误差理论的全面讲解

1、误差理论的全面讲解 误差及其分类误差及其分类 1.误差的定义误差的定义 真值：真值：客观客观 存在的真实值存在的真实值 误差误差测量值测量值 x真值真值a 由于真值的不可知，误差实际上很难计算由于真值的不可知，误差实际上很难计算 误差误差有正有负，其绝对值有正有负，其绝对值 反映测量值反映测量值x 和真值和真值a之间的偏差，故称：测量误差之间的偏差，故称：测量误差 误差理论的全面讲解 产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境影响等产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境影响等 分类：分类： 仪器误差：如：螺旋测微计制造时的螺纹公差。仪器误差：如：螺旋测微计制造时的螺纹公差。 理论近似引起的误差：理

2、论近似引起的误差：伏安法测电阻电流表内接、伏安法测电阻电流表内接、 外接由于忽略表内阻引起的误差。外接由于忽略表内阻引起的误差。 人为误差人为误差: 由于观察者的习惯、反应快慢等引起的由于观察者的习惯、反应快慢等引起的 误差。误差。 2.误差的分类及其规律（按误差的分类及其规律（按性质和产生的原因性质和产生的原因分）分） 在对同一被测量的多次测量过程在对同一被测量的多次测量过程 中，绝对值和符号保持恒定或按某一确定的规律变中，绝对值和符号保持恒定或按某一确定的规律变 化的测量误差。化的测量误差。 误差理论的全面讲解 对同一量的多次重复测对同一量的多次重复测 量中，绝对值和符号变化不定的测量误差

3、。量中，绝对值和符号变化不定的测量误差。 产生原因：实验条件、环境因素无规则的起伏变化、产生原因：实验条件、环境因素无规则的起伏变化、 观察者生理分辨能力等的限制观察者生理分辨能力等的限制 例如：读数时的视差影响。例如：读数时的视差影响。 特点：绝对值小的误差出现特点：绝对值小的误差出现 的概率比大误差出现的的概率比大误差出现的 概率大；绝对值很大的概率大；绝对值很大的 误差出现的概率为零误差出现的概率为零 多次测量时分布对称（正态分布），具有抵偿多次测量时分布对称（正态分布），具有抵偿 性。因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差。性。因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差。 f() -

4、0 误差理论的全面讲解 （3）最佳估计值最佳估计值算术平均值算术平均值 n x x i 算术平均值算术平均值 理论可证明：理论可证明： 当测量次数当测量次数n，ax 算术平均值可作为测量结果：算术平均值可作为测量结果：最佳估计值最佳估计值 误差理论的全面讲解 测量及其分类测量及其分类 测量分为直接测量和间接测量测量分为直接测量和间接测量 直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行 函数关系的辅助计算可直接得到被测值的测量；函数关系的辅助计算可直接得到被测值的测量； 间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已 知

5、函数关系经过计算从而得到被测值的测量。知函数关系经过计算从而得到被测值的测量。 任何测量都可能存在误差任何测量都可能存在误差 误差理论的全面讲解 1. 标准偏差标准偏差 （也称均方误差）（也称均方误差） nxx n i i / )( 1 假定对一个量进行了假定对一个量进行了n次等精度测量，测得的值次等精度测量，测得的值 为为xi (i =1, 2，n)，可以用多次测量的，可以用多次测量的 算术平均值作为被测量的最佳值算术平均值作为被测量的最佳值(假定无系统误差假定无系统误差) 近似真实值近似真实值 等精度测量：等精度测量：在相同条件下进行的多次测量在相同条件下进行的多次测量 测量列：测量列：在

6、等精度测量中的一组在等精度测量中的一组n 次测量的值次测量的值 误差理论的全面讲解 这时误差用这时误差用贝塞尔公式贝塞尔公式表示表示 称为标准偏差称为标准偏差 （标准差）（标准差） 意义意义: 表示某次测量值的随机误差在表示某次测量值的随机误差在 之间的之间的 概率为概率为68.3。 f() - 0 1 1 2 n xx S n i i xx 偏差：测量值与近似真实值的差值为偏差偏差：测量值与近似真实值的差值为偏差 xxx ii 贝塞尔贝塞尔 公式公式 误差理论的全面讲解 2. 算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差 意义意义: 测量平均值的随机误差在测量平均值的随机误差在 之间的概率之间的

