九级数学上册 第22章 二次函数章末复习课件（新版）新人教版

1、第二十二章 二次函数 章末复习 第二十二章 二次函数 章末复习 知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接 知识框架 二次函数二次函数 抛物线抛物线y=axy=ax (a0)(a0)的平移的平移 二次函数二次函数 的定义的定义 二次函数与一二次函数与一 元二次方程元二次方程 二次函数二次函数 的图像和的图像和 性质性质 二次函数的二次函数的 解析式解析式 二次函数与实二次函数与实 际问题际问题 二次函数的定义二次函数的定义形如形如y=axy=ax+bx+c(a, b, c+bx+c(a, b, c是常数是常数, a0), a0) 开口方向开口方向 烦烦烦鬼鬼鬼鬼烦烦烦鬼鬼鬼鬼 鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼鬼鬼鬼

2、鬼跟鬼鬼 鬼鬼鬼鬼鬼鬼g g鬼鬼鬼鬼 二次函数二次函数 的图像和的图像和 性质性质 a0, a0, 图像开口向上图像开口向上 a0, a0a0 a0a0；图像开口；图像开口 向下向下 时时, a0；图像与；图像与y轴的交点是轴的交点是 原点时原点时, c=0；图像与；图像与y轴的交点在轴的交点在y轴负半轴上时轴负半轴上时, c0；当图像与；当图像与x轴只有一个轴只有一个 交点时交点时, b2-4ac=0； 当图像与当图像与x轴没有交点时轴没有交点时, b2-4ac0. (5)图像过点图像过点(1, a+b+c)和点和点(-1, a-b+c), 再根据图像上的点的位置可再根据图像上的点的位置可

3、确定式子确定式子a+b+c和和a-b+c的符号的符号. 例例1 已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图的图像如图22-Z-1所示所示, 那么下那么下 列判断不正确的是列判断不正确的是( ). Aac0 Cb=-4a Db2-4ac0 B 分析 选项选项 判断正误判断正误理由理由正确结论正确结论 A正确正确 图像开口向下图像开口向下, a0 ac0 B错误错误图像过点图像过点(-1, 0)a-b+c=0 C正确正确图像的对称轴是直线图像的对称轴是直线x=2, 则则-=2b=-4a D正确正确图像与图像与x轴有两个交点轴有两个交点b2-4ac0 相关题相关题1 解已知二次函数解已知

4、二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图的图像如图22- Z - 2所所 示示, 则下列结论正确的是则下列结论正确的是 ( ). A a0, b0, b2- 4ac0 B a0, b0, b2-4ac0 C a 0, c0 D a0, c0, b2-4ac0 D 解析解析 因为图像开口向下，所以因为图像开口向下，所以a0.因为图像的对称轴在因为图像的对称轴在y轴的右侧，轴的右侧， 所以所以a，b异号，所以异号，所以b0.因为图像与因为图像与y轴的交点在轴的交点在y轴的正半轴上，轴的正半轴上， 所以所以c0.因为图像与因为图像与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以b24ac0.故选故选D. 【

5、要点指导要点指导】利用待定系数法求二次函数的解析式时利用待定系数法求二次函数的解析式时, 可以根据所可以根据所 给给 出的条件设出不同的解析式：一般式出的条件设出不同的解析式：一般式y=ax2+bx+c(a0), 当已知条当已知条 件件 是三个普通点时是三个普通点时, 可选择一般式；顶点式可选择一般式；顶点式y=a(x-h)2+k(a0), 当已当已 知条知条 件是顶点和一个普通点时件是顶点和一个普通点时, 可选择顶点式；交点式可选择顶点式；交点式y=a(x-x1) (x- x2)(a0), 其中其中x1, x2是抛物线与是抛物线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标, 当已知条件是抛物当已知条件是

6、抛物 线线 与与x轴的两个交点及一个普通点时轴的两个交点及一个普通点时, 可选择交点式可选择交点式. 专题二 用待定系数法求二次函数的解析式 例例2 已知二次函数的图像以已知二次函数的图像以A(-1, 4)为顶点为顶点, 且过点且过点B(2, -5). (1)求该函数的解析式；求该函数的解析式； (2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标求该函数图像与坐标轴的交点坐标. 解解 (1)设该函数的解析式为设该函数的解析式为y=a(x+1)2+4, 将点将点B(2, -5)代入函数解析式中代入函数解析式中, 得得a=-1 该函数的解析式为该函数的解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3 (2)当当

