试验数据存在的误差解析

1、第一章 试验数据的误差 分析 Error analysis 试验数据存在的误差解析 1.1真值与平均值 真值（true value） 在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实 际值。 平均值（mean） 算数平均值（arithmetic mean） 加权平均值（weighted mean） 几何平均值（geometric mean） 试验数据存在的误差解析 算数平均值 算术平均值公式算术平均值公式 只适用于有限个数值只适用于有限个数值n yyy y n 21 同样试验条件下，如果多次试验值服从正态分布，则同样试验条件下，如果多次试验值服从正态分布，则 算数平均值是这组数据中的最佳值或最可信赖值

2、。算数平均值是这组数据中的最佳值或最可信赖值。 试验数据存在的误差解析 加权平均值 不同的方法获得的，或有不同的试验人员得到的，采用加 权平均值。 在每一个数的权数相同的情况下，加权平均值就等于算数 平均值。 例：成绩计算 n i i n i ii nn x xxx x 1 1 111 2211 _ 试验数据存在的误差解析 几何平均值 当一组实验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时， 宜采用几何平均值。一组实验值的几何平均值常小于他们 的算术平均值 两边取对数n n n n Gxxxxxxx 1 2121 _ n x x n i i G 1 _ lg lg 试验数据存在的误差解析 1.2误差

3、的基本概念 绝对误差 相对误差 算术平均误差 标准误差 试验数据存在的误差解析 误差公理 误差公理：测量结果都有误差，误差自始至误差公理：测量结果都有误差，误差自始至 终存在于一切科学实验和测量过程中。终存在于一切科学实验和测量过程中。 测量仪器、测量方法、测量人员、测量环境测量仪器、测量方法、测量人员、测量环境 、测量对象等都会产生误差。、测量对象等都会产生误差。 例：例：用台式血压计测量人体血压。用台式血压计测量人体血压。 试验数据存在的误差解析 绝对误差(Absolute error ) 定义：被测量的测量值与其真值之差；或 者为用绝对大小给出的误差为该量的绝对 误差。简称误差。 绝对误

4、差绝对误差= =测量值测量值- -真值真值 0 xxx 其中其中 为绝对误差；为绝对误差； 为测得值；为测得值； 为被测量的真值为被测量的真值 。 xx 0 x 试验数据存在的误差解析 关于绝对误差 （1）一般所说的误差就是绝对误差； （2）绝对误差具有确定的大小、计量单位和“+”、“-”号。 反映测量值偏离真值的大小与方向，通常用于同一量级的 同种量的测量结果的误差比较。 （3）绝对误差数值大小与所取单位有关。 例：某加工车间加工一批直径为50mm的轴，抽检两根轴的 直径分别为49.9mm和49.8mm，两根轴的绝对误差为 mm2050849 mm1050949 2 1 .x .x 试验数据

5、存在的误差解析 相对误差 绝对误差与被测量真值的比值。绝对误差与被测量真值的比值。 相对误差相对误差= =绝对误差绝对误差/ /真值真值 因为测量值与真值比较接近，故也可近似用绝对误差因为测量值与真值比较接近，故也可近似用绝对误差 与测量值的比值作为相对误差。与测量值的比值作为相对误差。 相对误差相对误差绝对误差绝对误差/ /测量值测量值 试验数据存在的误差解析 关于相对误差 相对误差是一个比值，其数值与被测量所取单位无关，因而是无名数 （即无量纲数），通常用百分数“%”表示。 对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，对于不同 被测量以及不同的物理量，采用相对误差来评定较为确切。

6、绝对误差和相对误差通常适用于单值点测量误差的表示。 例：用电压表分别对A、B两电压进行测量，测量结果如下： 试比较两电压测量结果准确度的高低。 2V. 00V5 0V. 10V.100 BB AA .x x 试验数据存在的误差解析 解：解：A A、B B两电压测量结果的相对误差分别为：两电压测量结果的相对误差分别为： 4% 5.0 0.2 1% 100.0 1.0 B B B A A A x r x r 通过比较可知通过比较可知A A的准确度高于的准确度高于B B的准确度。的准确度。 试验数据存在的误差解析 算术平均误差 设试验值 xi 与算数平均值x之间的偏差为di ，则算数平均 误差定义式

7、为： 可能为负，所以一定要取绝对值。 无法表达出个试验值之间的彼此符合程度。 n d n xx n i i n i i 11 _ 试验数据存在的误差解析 标准误差 也称作均方根误差、标准偏差，简称为标准差。当试验次数n无限大时，称为 总体标准差。 次数有限成为样本标准差 1 )( 1 )( 1 2 1 1 2 1 2 _ 1 2 n n x x n xx n d s n i in i i n i i n i i n n x x n xx n d n i in i i n i i n i i 2 1 1 2 1 2 _ 1 2 )( )( 试验数据存在的误差解析 1.3实验数据误差的来源及分类

