32圆的对称性（一）

1、练 习 6、一个点到已知圆上的点的最大距离是、一个点到已知圆上的点的最大距离是8，最，最 小距离是小距离是2，则圆的半径是，则圆的半径是_ 5、如图，如图，ABC中，中，C=90， BC=3，AC=6，CD为中线，为中线， 以以C为圆心为圆心,以以 为半径作圆，为半径作圆， 则点则点A、B、D与圆与圆C的关系如何？的关系如何？ D C B A 5 2 3 、设厘米，画图并说明满足下列、设厘米，画图并说明满足下列 要求的图形：要求的图形： 到点的距离等于厘米的所到点的距离等于厘米的所 有点组成的图形；有点组成的图形； 到点的距离小于厘米的到点的距离小于厘米的 所有点组成的图形所有点组成的图形.

2、. BA （以点为圆心，厘米长为半（以点为圆心，厘米长为半 径的圆）径的圆） （以点为圆心，厘米长为半径（以点为圆心，厘米长为半径 的圆的内部）的圆的内部） BA （分别以点、为圆心，厘米（分别以点、为圆心，厘米 长为半径的长为半径的 和和 的的交点交点） （1 1）到点、的距离都等于厘米的所有点组成）到点、的距离都等于厘米的所有点组成 的图形；的图形； 设厘米，画图并说明满足下列要求设厘米，画图并说明满足下列要求 的图形：的图形： 思考题：思考题： 如 图如 图 , , 一一 根根5m5m长的绳子长的绳子, , 一端栓在柱子一端栓在柱子 上上, ,另一端栓另一端栓 着一只羊着一只羊, ,请请

3、 画出羊的活动画出羊的活动 区域区域. . 用一用用一用 5 5 5m o 4m 5m o 4m 正确答案正确答案 九年级数学九年级数学(下下)第三章第三章 圆圆 2. 圆对称性圆对称性(1)垂径定理垂径定理 圆的对称性圆的对称性 n圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？ 想一想想一想P96 如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到你能找到 多少条对称轴？多少条对称轴？ O 你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ? n圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？ 如果是如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ? 你又是用什么方法解决这个你又是

4、用什么方法解决这个 问题的问题的? ? 圆的对称性圆的对称性 n圆是轴对称图形圆是轴对称图形. . 想一想答案想一想答案P96 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无 数条对称轴数条对称轴. . O 可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. . n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形. . 它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. . 用旋转的方法即可解决这个用旋转的方法即可解决这个 问题问题. . 圆的相关概念圆的相关概念 n圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧. n直径直径将圆分成

5、两部分将圆分成两部分,每一部分都叫每一部分都叫 做做 n半圆半圆(如弧如弧ABC). 读一读读一读P97 驶向胜利 的彼岸 n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB). O n经过圆心弦叫做经过圆心弦叫做直径直径(如直径如直径AC). AB n以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧 AB”. AB n小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用用 两个字母两个字母). AMBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母). A B C M D AM=BM, 垂径定理垂径定理 nA

6、B是是 O的一条弦的一条弦. n你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说 说你的想法和理由说你的想法和理由. 做一做做一做P99 驶向胜利 的彼岸 n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M. O n右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么? n小明发现图中有小明发现图中有: AB C D M AmB n由由 CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. 垂径定理垂径定理 n如图如图,小明的理由是小明的理由是:n连接连接OA,OB,OA,OB, 做一做做一做P99 驶向胜利 的彼岸 O AB C

7、 D M 则则OA=OB. 在在RtOAM和和RtOBM中中, OA=OB，OM=OM， RtOAM RtOBM. AM=BM. 点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称, 当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B 重合重合, AC和和BC重合重合, AD和和BD重合重合. AC =BC, AD =BD. 垂径定理垂径定理三种语言三种语言 n定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. n老师提示老师提示: n垂径定理是圆垂径定理是圆 中一个重要的中一个重要的 结论结论,三种语言三种语言 要相

8、互转化要相互转化,形形 成整体成整体,才能运才能运 用自如用自如. 想一想想一想 P99 驶向胜利 的彼岸 O AB C D M CDAB, 如图如图 CD是直径是直径, AM=BM, AC =BC, AD=BD. 例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，中， 弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到 AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的的 半径。半径。. AB O 讲解讲解 E 例例3 已知：已知： O中弦中弦 ABCD。 求证：求证：ACBD . CD AB O 讲解讲解 M 垂径定理垂径定理 n定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所对并且平分

9、弦所对 的两条弧的两条弧. . O AB C D M CDAB CD是直径是直径 AM=BM, AC =BC, AD=BD. 可推得可推得 挑战自我挑战自我画一画画一画 如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长. A BC D 0 E F GH M N CDAB, 垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM. 过点过点M作直径作直径CD. O C D 由由 CD是直径是直径 AM=BM 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. M AB 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的

10、直径垂直于弦, 并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗? 垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 n如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论. O AB C D M CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC, AD=BD. 垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理 O AB C D M 条件 结论命题 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,

11、并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的 另一条弧另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平 分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦 ,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条

12、弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. 试一试试一试P99 驶向胜利 的彼岸 挑战自我挑战自我填一填填一填 n1、判断：、判断： n 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两 条弧条弧. （ ） n平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧另一条弧. （ ） n经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） n弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 试一试试一试P93 挑战自我挑战自我画一画画一画 n2、已知：如图，、已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求求 O 的半径