7、概率 为为 68.3%。反映了平均值接近真值的程度。反映了平均值接近真值的程度。 xx f() - 0 1 1 2 nn xx n n i i x x 这个概率叫置信概率，也叫这个概率叫置信概率，也叫 置信度，用置信度，用p p表示，即表示，即 p0.6830.683 随机误差在随机误差在 之间的概率：之间的概率： 95.4%： p0.9540.954 xx 22 误差理论的全面讲解 一般教学实验：测一般教学实验：测510次次 ax 理论上：测量次数理论上：测量次数n， x 0 5 10 15 20 n 平均值的平均值的 标准偏差标准偏差 实际测量多少次合适？实际测量多少次合适？ 由图可知：由

8、图可知： n大于大于10后，曲线变得较平坦。后，曲线变得较平坦。 误差理论的全面讲解 3、t 分布分布 实际中，测量次数实际中，测量次数n不可能趋于无穷。当测量次数不可能趋于无穷。当测量次数 较少时，随机误差服从的规律是较少时，随机误差服从的规律是t分布。分布。 正态分布正态分布 f() t分布分布 0 t分布的曲线比正态分分布的曲线比正态分 布的要平坦，两者的分布的要平坦，两者的分 布函数不同，布函数不同，n较小时较小时, , t分布偏离正态分布较分布偏离正态分布较 多，多，n较大时较大时, , 趋于正趋于正 态分布态分布 误差理论的全面讲解 1 1 2 nn xx tt n i i x A

9、 A 1 1 2 n xx n t n i i A A x S n t t分布分布 标准偏差标准偏差 (正态分布）正态分布） 1 1 2 nn xx n n i i x x t分布分布 与正与正 态分布的态分布的 误差计算误差计算 关系关系 误差理论的全面讲解 t值与测量次数有关值与测量次数有关 nt / 下表是当置信度下表是当置信度 p=0.95的的 t 值值 n34567891015100 t 4.33.182.782.572.452.362.312.262.141.97 2.481.591.204 1.050.9260.8340.7700.7150.553 0.139 所以对一般的教学实

10、验，也可用所以对一般的教学实验，也可用S Sx x（贝塞尔公式）作为（贝塞尔公式）作为 估算误差的公式。估算误差的公式。 1 1 2 n xx n t n i i A Ax S n t 由上表可知，当由上表可知，当55n1010时，时， 接近接近1 1 A AS Sx x nt / 误差理论的全面讲解 与与 及及t分布分布的误差估算公式对比的误差估算公式对比x x 测量列中某次测测量列中某次测 量值的标准偏差量值的标准偏差 平均值的标准偏差平均值的标准偏差 1 1 2 n xx S n i i xx 1 1 2 nn xx n n i i x x 测量次数测量次数n为有限次：用为有限次：用t分

11、布（也分布（也可用贝塞尔公可用贝塞尔公 式）计算直接测量量的误差。式）计算直接测量量的误差。 x S n t 对对t分布分布 1 1 2 nn xx tt n i i x A A 误差理论的全面讲解 4.测量的测量的不确定度不确定度 22 B BA A x : 用统计方法评定用统计方法评定 B : 用估算方法评定用估算方法评定 取取 仪器误差仪器误差 A 取取 偶然误差偶然误差 合成合成不确定度不确定度 因真值得不到，测量误差就不能肯定，所以用不确定因真值得不到，测量误差就不能肯定，所以用不确定 度的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理。度的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理。

12、不确定度不确定度：表示由于测量误差的存在而对被表示由于测量误差的存在而对被 测量值不能确定的程度。测量值不能确定的程度。 误差理论的全面讲解 仪器不确定度仪器不确定度 一般取：最小刻度（分度值）的一般取：最小刻度（分度值）的1/10、1/5、1/2 或最小刻度或最小刻度 例：用米尺测量某物的长度为例：用米尺测量某物的长度为202.5mm, 仪器不确定度取仪器不确定度取0.5mm,0.5mm,即：即：L L= = 202.5 0.50.5mm （1）对仪器准确度未知的）对仪器准确度未知的 （2）对非连续读数仪器（如数字仪表）对非连续读数仪器（如数字仪表） 取其最末位数的一个最小单位取其最末位数的

