刘鸿文材料力学PPT课件

1、弯 曲 变 形 第 六 章 目录 第六章弯曲变形 6-1 工程中的弯曲变形问题 6-2 挠曲线的微分方程 6-3 用积分法求弯曲变形 6-4 用叠加法求弯曲变形 6-5 简单超静定梁 6-6 提高弯曲刚度的一些措施 目录目录 6-1 工程中的弯曲变形问题 7-1 目录 目录 6-1 工程中的弯曲变形问题 目录 6-1 工程中的弯曲变形问题 6-2 挠曲线的微分方程 dy dx 挠度转角关系为： tan 挠曲线 x 1.基本概念 y x 转角 挠度 y 挠曲线方程： y y( x) 挠度y：截面形心 在y方向的位移 y 向上为正 转角：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正 由于小变形，截面形心在

2、x方向的位移忽略不计 7-2 目录 M EIz 1 忽略剪力对变形的影响 M ( x) EIz 1 ( x) 6-2 挠曲线的微分方程 2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到： 目录 d y 1 ( dy 2 3 d y d y d y dx d y ) 2 dx 2 dx 1 略去高阶小量，得 2 dx 2 1 M ( x ) EI z 2 2 所以 M (x) 0M (x) 0 2 dx 2 0 x y O M (x) 0 O 2 dx 2 0 y x M (x) b。 解1）由梁整体平衡分析得： Fb Fa l l 2）弯矩方程 AC 段： Fb l Fb l a x2 lx2

3、 F ( x2 a),M x2 FAy x2 F ( x2 a) CB 段： 6-3 用积分法求弯曲变形 目录 ab x2 D F C ym ax B x FBy y A A FAy x1 B 0 x1 a M ( x1 ) d 2 y1 Fb EI x1 dx1 l EI ( x1 ) x 1 C1 dy1 Fb 2 EIy1 x 1 C1 x1 D1 a x2 l M ( x2 ) x2 F ( x2 a ) d 2 y2 Fb EI dx2 l dy2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a )2 C 2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 2 dx1 2l Fb 3 6l 2

4、 Fb 2 F 2l 2 Fb 3 F 6l 6 EI dx2 EIy2 AC 段： EI CB 段： 6-3 用积分法求弯曲变形 3）列挠曲线近似微分方程并积分 目录 ab x2 D F C ym ax B x FBy y A A FAy x1 B C1 C2 Fbl y1 (0) 0 y2 (l ) 0 代入求解，得 位移边界条件 x1 0, x2 l , 1 (a) 2 (a) y1 (a) y2 (a) 光滑连续条件 x1 x2 a, x1 x2 a, 1 6 Fb3 6l 6-3 用积分法求弯曲变形 4）由边界条件确定积分常数 D1 D2 0 目录 ym ax ab x2 D F C

5、 FAy x1 FBy A B x y AB x 1 (l b2 ) (l b2 ) ( x2 a) x2 EIy1 x 1 (l b2 ) x1 a x2 l x2 ( x2 a) (l b2 ) x2 Fb 2 6l Fb 2 2l EI1 Fb 3 Fb 2 6l 6l AC 段： 0 x1 a 2 Fb 2 6l F 2 Fb 2 2l EI 2 3 Fb 2 6l F 6 Fb 3 6l EIy2 CB 段： 6-3 用积分法求弯曲变形 5）确定转角方程和挠度方程 目录 ym ax ab x2 A CD F FAy x1 FBy A B x y B x l , max B 0 dy

6、令得， 0 d dx Fab 6EIl (l a )( ) 令 得， dx ( ), Fb (l 2 b2 )3 9 3 EIl ym ax l 2 b2 3 x 6-3 用积分法求弯曲变形 6）确定最大转角和最大挠度 目录 ym ax ab x2 D F C FAy x1 FBy A B x y AB 讨论 6-3 用积分法求弯曲变形 积分法求变形有什么优缺点？ 目录 dx EI yi EI ( yi ) M ( x ) d 2 y 2 EI EIy M ( x) 6-4 用叠加法求弯曲变形 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有： 若梁上只有第i

7、个载荷单独作用，截面上弯矩 为 M i ( x ) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有： EIyi M i ( x ) n i 1 所以， n n i 1 i 1 7-4 目录 y ( yi ) y yi i , 故 n i 1 由于梁的边界条件不变，因此 n i 1 n i 1 6-4 用叠加法求弯曲变形 重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。 目录 yC1 yC 2 例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B yC1 yC2 yC3 1）将梁上的载荷

8、分解 yC yC 1 yC 2 yC 3 B B1 B 2 B 3 2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截 面的转角。 ql 3 24EI ql 3 16EI B1 B1 ql 3 3EI B 3 5ql 4 384EI ql 4 48EI ql 4 16EI yC 3 解 6-4 用叠加法求弯曲变形 目录 yC yCi B Bi ( ) 11ql 4 384 EI ql 4 16 EI ql 4 48EI 5ql 4 384 EI 3 i 1 ( ) 11ql 3 48EI ql 3 3EI ql 3 16EI ql 3 24EI 3 i 1 6-4 用叠加法求弯曲变形 3） 应用叠加法，将

9、简单载荷作用时的结 果求和 目录 yC1 yC2 yC3 yC 解 6-4 用叠加法求弯曲变形 例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、 EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形 为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。 目录 , C1 yC 1 yC 2 yB 2 B 2 C 2 , yC yCi C Ci yC yC 2 yC1 yB 2 l 2 ql 4 ql 3 8EI 6EI ql 4 ql 3 l 128 EI 48 EI 2