8、随机误差(random/chance error) 系统误差(systematic error) 过失误差(mistake) 试验数据存在的误差解析 随机误差 在同一测量条件下，多次测量同一量时， 误差的绝对值时大时小，符号时正时负， 以不可预知的方式变化。随机误差是测量 结果减去对同一被测量进行无限多次处理 结果的平均值。 例如：温度的波动、噪声的干扰、磁场的 变化、电源电压的起伏、仪器仪表中传动 部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等 引起的示值不稳定、千分尺测长度时的压 力控制等。 试验数据存在的误差解析 随机误差 随机误差也称偶然误差； 随机误差是由于某些难以控制的偶然因素产生的综合影

9、响而形成的。研究随机误差就是为了了解实验数据的离 散性或重复性问题。 随机误差在大量的重复测量中将遵守一定的统计规律。 随机误差的变化不能预先确定，因此，不能修正，只能 估计而已。 试验数据存在的误差解析 系统误差 在同一测量条件下，多次测量同一量时， 误差的绝对值和符号保持恒定；或在条件 改变时，按一定规律变化的误差。 例如，零点不准，表盘偏心、刻度不均匀、 标准量值的不准确、量具随温度变化等等。 试验数据存在的误差解析 说明： 一定规律的含义：这种误差可以是某一因素或某几个因素 的函数。 实验或测量条件一经确定，系统误差就获得一个客观上的 恒定值，多次测量的平均值也不能减弱它的影响。 对于

10、较主要的系统误差研究得比较深透，规律性掌握得比 较好；对于次要的系统误差，或者需要花费更高代价和时 间研究的暂时为次要矛盾的系统误差，可能掌握得不好或 者未掌握其规律性。 试验数据存在的误差解析 过失误差 明显超出在规定条件下预期的误差。 特征：明显的歪曲测量结果。成因可归纳 为测量条件突变或人为因素。 例如：例如：测量时对错了标志、读错或记错了数、使用有缺陷测量时对错了标志、读错或记错了数、使用有缺陷 的仪器、在测量的仪器、在测量 时因为操作不细心而引起过失性错误、时因为操作不细心而引起过失性错误、仪仪 器失灵、实验条件突变，工作人员疲劳工作、责任心不强器失灵、实验条件突变，工作人员疲劳工作

11、、责任心不强 、技术水平不高、生理机能限制、测量方法错误等。、技术水平不高、生理机能限制、测量方法错误等。 试验数据存在的误差解析 图图1-21-2反映了三类反映了三类 误差的关系及对测误差的关系及对测 量结果的影响。量结果的影响。 三类误差的关系 试验数据存在的误差解析 1.4实验数据的精准度 精密度(precision) 正确度(correctness) 准确度(accuracy) 精度精度（Trueness)：又称为精确度、精准度，用又称为精确度、精准度，用 来描述测量结果与真值的接近程度。主要分为来描述测量结果与真值的接近程度。主要分为 试验数据存在的误差解析 精密度 精密度反映了随机

12、误差大小的程度，是指在一定的试验条件下，多次 试验值的彼此符合程度。精密度的概念与重复试验时单次试验值的变 动性有关，如果试验数据分散程度较小，则说明是精密的。 甲：11.45，11.46，11.44 乙：11.39，11.48，11.50 甲数据更精密 可以通过增加试验次数的方式达到提高数据精密度的目的。如果试验 过程足够精密，则只需少数几次试验就能满足要求。 试验数据存在的误差解析 正确度 在一定试验条件下，所有系统误差的综合。 试验数据存在的误差解析 准确度 反映了系统误差和随机误差的综合，表示 了试验结果与真值的一致程度。 试验数据存在的误差解析 例如：用射击打靶来描述三者之间的关系。

13、例如：用射击打靶来描述三者之间的关系。 （a a）精密度低，准确度低，即精确度低；）精密度低，准确度低，即精确度低； （b b）准确度低，精密度高；）准确度低，精密度高； （c c）精密度和准确度高，即精确度高。）精密度和准确度高，即精确度高。 试验数据存在的误差解析 三者的区别与联系 对具体的实验或测量来说，精密度高的准 （正）确度不一定高； 准（正）确度高的精确度也不一定高； 精确度高则精密度与准（正）确定都高。 一般希望得到精确度高的实验结果。 精度是一个定性的概念，一般不能用数值 大小来表示，只能讲高低。 试验数据存在的误差解析 1.5实验数据误差的估计与检验 随机误差的估计 系统误差