7、x=0时时, y=3, 因此抛物线与因此抛物线与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为(0, 3). 当当y=0时时, -x2-2x+3=0, 解得解得x1=-3, x2=1, 即抛物线与即抛物线与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(1, 0), (-3, 0). 相关题相关题2 已知抛物线与已知抛物线与x轴的交点是轴的交点是 A(-2, 0), B(1, 0), 且经过点且经过点 C(2, 8). (1)求该抛物线所对应的函求该抛物线所对应的函 数解析式；数解析式； (2) 求该抛求该抛 物线的顶点物线的顶点 坐标坐标. 【要点指导要点指导】二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像与的图像与x轴的位置

8、关系有三轴的位置关系有三 种：种： 没有公共点、有一个公共点、有两个公共点没有公共点、有一个公共点、有两个公共点, 这分别对应着一元二这分别对应着一元二 次方程次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实 数数 根、有两个不相等的实数根根、有两个不相等的实数根. 专题三 二次函数与一元二次方程的关系 例例3 若二次函数若二次函数y=2(k-1)x2-4kx+2(k-1)的图像与的图像与x轴有两个不同的轴有两个不同的 交交 点点, 求求k的取值范围的取值范围. 相关题相关题3 若二次函数若二次函数y=kx2-7x-7的的 图像和图

9、像和x轴有交点轴有交点, 则则k的取的取 值范围是值范围是( ). B 专题四 二次函数图像的平移和轴对称变换 【要点指导要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程, 实实 际际 就是确定变换后所得图像的二次函数解析式就是确定变换后所得图像的二次函数解析式, 研究变换后的图研究变换后的图 像和性质像和性质 的过程的过程, 关键是找到变换后图像上的特殊点关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的如抛物线的 顶点顶点), 从而得出从而得出 函数解析式函数解析式, 最后利用二次函数的性质解答最后利用二次函数的性质解答. 例例4 如图如图22-Z-3,

10、在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy中中, 将抛物线将抛物线y=2x2沿沿y轴轴 向上平移向上平移1个单个单 位长度位长度, 再沿再沿x轴向右平移轴向右平移2个单位长度个单位长度, 平移平移 后所后所 得抛物线的顶点记作得抛物线的顶点记作A, 直线直线x=3与平移与平移 后的抛物线相交于点后的抛物线相交于点B, 与与 直线直线OA相交于点相交于点C. (1)求平移后的抛物线的函数解析式；求平移后的抛物线的函数解析式； (2)求点求点C的坐标及的坐标及ABC的面积的面积 解解 (1)将抛物线将抛物线y=2x2沿沿y轴向上平移轴向上平移1个个 单位长度单位长度, 再沿再沿x轴向右平移轴向右平移

11、2 个单位长度后个单位长度后, 所得抛物线的函数解析式为所得抛物线的函数解析式为 y=2(x-2)2+1. (2)平移后抛物线的函数解析式为平移后抛物线的函数解析式为y=2(x-2)2+1 点点A的坐标为的坐标为(2, 1). 设直线设直线OA的函数解析式为的函数解析式为y=kx, 将将A(2, 1)代入代入, 得得k= , 直线直线OA的函数解析式为的函数解析式为y= x. 将将x=3代入代入y= x, 得得y= , 点点C的坐标为的坐标为(3, ). 将将x=3代入代入y=2(x-2)2+1, 得得y=3, 点点B的坐标为的坐标为(3, 3), BC= , S ABC= . 相关题相关题4

12、 如图如图22-Z-4, 抛物线的顶抛物线的顶 点为点为P(-3, 3), 与与y轴交于轴交于 点点 A(0, 4), 若平移该抛物线若平移该抛物线 使其顶点使其顶点P沿直线移动到沿直线移动到 点点P(3, -3), 点点A的对应点的对应点 为为A, 则抛物线上则抛物线上PA段扫段扫 过的区域过的区域(阴影部分阴影部分)的的 面面 积为积为( ). A 6 B12 C24 D 4 C 专题五 二次函数与三角形或四边形的综合题 【要点指导要点指导】解答二次函数与三角形或四边形的综合题解答二次函数与三角形或四边形的综合题, 必须在必须在 充充 分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含分

13、利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含 的条件的条件, 在在 复杂的复杂的“背景背景”下辨认、分解基本图形或通过添加辅下辨认、分解基本图形或通过添加辅 助线补全或构造助线补全或构造 基本图形基本图形, 并善于联想所学知识并善于联想所学知识, 突破思维障碍突破思维障碍, 合理运用方程等数学思合理运用方程等数学思 想才能解决想才能解决. 例例5 如图如图22-Z-5所示所示, 对称轴为直线对称轴为直线x=-1的抛物的抛物 线线y=ax2+bx+c(a0) 与与x轴相交于轴相交于A, B两点两点, 其中点其中点A的坐的坐 标为标为(-3, 0). (1)求点求点B的坐标；的坐标； (2)