10、ql 3 48 EI 41ql 4 384EI 7ql 3 48EI 3）将结果叠加 2 i 1 2 i 1 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用 的情形，计算各自C截面的挠度和转角。 6-4 用叠加法求弯曲变形 目录 讨论 6-4 用叠加法求弯曲变形 叠加法求变形有什么优缺点？ 目录 6-5 简单超静定梁 1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变 形协调条件由物理关系建立补充方程利用 静

11、力平衡条件求其他约束反力。 7-6 目录 6-5 简单超静定梁 C 解 例6 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 1）判定超静定次数 2）解除多余约束，建立相当系统 目录 (a) 2a 2a (b) (c) (b) (a) a F a B B B F M A A FA y M A FA y A A C C F F C C B B A A FBy MA MA (c) (d) (d) (d) FBy FBy A AA A A B BB B B FF C CC F C C 3）进行变形比较，列出变形协调条件 yB ( yB ) F ( yB ) FBy 0 14Fa 3 8FBy a 3 M AA

12、 y ( ), FAy F ( )M A F FBy (b) ( yB ) F (9a 2a) ( yB ) FBy 4）由物理关系，列出补充方程 14Fa3 3EI 8FBy a3 3EI F (2a)2 6EI 3EI 3EI 所以 0 7 4 5）由整体平衡条件求其他约束反力 Fa 3 2 4 目录 2a (a) B C M A A F 2a (c) (d) (d) (d) (a) (b) (c) B B B B a F C A C C C a F FBy F FBy FBy FF F C CC C C B BB B B A AA A A MA MA FA y M A A A A FAy

13、 F 6-5 简单超静定梁 yB1 3 4 2 F 22 FB 43 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂 梁。 变形协调方程为： yB1 yB 2 MA FA yB1 FB MC FC FB FB FB yB2 物理关系 yB 2 q 44 FB 43 8EI 3EI 6EI 3EI 解 目录 6-5 简单超静定梁 例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN， q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 2 6 4 20 44 8.75 kN 8 4 FB MA FA MC FC yB1 FB yB2 3 3 40 10 2 FB FB

14、43 3EI 3 4 2 F 22 6EI FB 43 3EI q 44 8EI 确定A 端约束力 Fy 0, FA FB 4q 0 FA 4q FB 4 20 8.75 71.25 kN 0, AM A 4q 2 4FB 0 M M A 4q 2 4FB 4 20 2 4 8.75 125 kN m 目录 6-5 简单超静定梁 代入得补充方程： FB MA FA MC FC yB1 FB yB2 48.75 kN MC 0, MC 2F 4FB 0 M C 4FB 2F 4 8.75 2 40 115 kN.m 目录 6-5 简单超静定梁 确定C 端约束力 Fy 0, FB FC F 0 F

15、C F FB 40 8.75 MC FC MA FA 71.25 FA 71.25 kN( ) M A 125 kN m( ) FC 48.75 kN( ) ) MC 115 kN m( 最后作梁的剪力图和弯矩图 8.75 1.94 ( ) 48.75 ( ) 17.5 115 FS ( ) kN M (kN m ) ( ) 125 目录 6-5 简单超静定梁 A、C 端约束力已求出 1）选择合理的截面形状 目录 6-6 提高弯曲刚度的一些措施 2）改善结构形式，减少弯矩数值 改 变 支 座 形 式 目录 6-6 提高弯曲刚度的一些措施 62.5% 目录 wC 2 wC1 6-6 提高弯曲刚度

16、的一些措施 2）改善结构形式，减少弯矩数值 改 变 载 荷 类 型 3）采用超静定结构 目录 6-6 提高弯曲刚度的一些措施 目录 6-6 提高弯曲刚度的一些措施 小结 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法 3、学会用变形比较法解简单超静定问题 目录 M EIz 1 忽略剪力对变形的影响 M ( x) EIz 1 ( x) 6-2 挠曲线的微分方程 2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到： 目录 d y 1 ( dy 2 3 d y d y d y dx d y ) 2 dx 2 dx 1 略去高阶小量，得 2 dx 2 1 M ( x ) EI z

17、2 2 所以 M (x) 0M (x) 0 2 dx 2 0 x y O M (x) 0 O 2 dx 2 0 y x M (x) 0 6-2 挠曲线的微分方程 由数学知识可知： 目录 yC yCi B Bi ( ) 11ql 4 384 EI ql 4 16 EI ql 4 48EI 5ql 4 384 EI 3 i 1 ( ) 11ql 3 48EI ql 3 3EI ql 3 16EI ql 3 24EI 3 i 1 6-4 用叠加法求弯曲变形 3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结 果求和 目录 yC1 yC2 yC3 6-5 简单超静定梁 C 解 例6 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 1）判定超静定次数 2）解除多余约束，建立相当系统 目录 (a) 2a 2a (b) (c) (b) (a) a F a B B B F M A A FA y M A FA y A A C C F F C C B B A A FBy MA MA (c) (d) (d) (d) FBy FBy A AA A A B BB B B FF C CC F C C 3）进行变形比较，列出变形协调条件 yB ( yB ) F ( yB ) FBy 0 yB1 3 4 2 F 22 FB 43 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂 梁。 变形协调方程为： yB1 yB 2 MA FA yB1 F