14、的检验 过失误差的检验 试验数据存在的误差解析 随机误差的估计 对试验值精度高低的判断，大小可以用以 下参数描述： 极差 一组试验值中最大值与最小值的差值。 标准差 随机误差服从正态分布，可以用标准差来反映 随机误差的大小。 方差 标准差的平方。 试验数据存在的误差解析 系统误差的检验 相同条件下的多次重复试验不能发现系统 误差，提高试验结果的正确度。 只有形成系统误差的条件才能发现系统误 差。 怎么办？ 试验数据存在的误差解析 秩和检验法（Rank sum test） 秩和检验方法最早是由维尔克松提出，叫 维尔克松两样本检验法。后来曼惠特尼将 其应用到两样本容量不等（ ）的情况， 因而又称为

15、曼惠特尼U检验。 这种方法主要用于比较两个独立样本的差 异。 试验数据存在的误差解析 秩的定义 (rank) 设X为一总体，将容量为n的样本观察值按自小到大的次序编号排列成 x(1) x(2) . x(n),称x(i)的足标i为x(i)的秩，i = 1,2,.,n。 例如：某施行团人员的行李重量数据如表： 重量（kg）34 39 41 28 33 写出重量33的秩。 因为2833343941，故33的秩为2。 特殊情况： 如果在排列大小时出现了相同大小的观察值, 则其秩的定义为足标的 平均值。 例如: 抽得的样本观察值按次序排成0,1,1,1,2,3,3, 则3个1的秩均为3 , 两个3的秩均

16、为6.5 . 试验数据存在的误差解析 秩和的定义 现设1，2两总体分别抽取容量为n1,n2的样本，且设两样本 独立。这里总假定 。 我们将这n1 + n2个观察值放在一起，按自小到大的次序排 列，求出每个观察值的秩，然后将属于第1个总体的样本 观察值的秩相加，其和记为R1，称为第1样本的秩和，其 余观察值的秩的总和记作R2，称为第2样本的秩和。 R1和R2是离散型随机变量，且有 试验数据存在的误差解析 秩和检验法的定义 秩和检验是一种非参数检验法, 它是一种用 样本秩来代替样本值的检验法。 用秩和检验可以检验两个总体的分布函数 是否相等的问题 如果两个样本来自两个独立的但非正态获形态不清如果两

17、个样本来自两个独立的但非正态获形态不清 的两总体，要检验两样本之间的差异是否显著，需的两总体，要检验两样本之间的差异是否显著，需 采用秩和检验采用秩和检验 秩和检验的适用范围秩和检验的适用范围 试验数据存在的误差解析 秩和检验的方法 两个样本的容量均小于10的检验方法 检验的具体步骤： 第一步：将两个样本数据混合并由小到大进行等级排列（最 小的数据秩次编为1，最大的数据秩次编为n1 + n2）。 第二步：把容量较小的样本中各数据的等级相加，即秩和， 用T表示。 第三步：把T值与秩和检验表中某显著性水平下的临界值相 比较，如果T1 T T2，则两样本差异不显著；如果 T1 T 或 T T2，结论

18、是：男女生的英语成绩存在显著差异。，结论是：男女生的英语成绩存在显著差异。 试验数据存在的误差解析 过失误差的检验 在试验数据的整理过程中会有几个偏差特别大的可疑数据， 他们往往是由过失误差引起的。 取舍原则 试验过程中停止试验，分析原因，纠正错误 试验结束后，找出错误原因，进行取舍。 分析结果是，如不清楚产生异常值的原因，应对数据进行统计处 理。 对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选用的统 计方法。 哪些统计方法？ 试验数据存在的误差解析 拉依达准则Pauta 如果可疑数据Xp与试验数据的算术平均值 x 的偏差绝对值大于3倍的 标准差，即： 则将该数据剔除。 适用于试验次数较多

19、或要求不高时，当n10时，采用3s做界限，即 使有异常数据也不能剔除。2s时n f(a,n),则应该剔除x1或xn f(a,n)与显著性水平a及试验次数n有关 计算量最小（无需计算平均值和标准差s） 试验数据存在的误差解析 试验数据存在的误差解析 例：设有15个误差测定数据按从小到大的顺 序排列为：-1.40，-0.44，-0.30，-0.24，- 0.22，-0.13，-0.05，0.06，0.10，0.18， 0.20，0.39，0.48，0.063，1.01，试分析其 中有无数据应该被剔除（ ） 05. 0 试验数据存在的误差解析 检验-1.40 应该被剔除。 根据附表可以查出 40.

