? ? 2 40 bb aa f , ff(x)f(x)dxf (x)dx? ? 且且 2 00 b a f

11、 (x )dxf(x)? ? 返回 11 ijn nijn n nn TT ijij ij A(a ),B(b ) tr(B A)a btr(A B)(A,B)(B,A) ? ? ? ? ? 11 nn T ijij ij ( , ): A,B V,(A,B)a btr(A B) ? ? ? ? n n VR,V(R), ? ?例3：若规定内积如下 TTT (kA,B)tr(kA) Btr(kA B)ktr(A B)k(A,B)? ? 2 1111 0 00120 nnnn T ijijij ijij ij (A,A)tr(A A)a aa, (A,A)ai,j, ,nA ? ? ? ? L

12、TTTTT TT (AB,C )tr(AB) Ctr(AB )Ctr(A CB C ) tr(A C )tr(B C )(A,C)(B,C ) ? ? 返回 1212 1 n nnii i (a ,a ,a ),(b ,b ,b ),( , ):(,)iab? ? ? ? ? ? LL VR,V(R),?例4：若规定内积如下 11 nn iiii ii (,)iabiba(,)? ? ? ? ? ? 11 nn iiii ii k,(k ,)ikabkiabk(,)? ? ? ? ? ? 12 111 Tn n nnn iiiiiii iii (c ,c ,c )R (, )i(ab )cia

13、cibc(, )(, ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? L 2 11 000 nn iii ii (,)iaaia,(,)? ? ? ? ? ? 返回 定义: (), =() ? nijij ijn V,a, A a,Gram. ? ? ? L L 1 1 设,是欧氏空间一组基 令 则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵 定理: (1)? T AA; 1 11 (2) ()()()= n TTT nn ,V, , xx ,x,yy ,y,x Ay; ? ? ? ? ? ? ? L LL 在基下的坐标分别为 则 1 (3)0( ,)0 T n V,x ,x Ax.?L 必有 =() ijn A

14、aV , ?L 1 设矩阵为欧氏空间 的一组基,的 度量矩阵 则 返回 酉空间酉空间 定义 3? n V C, ,V, , ? ? ? ? ? 在线性空间( )上， 若映射()满足 (1)() ()0()00,;,? ? ? 正定性 (2)() ()()?k ,k,? ? ? 齐次性 (3)():()=(),? ? ? 交换律 (4)(): ()()()?,? ? ? ? 分配律 ()( ) n ,V C,V n ? ? 则映射是上的内积 定义了内积的 为 维酉空间. 返回 11 1: ()()? TTn nn a ,a,b ,bC ,?LL 例若规定 1 () ? ? ? n H ii i

15、,ab? ? ? n ,C. 则上式定义了一个内积是酉空间 返回 定义: (), =() ? nijij ijn V,a, A a,Gram. ? ? ? L L 1 1 设,是酉空间一组基 令 则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵 定理: (1)? H AA; 1 11 (2) ()()()= n TTH nn ,V, , xx ,x,yy ,y,x Ay; ? ? ? ? ? ? ? L LL 在基下的坐标分别为 则 1 (3)0( ,)0 H n V,x ,x Ax.?L 必有 =() ijn A aV , ?L 1 设矩阵为酉空间 的一组基,的 度量矩阵 则 返回返回 : (), () ?

16、 ? VV,: | |, ? ? ? 定义定义 设设 是酉是酉 欧氏欧氏 空间空间的长度定义为的长度定义为 定理Vn酉(欧氏)空间,则向量长度具有以下设 是 维的性质: (1)000?| |,| |? (2)?|k | |k| |?g (3)?| | | |? ?(4)()|,| | |,Cauchy Schwarz , ? ? ? ? ?g 不等式 等号成立的充要条件是线性相关. 返回 定义定义 ,V , ,. | ? ? ? ? ? ? ?g 设是欧氏空间的两个非零向量 ,它们之间的夹角定义为 () =arccos T2 T2 (111)(1 11 11) nn :, ,R, ,R.?LL

17、例 设 返回 定义 3 d( x, y)|xy|?的距离和向量 yx 定义 4 0),(?yx xyxy? 向量 和 正交,记为 勾股定理：yx ? 222 |yxyx? 垂线最短定理：中的一个固定向量欧氏空间)(RV n . 的距离“垂线最短”和一个子空间中各向量 返回返回 ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( ),( 21 22212 12111 1 kkkk k k k G ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 12k nV,Gram:? ?L 维欧氏空间 中向量的行列式 定义定义5 返回返回 行列式的性质：行列式的性质： Gram 12k nV,?L 定理: 维

18、欧氏空间 中向量组， ，线性相关 12 ()0 k G?L 的充要条件是， ， ， i ? ? ? 分别与作内积得方程组 1111221 ()0 kk x,x,x? ? ?L,)+)+ 1122 0 kk xxx?L 证:+ 2112222 ()0 kk x,x,x? ?L,)+)+ M 1122 ()0 kkkkk x,x,x?L,)+)+ 返回 补充:初等矩阵 ()= n H u,vC ,C , E u,v,Euv. ? ? ? ? 设则称 为初等矩阵 定义 1 00u,v,.? 1.初等矩阵的特征向量() 一、初等矩阵的一般形式 1111nn uv ,u ,uv,u,u ,u E( u,v ,)n? ? ? ?LL (2) 设是的一组基则 是的 个线性无关的特征向量. 11 1 n uv ,u ,uv,E( u,v,) n ? ? ? ? ? L(1) 设是的一组基 它们也是的 个线性无关的特征向量. 返回 3( ()=1 H .det E u,v,v u? 1111 H E u,v, , ,v u?L 2.初等矩阵的特征值 ( ()= n H a,bCu,v, ab E( u,v,)ab,(u) v a ? ? ? ? ? 5.非零向量,存在使得 . 1 (10) 1 H