14、已知已知a=1, C为抛物线与为抛物线与y轴的交点轴的交点, 若点若点P在抛在抛 物物 线上线上, 且且S POC=4SBOC, 求点 求点P的坐标的坐标. 解解 (1)对称轴为直线对称轴为直线x=-1的抛物线的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与与x轴相交于轴相交于 A, B 两点两点, A, B两点关于直线两点关于直线x=-1对称对称. 点点A的坐标为的坐标为(-3, 0), 点点B的坐标为的坐标为(1, 0). (2)当当a=1时时, y=x2+bx+c. 把把A(-3, 0), B(1, 0)代入代入y=x2+bx+c, 可得可得 该抛物线所对应的函数解析式为该抛物线所对应的函数解析式

15、为y=x2+2x-3. 当当x=0时时, y=-3, 点点C的坐标为的坐标为(0, -3). S BOC= OBOC= 13= , S POC=4SBOC=4 =6. 又又S POC= OC|xP|=6, |xP|=4, xP=4. 当当xP=4时时, yP=42+24-3=21； 当当xP=-4时时, yP=(-4)2+2(-4)-3=5, 点点P的坐标为的坐标为(4, 21)或或(-4, 5). 相关题相关题5 益阳中考益阳中考如图如图22-Z-6, 直直 线线y=3x+3与与x轴、轴、y轴轴 分分 别交于点别交于点A, B, 抛物线抛物线 y=a(x2)2+k经过点经过点A, B, 且与

16、且与x轴交于轴交于 另一点另一点C, 其其 顶点为顶点为P (1)求求a, k的值；的值； (2)抛物线的对称轴上有一抛物线的对称轴上有一 点点Q, 使使ABQ是是 以以AB为为 底边的等腰三角形底边的等腰三角形, 求点求点Q 的坐标；的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上在抛物线及其对称轴上 分别取点分别取点M, N, 使以使以A, C, M, N为顶为顶 点的四边形为正点的四边形为正 方形方形, 求此正方形的边长求此正方形的边长. 专题六 二次函数的实际应用 【要点指导要点指导】运用建模思想运用建模思想, 将实际问题中的信息语言转化成数将实际问题中的信息语言转化成数 学学 语言语言, 抽象、

17、归纳出其中的数量关系抽象、归纳出其中的数量关系, 从而运用二次函数的有从而运用二次函数的有 关知识加以关知识加以 解决解决 例例5 如图如图22-Z-7, 连接着汉口集家咀和汉阳南岸咀的江汉三桥连接着汉口集家咀和汉阳南岸咀的江汉三桥 (晴川桥晴川桥)是一座下是一座下 承式钢管混凝土系杆拱桥承式钢管混凝土系杆拱桥, 它犹如一道美丽的彩虹跨越它犹如一道美丽的彩虹跨越 汉江汉江, 是江城武汉的一道亮是江城武汉的一道亮 丽景观丽景观. 桥的拱肋桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分可视为抛物线的一部分, 桥面桥面(视为水平的视为水平的)与拱肋用垂直于桥与拱肋用垂直于桥 面的系杆连接面的系杆连接, 相邻系杆

18、之间的距离均为相邻系杆之间的距离均为5米米(不考虑系杆的粗细不考虑系杆的粗细), 拱肋的跨度拱肋的跨度AB为为 280米米, 距离拱肋的右距离拱肋的右 端端70米米 处的系杆处的系杆EF 的长度为的长度为42米米. 以以AB 所在直线为所在直线为x轴轴, 抛物抛物 线的对称轴为线的对称轴为y轴建轴建 立立 如图如图22-Z-7所示的平面直角坐标系所示的平面直角坐标系 (1)求抛物线所对应的函数解析式求抛物线所对应的函数解析式(不必写出自变量的取值范围不必写出自变量的取值范围)； (2) 正中间系杆正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度是的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度是OC

19、 长长 度的一半？请说明理由度的一半？请说明理由 解解 (1)设抛物线所对应的函数解析式为设抛物线所对应的函数解析式为y=ax2+c. 点点B(140, 0), F(70, 42)在该抛物线上在该抛物线上, 抛物线所对应的函数解析式为抛物线所对应的函数解析式为 (2)当当x=0时时, y=56, OC=56米米 不存在系杆的长度是不存在系杆的长度是OC长度的一半长度的一半. 理由：假设存在一根系杆的长度是理由：假设存在一根系杆的长度是OC长度的一半长度的一半, 即这根系杆的长度是即这根系杆的长度是28米米, 相邻系杆之间的距离均为相邻系杆之间的距离均为5米米, 最中间系杆最中间系杆OC在在y轴