13、一个最小单位 误差理论的全面讲解 （3 3）已知仪器准确度）已知仪器准确度 如一个量程如一个量程150m150mA，准确度，准确度0 0.2 2级的电流表级的电流表 测某一次电流，读数为测某一次电流，读数为131131.2m2mA 最大绝对最大绝对不确定度不确定度为为I I=150=1500.20.20 0.3m3mA 测量的结果：测量的结果：I131131.2 20 0.3m3mA 最大绝对最大绝对不确定度不确定度：级级别别量量程程 I 如：电表如：电表 误差理论的全面讲解 电表板面上的符号电表板面上的符号 交流交流 U 磁电系仪表磁电系仪表 或或 1.0 1.0 准确度等级为准确度等级为1

14、.0 2 绝缘强度试验电压为绝缘强度试验电压为2千伏千伏 或或水平放置水平放置或或 垂直放置垂直放置 二级防外磁场：二级防外磁场：在强度为在强度为400AW/m(5奥斯特奥斯特)的直流的直流 均匀外磁场下，仪表指示值的改变不应超过均匀外磁场下，仪表指示值的改变不应超过1.0 B U 1.0 2 B 工作环境：工作环境：温度：温度：2050；湿度：；湿度：95以下以下 直流直流 误差理论的全面讲解 A类不确定度类不确定度（偶然误差）（偶然误差）较大时：较大时： (2) A类不确定度与仪器不确定度类不确定度与仪器不确定度 相差不大时：相差不大时： 可只取仪器可只取仪器不确定度不确定度 (3)只测一

15、次或只测一次或A类不确定度很小类不确定度很小： I I x AAx 22 B BA A 因因 不确定度不确定度 22 B BA A x 1 1 2 nn xx t n i i A A 2222 I IA AB BA A x 实际中不确定度的处理原则：实际中不确定度的处理原则： 误差理论的全面讲解 x xx x 只取只取1位，位， 下一位下一位0以上的数一律进位以上的数一律进位 2910 R例：例： s02.013.10 t x的末位与的末位与x所在位对齐，下所在位对齐，下1位简单采取位简单采取4舍舍5入入 （1）测量值和）测量值和不确定度不确定度 5. 测量结果的表达：测量值、测量结果的表达：

16、测量值、绝对不确定度绝对不确定度和和相对不相对不 确定度确定度 例：算得例：算得x2.1mm 取取x3mm 注：以上为本教材的规定。不同的教材，有差异。注：以上为本教材的规定。不同的教材，有差异。 误差理论的全面讲解 %100 x E x %100 0 理理 理理 x xx E 有时候还需要将测量结果与有时候还需要将测量结果与 公认值或理论值进行比较公认值或理论值进行比较 （即：百分误差）：（即：百分误差）： 相对不确定度相对不确定度 mm5 . 00 .20002 Lmm4 . 03 .8021 L 与与 哪个测量不确定度小？哪个测量不确定度小？ %050. 0 3 .802 4 . 0 %

17、100 1 1 x E L L %025. 0 0 .2000 5 . 0 %100 2 2 x E L L 一般取一般取2位位 （2）相对不确定度）相对不确定度 注意分母注意分母 误差理论的全面讲解 %100 x E x x %100 0 0 0 x xx E x xx 相对不确定度相对不确定度 完整的结果完整的结果 表示表示 或或 误差理论的全面讲解 例：用例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，测量，测量6 次，结果如下（单位次，结果如下（单位mm）：）： 250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10 则：测得值的

18、最佳估计值为则：测得值的最佳估计值为 mm09.250 L 0 0. .0 04 4m mm m0 0. .0 03 32 2 （ )1 )( 1 2 nn LL t n i i L 不确定度不确定度 （t =2.57) m mm m05. 009.250 L %020. 0 09.250 05. 0 L E 游标卡尺的仪器游标卡尺的仪器不确定度不确定度取取0.02mm,即即I=0.02mm 合成不确定度合成不确定度 m mm m05. 002. 004. 0 2222 I I AL 误差理论的全面讲解 例：用螺旋测微计例：用螺旋测微计(分度值：分度值：0.01mm）测某一钢丝的直）测某一钢丝

19、的直 径，径，6次测量值次测量值yi分别为：分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同时读得螺旋测微计的零位同时读得螺旋测微计的零位y0为：为：0.003, 单位单位mm，请给出测量结果。，请给出测量结果。 解：最佳值解：最佳值 不确定度不确定度 0.247(mm)0.0030.250 0 yyy 0 0. .0 00 03 3m mm m ) 1( )( 1 2 nn yy t n i i y %1 . 2 247. 0 005. 0 y E 结果：结果：y=0.2470.005mm 仪器不确定度：仪器不确定度：I I=0.004mm=0.