20、1 565. 0 585. 0 40. 148. 0 40. 130. 0 )15,05. 0(0 12 13 0 ff xx xx f n 试验数据存在的误差解析 检验1.01 不应该被剔除。 根据附表可以查出 01. 1 586. 0 424. 0 24. 001. 1 48. 001. 1 )14,05. 0(0 314 1214 0 ff xx xx f 试验数据存在的误差解析 注意： 可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个 数据。 剔除一个数据后，如果还要检验下一个数， 应该注意试验数据的总数n发生了变化。 不同的方法检验同一组数据，在相同显著 性水平上可能会有不同的结论。 试验数据存

21、在的误差解析 注意： 当试验数据较多时，采用拉依达准则最简 单，数据少时不行。 格拉布斯准则和狄克逊准则都适用于数据 量较少时的检验。数据越多可疑数据被错 误剔除的可能性越小。 国际标准中，常用格拉布斯准则和狄克逊 准则来检验可以数据。 试验数据存在的误差解析 1.6有效数字和实验结果的表示 有效数字 有效数字的运算 有效数字的修约规则 试验数据存在的误差解析 有效数字（Significant figure) 有效数字：对测量结果进行合理的有效的近似所得到的数据。即含有 误差的近似数，如果其绝对误差界限是最末位数的半个单位，那么从 这个近似数左方起第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一

22、位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，都叫有效数字。 有效数字有效数字“可靠数字可靠数字”“一位可疑数字一位可疑数字” 1.65c m 判断下列数据有效数字位数判断下列数据有效数字位数 ： 15.86； 5.320； 0.0532； 5.32。 试验数据存在的误差解析 有效数字 有效数字的为数可以反映试验的精度或表 示所用试验仪表的精度，不能随便多写或 少写。 小数点的位置不影响有效数字的位数。 尾数的0是不能舍去的。 试验数据存在的误差解析 有效数字的运算 每一个中间数据对于试验结果精度的影响 程度是不一样的，其中精度低的数据影响 相对较大。 应尽可能采用精度一致的仪器或仪表，只 有一两个

23、高精度的仪器或仪表无助于整个 试验结果精度的提高。 试验数据存在的误差解析 1、加减法运算规则 348347.8 2716.30.8-71.3 2716.2620.753-71.3 以小数位数最少的数据位数为准以小数位数最少的数据位数为准 ，其余各数据中间，其余各数据中间 过程多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数过程多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数 据小数位数相同（即末位对齐）。据小数位数相同（即末位对齐）。 试验数据存在的误差解析 以有效数字位数最少的为准，其余数据在中间运算过以有效数字位数最少的为准，其余数据在中间运算过 程中可比位数最少的数据多取一位数字，而最后结果应

24、与有程中可比位数最少的数据多取一位数字，而最后结果应与有 效位数最少的数据位数相同。效位数最少的数据位数相同。 例：例： 39.54.084370.0013 =39.54.080.0013=0.209508=0.21 2、乘除法运算规则 3 3、乘方开方运算规则、乘方开方运算规则 乘方（常用平方、立方）相当于乘法运算，开方是乘方的逆乘方（常用平方、立方）相当于乘法运算，开方是乘方的逆 运算，可按乘除法运算处理。运算，可按乘除法运算处理。 试验数据存在的误差解析 （1 1）对数函数：对数函数：n n位有效数字的数据经对数运算后应取位有效数字的数据经对数运算后应取n n 位或位或n n+1+1位（

25、一般数据的第一位数大于或等于位（一般数据的第一位数大于或等于5 5可以多取一位可以多取一位 ，这是最保险的取法），结果有效位数与数据的有效位数相，这是最保险的取法），结果有效位数与数据的有效位数相 同。同。 例：例：0384ln756.x,.x （2 2）指数运算）指数运算 4 10031249.,e.x x 对于对于ex，指数运算时，把，指数运算时，把ex结果用科学计数法表示，小结果用科学计数法表示，小 数点前保留一位，小数点后面保留的位数与数点前保留一位，小数点后面保留的位数与x小数点后面小数点后面 的位数相同。的位数相同。 例：例： 4、函数的有效数字取位 试验数据存在的误差解析 5、在4以上数的平均值计算中，平均值的有效 数字可增加一位 6、所有取自手册上的数据，其有效数字位数 按实际需要取，但原始数据如有限制，则应 服从原始数据 7、常数的有效数字的位数可以认为是无限的， 例如圆周