20、上轴上, 每根系杆上的点的横坐标均为整数每根系杆上的点的横坐标均为整数, x=70 与实际不符与实际不符, 不存在系杆的长度恰好是不存在系杆的长度恰好是OC长度的一半长度的一半 相关题相关题6 图图22-Z-8是一座抛物线形是一座抛物线形 拱桥拱桥, 在正常水位时水面在正常水位时水面 AB 的宽为的宽为20 m, 如果水位上如果水位上 升升3 m, 那么水面那么水面CD的宽是的宽是 10 m. (1)建立如图所示的平面直角建立如图所示的平面直角 坐标系坐标系, 求该抛物线所对应求该抛物线所对应 的函的函 数解析式数解析式(不必写出自变量的取值范围不必写出自变量的取值范围). (2)现有一辆载有

21、救援物资现有一辆载有救援物资 的货车从甲地出发需经过的货车从甲地出发需经过 此桥开往此桥开往 乙地乙地, 已知甲地距已知甲地距 此桥此桥280 km(桥长忽略不桥长忽略不 计计). 货车正以每小货车正以每小 时时40 km 的速度开往乙地的速度开往乙地, 当行驶当行驶 1小时时小时时, 忽然接到紧急通忽然接到紧急通 知：知： 前方连降暴雨前方连降暴雨, 造成水造成水 位以每小时位以每小时0.25 m的速度的速度 持续上涨持续上涨(货货 车接到通知车接到通知 时水位在时水位在CD处处, 当水位当水位 达到桥拱最高点达到桥拱最高点O时时, 禁止禁止 车辆通行车辆通行), 如果货车按原如果货车按原

22、来的速度行驶来的速度行驶, 那么能否那么能否 安全通过此安全通过此 桥？若能桥？若能, 请请 说明理由；若不能说明理由；若不能, 要使货要使货 车安全通过此桥车安全通过此桥, 货车货车 的的 速度应至少为每小时多少速度应至少为每小时多少 千米？千米？ 【要点指导要点指导】生活中变量之间存在相互依存和相互对应的关系生活中变量之间存在相互依存和相互对应的关系, 函函 数就是刻画变量之间关系的数学模型数就是刻画变量之间关系的数学模型, 所以所以, 对于存在相互依对于存在相互依 存关系的图存关系的图 形规律问题形规律问题, 可建立函数模型可建立函数模型, 利用函数来解答利用函数来解答. 素养提升 专题

23、 用函数思想解决规律性问题 例例 如图如图22-Z-9所示所示, 把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边 上上, 按照这样的规律摆下去按照这样的规律摆下去, 则第则第n(n是大于是大于0的整数的整数)个图形需要个图形需要 黑色棋子黑色棋子 的个数是的个数是_ n2+2n 分析 分析题意可得到下表：分析题意可得到下表： 把表中的图形次序及其对应的黑色棋子个数分别作为点的横坐标、纵把表中的图形次序及其对应的黑色棋子个数分别作为点的横坐标、纵 坐坐 标标, 可得可得(1, 3), (2, 8), (3, 15), (4, 24), , 将这些点在平面直角坐标系中

24、描将这些点在平面直角坐标系中描 出出, 观察图中描出的点的整体分布观察图中描出的点的整体分布, 它们均在一条抛物线附近它们均在一条抛物线附近, 所以假设摆放所以假设摆放 第第n个图形需要个图形需要y个黑色棋子个黑色棋子, 则则y与与n之间存在之间存在y=an2+bn+c(a0)的函数关系的函数关系. 将将(1, 3), (2, 8), (3, 15)代入代入y=an2+bn+c, 图形的次序图形的次序第第1个图形个图形第第2个图形个图形第第3个图形个图形第第4个图形个图形 黑色棋子的个数黑色棋子的个数381524 即即y与与n之间的函数解析式为之间的函数解析式为y=n2+2n, 将将(4, 2

25、4)代入代入y=n2+2n, 等式成等式成 立立, 所以所以, 我们的假设成立我们的假设成立 故答案为故答案为n2+2n 相关题相关题 观察图观察图22-Z-10中正六边中正六边 形网的变化规律：形网的变化规律： (1)完成下表：完成下表： 正六边形网的圈数正六边形网的圈数12345 小点总数小点总数 (2)如果用如果用n表示正六边形表示正六边形 网的圈数网的圈数, m表示这个正多表示这个正多 边形中小点的边形中小点的 总数总数, 那么那么 如何用含如何用含n的代数式表示的代数式表示 m？ 解：解：(1)填表如下：填表如下： (2)将正六边形网的圈数和小点总数分别作为点的横坐标、纵坐标，可将正