20、004mm mmmm005. 0004. 0003. 0 2222 Iy 或取或取1/21/2分度值分度值0.005mm 对于一级千分尺，一般对于一级千分尺，一般 取取0.004mm0.004mm。实验室一般。实验室一般 是一级千分尺。是一级千分尺。 误差理论的全面讲解 2 2 2 2 2 2 )()()( zyxN z F y F x F ，zyxFN 不确定度不确定度 不确定度不确定度 222 ) ln () ln () ln ( zyx N N z F y F x F N E 误差理论的全面讲解 byaxN （1） 22 )()( yxN ba （2） c b a z y kxN 222

21、 )()()( z c y b x a N E z y xN N 完整的结果表示完整的结果表示 x xx %100 x E x x xE xx 和相对不确定度哪个简单，先算哪个！和相对不确定度哪个简单，先算哪个！ x 误差理论的全面讲解 由准确数字和一位可疑数字组成。由准确数字和一位可疑数字组成。 0 5 10 15 20mm 例：例：13.7mm 注意注意：（：（1）末位和中间的）末位和中间的0是有效数字，如是有效数字，如:13.0cm 、 10.3mm，为，为3位有效数字。位有效数字。 （2）数字前面表示小数点的）数字前面表示小数点的0不是有效数字，如：不是有效数字，如： 0.0130mm

22、为为3位有效数字。位有效数字。 准确准确可疑（估读）可疑（估读） 误差理论的全面讲解 （3）变换单位时有效位数不变，）变换单位时有效位数不变， 如：如： 80cm=0.80m0.8m 2、有效数字的运算规则、有效数字的运算规则 （1）加减运算的结果末位以参）加减运算的结果末位以参 与运算的小数位最少者相同。与运算的小数位最少者相同。 如如 7.65+8.268=15.92 75-10.356=65 （2）乘除运算结果的有效位数）乘除运算结果的有效位数 多少以参与运算的有效位数最多少以参与运算的有效位数最 少的相同或多一位。少的相同或多一位。 如如 3.841 2.42=9.30 40009=3

23、.6104 2.0000.99=2.00 7.65 +) 8.268 15.918=15.92 可疑可疑 取一位可疑取一位可疑 3.8 4 1 2.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 4 7 6 8 2 9.2 9 5 2 2 =9.30 注意：不同注意：不同 3.8 4 1 8.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 4 3 0 7 2 8 3 2.3 4 0 2 2 =32.34 3位位 4位位 下划下划 线表线表 示可示可 疑位疑位 误差理论的全面讲解 4位位 (3)三角函数、对数、指数运算的结果有效数字三角函数、对数、指数运算的结果有效数字 三角函数：结果有效数字由度数的有效位数决

24、定三角函数：结果有效数字由度数的有效位数决定 例：例：sin30o07(4位）位） sin30.12o=0.5018 (注意：不要写成注意：不要写成sin30o7（3位）位）) 对数：结果的有效数字，其小数点后的位数（尾数）对数：结果的有效数字，其小数点后的位数（尾数） 与真数的位数相同与真数的位数相同 例：例：ln1.550=0.4383 （4）自然数）自然数 1,2,3,不是测量而得，可以视为无穷不是测量而得，可以视为无穷 多位有效数字的位数，如多位有效数字的位数，如D2R，D的位数仅由直测的位数仅由直测 量量R的位数决定。的位数决定。 误差理论的全面讲解 （5）无理常数）无理常数的位数也

25、可以看成很多位有效数字。的位数也可以看成很多位有效数字。 例如例如L2R, 应比应比R多取一位，若多取一位，若R2.23cm（3 位），则位），则取取3.142（4位）位）, 或用计算器输入或用计算器输入 。 注：注：1、不用算误差时，要用上面的规定确定有效位数。、不用算误差时，要用上面的规定确定有效位数。 2、若为减少运算中出现过多位时用此规定，但中、若为减少运算中出现过多位时用此规定，但中 间过程可多取间过程可多取12位（可疑位）（但不能任意减位（可疑位）（但不能任意减 少），最后由不确定度决定。少），最后由不确定度决定。 误差理论的全面讲解 例例 已知一圆柱体的质量已知一圆柱体的质量 ,

26、 高度高度 , 用千分尺测量得直径用千分尺测量得直径D的数据如的数据如 下表，求圆柱体的密度下表，求圆柱体的密度及不确定及不确定 度度。 。 )(01. 006.14g g M )mm(05. 015.67 HH D 次数次数i 1 2 3 4 5 6平均平均 Di(mm) 5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645 误差理论的全面讲解 解：解： )mm(645. 5 1 i D n D 次数次数i 1 2 3 4 5 6平均平均 Di(mm) 5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645 56 1034.63 57. 2 1 6 2 nn

27、 DD t i D =0.003730.004(mm) 查表，查表，n6 时的时的t值值 取取1位位 误差理论的全面讲解 )mm(006.0645.5 D DD 合成不确定度合成不确定度 mm006. 0005. 0004. 0 2222 I I DD 千分尺的分度值是千分尺的分度值是0.01mm， 若仪器若仪器不确定度不确定度取取1/2分度值：分度值： I I= 0.005mm= 0.005mm 误差理论的全面讲解 )/(366. 8 715. 65645. 01416. 3 06.1444 22 3 3 c cm mg g HD M )(01. 006.14g g M )cm(005. 0

28、715. 6)mm(05. 015.67 H )cm(0006. 05645. 0)mm(006. 0645. 5 D 比参加运算的数据中最少的位比参加运算的数据中最少的位 数多一位，或就用数多一位，或就用表示。表示。 误差理论的全面讲解 %19. 0 )g/cm(02. 00159. 0366. 8%19. 0 3 )g/cm(02. 037. 8 3 222 )()2()( HDM E HDM c b a z y kxN 222 )()()( z c y b x a N z y xN )cm(005. 0715. 6 H )cm(0005. 05645. 0 D )(01. 006.14g

29、 g M 222 ) 715. 6 005. 0 () 5645. 0 0005. 0 2() 06.14 01. 0 ( 用附表用附表 中最后中最后 一行公一行公 式式 与不确定度所在位与不确定度所在位 对齐（是小数位）对齐（是小数位） 相对不确定度取相对不确定度取2位位 （有效位，不是小数位）（有效位，不是小数位） 不确定度取不确定度取1位位 误差理论的全面讲解 作图时要先整理出作图时要先整理出(或算出）数据表格，并要用正或算出）数据表格，并要用正 规纸张作图。规纸张作图。 误差理论的全面讲解 T(0C) 15.724.026.531.135.040.345.0 R()2.8072.879

30、2.9172.9693.0033.0593.107 作图步骤：实验数据列表如下：作图步骤：实验数据列表如下： 1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以整坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以整 数格数格 对应于数据中最后一位准确位对应于数据中最后一位准确位(即数据的倒数第二位）。即数据的倒数第二位）。 2. 标明坐标轴：标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称 或符号、单位或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。再按顺

31、序标出坐标轴整分格上的量值。 4. 连成图线：连成图线： 3.标实验点标实验点: 实验点可用实验点可用“ ”、“” 等符号标出。等符号标出。 5.标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必 要的说明。要的说明。 数据要列出数据要列出 误差理论的全面讲解 T(C0) R() 15.0 20 .0 25 .0 30 .0 35.0 40 .0 45 .0 50 .0 55.0 T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0 R()2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107 RT 曲线曲线 3.100 3.050 3.000 2.950 2.900 2.850 2.800 0.01 为为2 小格小格 整数格对应于数据中最整数格对应于数据中最 后一位准确位后一位准确位(即数据即数据 的倒数第二位）：的倒数第二位）： 1 C0 为为2小格小格 数字标整数，数字标整数， 标到可疑位标到可疑位 作者：张三作者：张三 日期：日期：2010.3.15.