26、六边形网的圈数和小点总数分别作为点的横坐标、纵坐标，可 得得(1，6)，(2，18)，(3，36)，(4，60)，(5，90)将上述各点在平面直将上述各点在平面直 角坐标系中描出角坐标系中描出 正六边形网的圈数正六边形网的圈数12345 小点总数小点总数618366090 中考链接 母题母题1 1 二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质(教材教材P35练习练习) 在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中, 画出下列二次函数的图像：画出下列二次函数的图像： 观察三条抛物线的位置关系观察三条抛物线的位置关系, 并分别指出它们并分别指出它们 的开口方向、的开口方向、 对称轴和顶点对称轴和顶点. 考点：

27、二次函数的图像与性质考点：二次函数的图像与性质. 考情：涉及二次函数图像间平移的考题多以选择考情：涉及二次函数图像间平移的考题多以选择 题、填空题的题、填空题的 形式出现形式出现, 有时还与配方法等知识有时还与配方法等知识 综合考查综合考查. 利用二次函数的增利用二次函数的增 减性结合图像求最减性结合图像求最 值、比较函数值的大小是中考的热点值、比较函数值的大小是中考的热点. 策略：策略：(1)二次函数图像的平移规律：二次函数图像的平移规律：“左加右左加右 减减, 上加下减上加下减”. (2)二次函数二次函数y=a(x-h)2+k(a0) 的图像的顶点坐标为的图像的顶点坐标为(h, k), 对

28、称轴为对称轴为 直线直线x=h, 当当 a0时时, 图像开口向上图像开口向上, 当当a0时时, 图像开口向下图像开口向下. 链接链接1 肇庆中考肇庆中考二次函数二次函数y=x2+2x-5有有 ( ). A最大值最大值-5B最小值最小值-5 C最大值最大值-6D最小值最小值-6 D D 链接链接2 阜新中考阜新中考如图如图 22-Z-11, 抛物线抛物线y=ax2+bx+c 交交x轴于点轴于点(- 1, 0)和和(4, 0), 那那 么下列说法正确的是么下列说法正确的是(). Aac0 Bb2-4ac0 C对称轴是直线对称轴是直线x=2.5 Db0 分析分析 A抛物线开口向下抛物线开口向下, a

29、0. 抛物线与抛物线与y轴的交点在正半轴轴的交点在正半轴 上上, c0, ac0, 故此选项错误故此选项错误. B抛物线与抛物线与x轴有轴有2个交点个交点, b2-4ac0, 故此选项错误故此选项错误. C抛物线抛物线y=ax2+bx+c交交x轴于点轴于点(-1, 0)和和 (4, 0), 对称轴是直线对称轴是直线x=1.5, 故此选项错误故此选项错误. D抛物线的对称轴在抛物线的对称轴在y轴右侧轴右侧, a, b异号异号. 而而a0, b0, 故此选项故此选项 正确正确 故选故选D. 母题母题2 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系(教材教材 P47习题习题22.2 第第

30、5题题) 画出函数画出函数y=x2-2x-3的图像的图像, 利用图像回答：利用图像回答： (1)方程方程x2-2x-3=0的解是什么；的解是什么； (2)x取什么值时取什么值时, 函数值大于函数值大于0； (3)x取什么值时取什么值时, 函数值小于函数值小于0. 考点：二次函数与一元二次方程或不等式之间考点：二次函数与一元二次方程或不等式之间 的关系的关系. 考情：利用二次函数的图像求一元二次方程的根考情：利用二次函数的图像求一元二次方程的根 或不等式的解集或不等式的解集. 策略：求二次函数的图像与策略：求二次函数的图像与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标, 就是求当就是求当y=0时对时对 应一元二次方程的根；利用二应一元二次方程的根；利用二 次函数的图像求不等式的解集次函数的图像求不等式的解集, 即即 求函数中满足求函数中满足 条件的条件的y值对应的值对应的x的取值范围的取值范围. 链接链接3 江西中考江西中考已知二次函数已知二次函数y=x2+bx-2 的图像与的图像与x轴的一个轴的一个 交点坐标为交点坐标为(1, 0), 则它与则它与x轴的轴的 另一个交点坐标是另一个交点坐标是( ). A(1, 0) B(2, 0) C(-2, 0) D(-1, 0) C